Matematică — clasa VIII · 2021 · sesiunea iunie

Matematică · Examen oficial MEC EN VIII 2020–2021, Varianta 3 (subiect + barem)

Subiectul oficial dat la Evaluarea Națională VIII matematică, sesiunea iunie 2021 (Varianta 3). 18 exerciții: Subiect I (6 grilă), Subiect al II-lea (6 grilă geometrie cu figuri), Subiect al III-lea (6 cu rezolvare a/b). Barem complet și explicații per distractor.

Durată: 120 min
Exerciții: 18
Materie: Matematică
Sursă: MEC oficial

Rezolvă cronometrat cu AI →

Rezolvă în 2 ore, în condiții de examen. AI-ul îți corectează pe baremul oficial și îți explică, exercițiu cu exercițiu, unde te-ai încurcat — cu pași numerotați, ca un profesor de meditații.

Subiectul I — 6 exerciții grilă (algebră)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare răspuns corect = 5 puncte. Timp orientativ: 30 de minute.

Ex. 1Dintre numerele 15, 17, 25 și 30, numărul divizibil cu 10 este:
1. A)15
2. B)17
3. C)25
4. D)30
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: D
Rezolvare: Un număr este divizibil cu 10 doar dacă ultima cifră este 0. Din lista dată, doar 30 are ultima cifră 0.
Ex. 2Un obiect costă 100 de lei. După o scumpire cu 10%, noul preț al obiectului este egal cu:
1. A)10 lei
2. B)90 de lei
3. C)100 de lei
4. D)110 lei
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: D
Rezolvare: Scumpire cu p% ⇒ preț_nou = preț_vechi · (1 + p/100). 100·(1 + 10/100) = 100·1,1 = 110 lei.
Ex. 3Temperaturile măsurate la ora 8:00 și la ora 12:00 sunt −3°C, respectiv 5°C. Temperatura măsurată la ora 12:00 este mai mare decât cea de la ora 8:00 cu:
1. A)8°C
2. B)2°C
3. C)−2°C
4. D)−8°C
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: A
Rezolvare: Diferența = t₁₂ − t₈ = 5 − (−3) = 5 + 3 = 8°C.
Ex. 4Fracția subunitară din mulțimea \(A = \{44/10, 5/4, 4/5, 4\}\) este:
1. A)\(\frac{4}{5}\)
2. B)\(\frac{5}{4}\)
3. C)4
4. D)\(\frac{44}{10}\)
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: A
Rezolvare: O fracție este subunitară dacă numărătorul este mai mic decât numitorul (valoarea < 1). Din mulțimea A, doar 4/5 are 4 < 5.
Ex. 5Rezultatul calculului \(2\sqrt{2} - 6\sqrt{2} + 3\sqrt{2}\) este egal cu:
1. A)\(11\sqrt{2}\)
2. B)\(-4\sqrt{2}\)
3. C)\(-\sqrt{6}\)
4. D)\(-\sqrt{2}\)
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: D
Rezolvare: Toți termenii au factorul comun √2: (2 − 6 + 3)√2 = −1·√2 = −√2.
Ex. 6Bunica lui Andrei are în curte 10 găini și de două ori mai multe rațe. Andrei afirmă că „Bunica are în curte 10 găini și 20 de rațe." Afirmația lui Andrei este:
1. A)adevărată
2. B)falsă
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: A
Rezolvare: „De două ori mai multe" = înmulțit cu 2. Rațe = 2·10 = 20. Afirmația „10 găini și 20 rațe" este adevărată.

Subiectul al II-lea — 6 exerciții grilă (geometrie)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare răspuns corect = 5 puncte. Timp orientativ: 30 de minute.

Ex. 1În figura alăturată sunt reprezentate punctele distincte A, B, C și D coliniare. Punctul B este mijlocul segmentului AC și punctul C este mijlocul segmentului AD. Valoarea raportului BD/AB este egală cu:
1. A)3
2. B)2
3. C)0,75
4. D)0,50
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: A
Rezolvare: Notează AB = x. B mij AC ⇒ AC = 2x. C mij AD ⇒ AD = 2·AC = 4x. Atunci BD = AD − AB = 4x − x = 3x ⇒ BD/AB = 3.
Ex. 2În figura alăturată sunt reprezentate unghiurile ∢AOB și ∢BOC, adiacente suplementare. Semidreapta OD este bisectoarea unghiului ∢AOB și măsura unghiului ∢BOC este de 40°. Măsura unghiului ∢BOD este egală cu:
1. A)70°
2. B)60°
3. C)40°
4. D)30°
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: A
Rezolvare: Unghiurile adiacente suplementare ∢AOB și ∢BOC ⇒ ∢AOB + ∢BOC = 180°. ∢AOB = 180° − 40° = 140°. OD bisectoare ⇒ ∢BOD = ∢AOB/2 = 70°.
Ex. 3În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AB = 4 cm și AC = 6 cm. Punctul M este mijlocul laturii AC. Lungimea segmentului BM este egală cu:
1. A)3 cm
2. B)4 cm
3. C)5 cm
4. D)6 cm
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: AM = AC/2 = 3 cm. △ABM dreptunghic în A (același unghi cu △ABC). Pitagora: BM² = AB² + AM² = 16 + 9 = 25 ⇒ BM = 5 cm.
Ex. 4În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul ABCD, cu AB = 6 cm și BC = 3 cm. Bisectoarea unghiului ∢BAD intersectează latura DC în punctul P. Măsura unghiului ∢APB este egală cu:
1. A)135°
2. B)90°
3. C)60°
4. D)45°
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Bisectoarea lui ∢BAD = 90° împarte unghiul în 45° + 45°. △ADP dreptunghic isoscel ⇒ DP = AD = 3 ⇒ PC = AB − DP = 3. △BCP dreptunghic isoscel ⇒ ∢CPB = 45°. Atunci ∢APB = 180° − ∢APD − ∢BPC = 180° − 45° − 45° = 90°.
Ex. 5În figura alăturată este reprezentat cercul de centru O și raza 2 cm, unde AB și CD sunt diametre perpendiculare. Distanța de la punctul C la dreapta AD este egală cu:
1. A)2 cm
2. B)\(2\sqrt{2}\) cm
3. C)\(2\sqrt{3}\) cm
4. D)4 cm
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Plasez O(0,0), A(−2,0), B(2,0), C(0,2), D(0,−2). Dreapta AD trece prin (−2,0) și (0,−2) ⇒ ecuație x + y + 2 = 0. Distanța de la C(0,2): |0 + 2 + 2|/√2 = 4/√2 = 2√2 cm.
Ex. 6În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră regulată VABCD, cu baza ABCD și VA = AB = 4 cm. Aria laterală a piramidei VABCD este egală cu:
1. A)16 cm²
2. B)\(16\sqrt{2}\) cm²
3. C)\(16\sqrt{3}\) cm²
4. D)32 cm²
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: VA = AB = 4 ⇒ fiecare față laterală este un triunghi echilateral cu latura 4. Aria unui triunghi echilateral = (l²√3)/4 = 16√3/4 = 4√3 cm². Piramida are 4 fețe laterale ⇒ Aria laterală = 4·4√3 = 16√3 cm².

Subiectul al III-lea — 6 probleme cu rezolvare a/b

Scrie rezolvările complete. Fiecare subpunct (a) valorează 2 puncte, fiecare (b) valorează 3 puncte. Timp orientativ: 60 de minute.

Ex. 1Un turist a parcurs un traseu în trei zile. În a doua zi a parcurs cu 6 km mai puțin decât în prima zi, iar în a treia zi 50% din distanța parcursă în primele două zile.
1. a) Este posibil ca distanța parcursă de turist în primele două zile să reprezinte 50% din lungimea întregului traseu? Justifică răspunsul dat.
  Vezi pașii din barem
  1. Notează d₁ + d₂ = S₁₂. Din ipoteză d₃ = 0,5·S₁₂. Total = S₁₂ + d₃ = 1,5·S₁₂. (1 pct)
  2. Pentru ca S₁₂ = 50% din total ⇒ S₁₂ = 0,5·1,5·S₁₂ = 0,75·S₁₂ ⇒ 0,25·S₁₂ = 0 ⇒ S₁₂ = 0. Imposibil. Deci NU este posibil. (1 pct)
2. b) Știind că turistul a parcurs în a treia zi 9 km, determină lungimea traseului parcurs în prima zi.
  Vezi pașii din barem
  1. d₃ = 0,5·(d₁ + d₂) = 9 ⇒ d₁ + d₂ = 18. (1 pct)
  2. d₂ = d₁ − 6 ⇒ d₁ + (d₁ − 6) = 18 ⇒ 2·d₁ = 24. (1 pct)
  3. d₁ = 12 km (în prima zi). Verificare: d₂ = 6, d₃ = 9. (1 pct)
Ex. 2Se consideră expresia \(E(x) = (2x-1)^2 - (2x-4)(x+2) + (x+3)^2\), unde x este număr real.
1. a) Arată că \(E(x) = 3x^2 + 2x + 18\), pentru orice număr real x.
  Vezi pașii din barem
  1. Desfaci pătratele: \((2x-1)^2 = 4x^2 - 4x + 1\), \((x+3)^2 = x^2 + 6x + 9\). (1 pct)
  2. Produs: \((2x-4)(x+2) = 2x^2 + 4x - 4x - 8 = 2x^2 - 8\). Atunci \(E(x) = 4x^2 - 4x + 1 - (2x^2 - 8) + x^2 + 6x + 9 = 3x^2 + 2x + 18\). (1 pct)
2. b) Demonstrează că numărul natural \(A = E(n) + n\) este multiplu de 6, pentru orice număr natural n.
  Vezi pașii din barem
  1. A = 3n² + 2n + 18 + n = 3n² + 3n + 18 = 3·n·(n+1) + 18. (1 pct)
  2. n·(n+1) este produsul a două numere naturale consecutive ⇒ divizibil cu 2 ⇒ 3·n·(n+1) este divizibil cu 6. (1 pct)
  3. 18 este divizibil cu 6 (18 = 3·6). Suma a două multipli de 6 este tot multiplu de 6 ⇒ A divizibil cu 6. (1 pct)
Ex. 3Se consideră funcția \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x - 2\).
1. a) Arată că f(3) − f(−3) = 6.
  Vezi pașii din barem
  1. f(3) = 3 − 2 = 1; f(−3) = −3 − 2 = −5. (1 pct)
  2. f(3) − f(−3) = 1 − (−5) = 6. (1 pct)
2. b) În sistemul de axe ortogonale xOy, determină distanța de la punctul C(−2, 0) la reprezentarea grafică a funcției f.
  Vezi pașii din barem
  1. Ecuația dreptei: y = x − 2, echivalent x − y − 2 = 0. (1 pct)
  2. Distanța de la C(−2, 0) la dreapta: d = |(−2) − 0 − 2|/√(1² + 1²) = |−4|/√2. (1 pct)
  3. d = 4/√2 = 4√2/2 = 2√2. (1 pct)
Ex. 4În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral ABC, cu AB = 3 cm și înălțimea AD, unde D ∈ BC. Punctul M aparține laturii AB, astfel încât AM = 1 cm. Paralela prin M la dreapta AC intersectează AD în Q și BC în P.
1. a) Arată că perimetrul triunghiului BMP este egal cu 6 cm.
  Vezi pașii din barem
  1. MP ∥ AC ⇒ △BMP ~ △BAC (corespondență B↔B, M↔A, P↔C). BM = AB − AM = 3 − 1 = 2. (1 pct)
  2. Raportul de asemănare = BM/BA = 2/3 ⇒ MP = 2/3·AC = 2 și BP = 2/3·BC = 2. Perimetru = 2 + 2 + 2 = 6 cm. (1 pct)
2. b) Determină lungimea segmentului PQ.
  Vezi pașii din barem
  1. Coordonate: B(0,0), C(3,0), A(1,5; 3√3/2). AD înălțime ⇒ D mij BC ⇒ D(1,5; 0). (1 pct)
  2. M pe AB cu AM = 1, AB = 3 ⇒ M = (1; √3). MP ∥ AC, direcția AC = (1; −√3). Linia MP: (1+t; √3 − √3·t). (1 pct)
  3. Q = MP ∩ AD (linia x = 1,5): t = 0,5 ⇒ Q(1,5; √3/2). P = MP ∩ BC (y=0): t = 1 ⇒ P(2; 0). PQ = √((2−1,5)² + (√3/2)²) = √(0,25 + 0,75) = 1 cm. (1 pct)
Ex. 5Se consideră trapezul isoscel ABCD, cu AB ∥ CD, măsura unghiului ∢ADC egală cu 120° și AD = DC = 6 cm. Dreapta MP este mediatoarea segmentului BC, unde M ∈ AB și P ∈ BC.
1. a) Arată că AB = 12 cm.
  Vezi pașii din barem
  1. Trapez isoscel cu ∢ADC = 120° ⇒ ∢DAB = 180° − 120° = 60°. Coboară perpendiculara din D pe AB în D′. △ADD′ dreptunghic în D′ cu ∢DAD′ = 60° ⇒ AD′ = AD·cos 60° = 6·1/2 = 3. (1 pct)
  2. Prin simetrie, proiecția lui C pe AB satisface C′B = 3. Atunci AB = AD′ + D′C′ + C′B = 3 + DC + 3 = 3 + 6 + 3 = 12 cm. (1 pct)
2. b) Demonstrează că dreptele DM și MP sunt perpendiculare.
  Vezi pașii din barem
  1. M aparține mediatoarei lui BC ⇒ MB = MC. △MBC cu ∢MBC = ∢ABC = 60° (în trapez isoscel) și MB = MC ⇒ △MBC este echilateral ⇒ MB = MC = BC. Cum BC se calculează la fel ca AD (laturile neparalele într-un trapez isoscel) ⇒ BC = 6 ⇒ MB = MC = 6 și AM = AB − MB = 12 − 6 = 6. (1 pct)
  2. △ADM are AM = AD = 6 și ∢DAM = ∢DAB = 60° ⇒ △ADM echilateral ⇒ DM = 6. Atunci în △DMC: DM = MC = DC = 6 ⇒ echilateral ⇒ ∢DMC = 60°. În △MBC echilateral, P fiind mij. BC, MP este și mediană și bisectoare ⇒ ∢CMP = 30°. (1 pct)
  3. ∢DMP = ∢DMC + ∢CMP = 60° + 30° = 90° ⇒ DM ⊥ MP. (1 pct)
Ex. 6Se consideră cubul ABCDA'B'C'D' cu AB = 6√2 cm.
1. a) Arată că volumul cubului ABCDA'B'C'D' este egal cu 432√2 cm³.
  Vezi pașii din barem
  1. V = (AB)³ = (6√2)³. (1 pct)
  2. (6√2)³ = 6³·(√2)³ = 216·2√2 = 432√2 cm³. (1 pct)
2. b) Determină distanța de la punctul O la planul (BDD'), unde O este intersecția dreptelor AD' și A'D.
  Vezi pașii din barem
  1. Coordonate (latura a = 6√2): A(0,0,0), B(a,0,0), C(a,a,0), D(0,a,0), A'(0,0,a), B'(a,0,a), C'(a,a,a), D'(0,a,a). AD': (0, at, at), A'D: (0, as, a−as). Intersecție: t = s și at = a − as ⇒ t = 1/2. O = (0, a/2, a/2) = (0, 3√2, 3√2). (1 pct)
  2. Planul (BDD') conține B(a,0,0), D(0,a,0), D'(0,a,a). BD = (−a,a,0), DD' = (0,0,a). Normal: BD × DD' = (a², a², 0) ∥ (1,1,0). Ecuația planului: x + y = a (din B: a + 0 = a). (1 pct)
  3. Distanța de la O(0, 3√2, 3√2) la planul x + y = 6√2: d = |0 + 3√2 − 6√2|/√(1+1) = 3√2/√2 = 3 cm. (1 pct)

Ai citit baremul. Acum dă-l propriu-zis.

Rezolvă acest subiect cronometrat în cont. La final, AI-ul îți spune câte puncte ai luat pe fiecare item, pe baremul oficial, plus o explicație pas-cu-pas pentru fiecare greșeală.

Începe simularea cronometrată →

5 credite bonus la înregistrare. Fără card.