Matematică — clasa VIII · 2023 · simulare oficială

Matematică · Simulare oficială MEC EN VIII 2022–2023 (subiect + barem)

Simularea oficială MEC pentru Evaluarea Națională VIII matematică, anul școlar 2022–2023. 18 exerciții: Subiect I (6 grilă algebră), Subiect al II-lea (6 grilă geometrie cu figuri), Subiect al III-lea (6 cu rezolvare a/b). Barem complet și explicații per distractor.

Durată: 120 min
Exerciții: 18
Materie: Matematică
Sursă: MEC oficial

Rezolvă cronometrat cu AI →

Rezolvă în 2 ore, în condiții de examen. AI-ul îți corectează pe baremul oficial și îți explică, exercițiu cu exercițiu, unde te-ai încurcat — cu pași numerotați, ca un profesor de meditații.

Subiectul I — 6 exerciții grilă (algebră)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare răspuns corect = 5 puncte. Timp orientativ: 30 de minute.

Ex. 1Numărul natural scris în baza zece, de forma \(\overline{17x}\), divizibil cu 10, este egal cu:
1. A)17
2. B)70
3. C)100
4. D)170
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: D
Rezolvare: Un număr e divizibil cu 10 doar dacă ultima cifră este 0. În forma \(\overline{17x}\), asta înseamnă x = 0, deci numărul este 170.
Ex. 2Numărul care reprezintă 20% din 50 este egal cu:
1. A)10
2. B)20
3. C)25
4. D)100
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: A
Rezolvare: 20% din 50 = (20/100)·50 = 50/5 = 10.
Ex. 3Suma numerelor întregi din intervalul \([-2, 3]\) este egală cu:
1. A)−9
2. B)−3
3. C)3
4. D)6
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Intervalul \([-2, 3]\) conține întregii −2, −1, 0, 1, 2, 3. Sumă = (−2)+(−1)+0+1+2+3 = 3.
Ex. 4Inversul numărului \(\frac{2}{3}\) este numărul:
1. A)\(-\frac{3}{2}\)
2. B)\(-\frac{2}{3}\)
3. C)\(\frac{2}{3}\)
4. D)\(\frac{3}{2}\)
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: D
Rezolvare: Inversul (multiplicativ) al numărului a/b este b/a. Pentru 2/3 inversul este 3/2.
Ex. 5Patru elevi, Elena, Maria, George și Mihai, au calculat media geometrică a numerelor \(x = 3 - 2\sqrt{2}\) și \(y = 3 + 2\sqrt{2}\) și au obținut: Elena: \(\sqrt{17}\), Maria: \(\sqrt{2}\), George: 1, Mihai: 3. Dintre cei patru elevi, cel care a calculat corect media geometrică este:
1. A)Elena
2. B)Maria
3. C)George
4. D)Mihai
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Folosind \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\): \(xy = 9 - 8 = 1\). Media geometrică = \(\sqrt{1}\) = 1.
Ex. 6Afirmația „Numărul 4 este mai mare decât numărul \(2\sqrt{5}\)." este:
1. A)adevărată
2. B)falsă
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Ridici la pătrat (ambele pozitive): \(4^2 = 16\) vs \((2\sqrt{5})^2 = 20\). 16 < 20 ⇒ 4 < \(2\sqrt{5}\), deci afirmația „4 > \(2\sqrt{5}\)" este falsă.

Subiectul al II-lea — 6 exerciții grilă (geometrie)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare răspuns corect = 5 puncte. Timp orientativ: 30 de minute.

Ex. 1În figura alăturată este reprezentat segmentul AB cu lungimea de 5 cm. Punctul C este simetricul punctului B față de punctul A, iar punctul D este simetricul punctului C față de punctul B. Lungimea segmentului CD este egală cu:
1. A)5 cm
2. B)10 cm
3. C)15 cm
4. D)20 cm
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: D
Rezolvare: C simetric lui B față de A ⇒ CA = AB = 5, deci CB = 10. D simetric lui C față de B ⇒ BD = BC = 10. CD = CB + BD = 20 cm.
Ex. 2În figura alăturată, unghiurile ∢AOC și ∢BOD sunt opuse la vârf. Măsura unghiului ∢AOC este egală cu 30°, iar semidreapta OE este bisectoarea unghiului ∢BOC. Măsura unghiului ∢DOE este egală cu:
1. A)75°
2. B)90°
3. C)105°
4. D)150°
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: ∢BOC = 180° − ∢AOC = 150°. OE bisectoare ⇒ ∢BOE = 75°. ∢BOD = ∢AOC = 30° (opuse la vârf). ∢DOE = ∢DOB + ∢BOE = 30° + 75° = 105°.
Ex. 3În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC cu AB = 12 cm, BC = 13 cm și AC = 7 cm. Punctele M, N și P sunt mijloacele segmentelor AB, BC, respectiv AC. Perimetrul triunghiului MNP este egal cu:
1. A)8 cm
2. B)16 cm
3. C)18 cm
4. D)32 cm
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: M, N, P sunt mijloacele laturilor ⇒ laturile △MNP sunt jumătățile laturilor △ABC (teorema liniei mijlocii). Perimetrul △MNP = (12+13+7)/2 = 32/2 = 16 cm.
Ex. 4În figura alăturată este reprezentat patrulaterul ABCD. Dreapta AC este perpendiculară pe dreapta BC și dreapta AD este perpendiculară pe dreapta BD. Punctul M este mijlocul segmentului AB și măsura unghiului ∢DCM este egală cu 40°. Măsura unghiului ∢CMD este egală cu:
1. A)80°
2. B)90°
3. C)100°
4. D)120°
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: AC ⊥ BC ⇒ △ABC dreptunghic în C. AD ⊥ BD ⇒ △ABD dreptunghic în D. M mij. ipotenuzei AB ⇒ CM = DM = AB/2 (mediana corespunzătoare ipotenuzei). △CMD isoscel cu MC = MD și ∢DCM = 40° ⇒ ∢MDC = 40° ⇒ ∢CMD = 180° − 40° − 40° = 100°.
Ex. 5În figura alăturată este reprezentat cercul de centru O și diametru BC. Punctul A aparține cercului, astfel încât măsura arcului mic AC este egală cu 120°. Măsura unghiului ∢ACB este egală cu:
1. A)30°
2. B)60°
3. C)90°
4. D)120°
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: A
Rezolvare: BC diametru ⇒ semicercul AB are 180° − 120° = 60°. Unghi înscris ∢ACB subîntinde arcul AB, deci măsura sa = 60°/2 = 30°.
Ex. 6În figura alăturată este reprezentat un con circular drept cu secțiunea axială triunghiul dreptunghic VAB și raza bazei conului AO = 4 cm. Generatoarea acestui con are lungimea egală cu:
1. A)4 cm
2. B)\(4\sqrt{2}\) cm
3. C)8 cm
4. D)\(8\sqrt{2}\) cm
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Secțiunea axială VAB dreptunghică cu unghiul drept în V (vârful conului) ⇒ VA = VB = g și AB = 2·AO = 8. Pitagora: 2g² = 64 ⇒ g = \(4\sqrt{2}\) cm.

Subiectul al III-lea — 6 probleme cu rezolvare a/b

Scrie rezolvările complete. Fiecare subpunct (a) valorează 2 puncte, fiecare (b) valorează 3 puncte. Timp orientativ: 60 de minute.

Ex. 1Într-un bloc de locuințe sunt 22 de apartamente cu două, respectiv cu patru camere, în total fiind 60 de camere.
1. a) Este posibil ca în acest bloc să fie 16 apartamente cu patru camere? Justifică răspunsul dat.
  Vezi pașii din barem
  1. Presupunem 16 apartamente cu 4 camere ⇒ 22 − 16 = 6 apartamente cu 2 camere. (1 pct)
  2. Total camere = 16·4 + 6·2 = 64 + 12 = 76 ≠ 60 ⇒ NU este posibil. (1 pct)
2. b) Determină numărul de apartamente cu două camere din acest bloc.
  Vezi pașii din barem
  1. Fie x = nr. apartamente cu 2 camere, y = nr. apartamente cu 4 camere. Sistemul: x + y = 22 și 2x + 4y = 60. (1 pct)
  2. Din prima: y = 22 − x. Substituie: 2x + 4(22 − x) = 60 ⇒ 2x + 88 − 4x = 60 ⇒ −2x = −28 ⇒ x = 14. (1 pct)
  3. În bloc sunt 14 apartamente cu două camere (și y = 8 cu patru camere). (1 pct)
Ex. 2Se consideră expresia \(E(x) = \left(\frac{x^2-9}{x^2-16} - 1\right) : \left(\frac{1}{x+4} + \frac{1}{x-4} - \frac{3}{x^2-16}\right)\), unde x este număr real, x ≠ −4, x ≠ 4 și x ≠ 3/2.
1. a) Arată că \(E(x) = \frac{7}{2x-3}\), unde x este număr real, x ≠ −4, x ≠ 4 și x ≠ 3/2.
  Vezi pașii din barem
  1. Prima paranteză: \((x^2-9)/(x^2-16) - 1 = (x^2-9 - x^2+16)/(x^2-16) = 7/(x^2-16)\). (1 pct)
  2. A doua paranteză cu numitor comun \((x-4)(x+4) = x^2-16\): \((x-4 + x+4 - 3)/(x^2-16) = (2x-3)/(x^2-16)\). Atunci \(E(x) = \frac{7}{x^2-16} : \frac{2x-3}{x^2-16} = \frac{7}{2x-3}\). (1 pct)
2. b) Determină numerele naturale n pentru care E(n) este număr natural.
  Vezi pașii din barem
  1. E(n) = 7/(2n−3) natural ⇒ 2n−3 trebuie să fie divizor pozitiv al lui 7 ⇒ 2n−3 ∈ {1, 7}. (1 pct)
  2. 2n − 3 = 1 ⇒ n = 2; 2n − 3 = 7 ⇒ n = 5. Verifici condițiile (n ≠ 4, n ≠ 3/2) ⇒ ambele valori sunt acceptate. (1 pct)
  3. Soluția: n ∈ {2, 5}. (1 pct)
Ex. 3Se consideră numerele \(a = \left(-\frac{1}{3}\right)^{32} : \left(-\frac{1}{3}\right)^{30} \cdot (-6)^2\) și \(b = \left(\frac{1}{1+2} + \frac{1}{1+2+3}\right) \cdot (0,5)^{-2}\).
1. a) Arată că a = 4.
  Vezi pașii din barem
  1. \((-1/3)^{32} : (-1/3)^{30} = (-1/3)^{32-30} = (-1/3)^2 = 1/9\). (1 pct)
  2. \(a = 1/9 \cdot (-6)^2 = 1/9 \cdot 36 = 4\). (1 pct)
2. b) Calculează media aritmetică a numerelor a și b.
  Vezi pașii din barem
  1. Calculezi b: \(1/(1+2) = 1/3\), \(1/(1+2+3) = 1/6\). Suma = \(2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2\). (1 pct)
  2. \((0,5)^{-2} = (1/2)^{-2} = 2^2 = 4\). Deci \(b = 1/2 \cdot 4 = 2\). (1 pct)
  3. Media aritmetică = (a + b)/2 = (4 + 2)/2 = 3. (1 pct)
Ex. 4În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC cu BC = 10 cm, AC = 20 cm și măsura unghiului ∢ACB este egală cu 30°. Punctul D aparține segmentului AC, astfel încât unghiul ∢DBC este congruent cu ∢BAC.
1. a) Arată că aria triunghiului ABC este egală cu 50 cm².
  Vezi pașii din barem
  1. Aria(ABC) = (1/2) · BC · AC · sin(∢ACB) = (1/2) · 10 · 20 · sin(30°). (1 pct)
  2. sin(30°) = 1/2 ⇒ Aria = (1/2) · 10 · 20 · (1/2) = 50 cm². (1 pct)
2. b) Calculează lungimea segmentului CD.
  Vezi pașii din barem
  1. În △DBC: ∢DCB = ∢ACB = 30° (unghi comun la C) și ∢DBC = ∢BAC (din ipoteză). Deci △DBC ~ △BAC (cazul U.U., cu D↔B, B↔A, C↔C). (1 pct)
  2. Din asemănare: DC/BC = BC/AC ⇒ DC/10 = 10/20. (1 pct)
  3. DC = 10 · 10/20 = 5 cm. (1 pct)
Ex. 5În figura alăturată sunt reprezentate rombul ABCD cu măsura unghiului ∢BAD egală cu 45° și triunghiul dreptunghic isoscel ABE cu AB = BE = 10 cm. Punctele C și E sunt de o parte și de alta a dreptei AB.
1. a) Arată că dreapta DA este perpendiculară pe dreapta AE.
  Vezi pașii din barem
  1. În rombul ABCD, ∢BAD = 45° ⇒ ∢DAB = 45°. (1 pct)
  2. △ABE dreptunghic isoscel cu AB = BE și unghi drept în B (deoarece catetele AB, BE sunt egale) ⇒ ∢BAE = 45°. C și E pe părți opuse ale lui AB ⇒ ∢DAE = ∢DAB + ∢BAE = 45° + 45° = 90°. Deci DA ⊥ AE. (1 pct)
2. b) Arată că tangenta unghiului ∢CAE este egală cu \(\sqrt{2} + 1\).
  Vezi pașii din barem
  1. AC diagonala rombului bisectează ∢BAD ⇒ ∢CAB = 22,5°. E pe partea opusă lui C față de AB ⇒ ∢CAE = ∢CAB + ∢BAE = 22,5° + 45° = 67,5°. (1 pct)
  2. Folosim formula \(\tan(45° + 22{,}5°) = (1 + \tan 22{,}5°)/(1 - \tan 22{,}5°)\). Știm că \(\tan 22{,}5° = \sqrt{2} - 1\). (1 pct)
  3. \(\tan 67{,}5° = (1 + \sqrt{2} - 1)/(1 - (\sqrt{2}-1)) = \sqrt{2}/(2 - \sqrt{2}) = \sqrt{2}(2+\sqrt{2})/((2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})) = (2\sqrt{2} + 2)/2 = \sqrt{2} + 1\). (1 pct)
Ex. 6În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDA'B'C'D' cu AB = 6 cm. Punctul M este mijlocul segmentului B'C' și dreptele BM și B'C se intersectează în punctul R. Punctul P aparține segmentului AC, astfel încât AP = 2√2 cm.
1. a) Arată că CP = 2 · AP.
  Vezi pașii din barem
  1. Diagonala pătratului ABCD: AC = AB · \(\sqrt{2}\) = 6\(\sqrt{2}\) cm. (1 pct)
  2. CP = AC − AP = 6\(\sqrt{2}\) − 2\(\sqrt{2}\) = 4\(\sqrt{2}\) = 2 · (2\(\sqrt{2}\)) = 2 · AP. (1 pct)
2. b) Determină măsura unghiului dreptelor PR și AD'.
  Vezi pașii din barem
  1. Coordonate: A(0,0,0), B(6,0,0), C(6,6,0), D(0,6,0), B'(6,0,6), C'(6,6,6), D'(0,6,6). M = mij. B'C' = (6, 3, 6). BM: x = 6, y = t, z = 2t. B'C: x = 6, y = s, z = 6 − s. Intersecție: 2t = 6 − t ⇒ t = 2 ⇒ R(6, 2, 4). (1 pct)
  2. P pe AC cu AP = 2\(\sqrt{2}\): direcția AC = (1,1,0)/\(\sqrt{2}\) ⇒ P = (2, 2, 0). Vector PR = R − P = (4, 0, 4) ∥ (1, 0, 1). Vector AD' = (0, 6, 6) ∥ (0, 1, 1). (1 pct)
  3. Unghiul dintre PR și AD': cos θ = (1·0 + 0·1 + 1·1)/(√2 · √2) = 1/2 ⇒ θ = 60°. (1 pct)

Ai citit baremul. Acum dă-l propriu-zis.

Rezolvă acest subiect cronometrat în cont. La final, AI-ul îți spune câte puncte ai luat pe fiecare item, pe baremul oficial, plus o explicație pas-cu-pas pentru fiecare greșeală.

Începe simularea cronometrată →

5 credite bonus la înregistrare. Fără card.