Matematică — clasa VIII · 2024 · simulare oficială

Matematică · Simulare oficială MEC EN VIII 2023–2024 (subiect + barem)

Simularea oficială MEC pentru Evaluarea Națională VIII matematică 2024. 18 exerciții: Subiect I (6 grilă algebră + interpretare diagramă), Subiect al II-lea (6 grilă geometrie cu figuri), Subiect al III-lea (6 cu rezolvare a/b). Barem complet și explicații per distractor.

Durată: 120 min
Exerciții: 18
Materie: Matematică
Sursă: MEC oficial

Rezolvă cronometrat cu AI →

Rezolvă în 2 ore, în condiții de examen. AI-ul îți corectează pe baremul oficial și îți explică, exercițiu cu exercițiu, unde te-ai încurcat — cu pași numerotați, ca un profesor de meditații.

Subiectul I — 6 exerciții grilă (algebră)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare răspuns corect = 5 puncte. Timp orientativ: 30 de minute.

Ex. 1Rezultatul calculului 52 − 2 · (25 − 5) este:
1. A)12
2. B)92
3. C)100
4. D)1000
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: A
Rezolvare: Paranteză întâi: 25 − 5 = 20. Apoi 2·20 = 40. La final 52 − 40 = 12.
Ex. 2Dacă (x − 2)/5 = y/3, atunci rezultatul calculului 3x − 5y este:
1. A)0
2. B)2
3. C)5
4. D)6
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: D
Rezolvare: Înmulțire în cruce: 3(x − 2) = 5y, deci 3x − 5y = 6.
Ex. 3Se consideră mulțimile A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} și B = {0, 2, 4, 6, 8}. Intersecția mulțimilor A și B este mulțimea:
1. A){0, 2, 4, 6, 8}
2. B){0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}
3. C){2, 4, 6}
4. D){0, 2, 4, 6}
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: A ∩ B conține elementele care apar în ambele mulțimi: {2, 4, 6}.
Ex. 4Mulțimea soluțiilor reale ale inecuației 2x + 2 ≥ 4 este:
1. A)(−∞, −1]
2. B)(−∞, 1]
3. C)[−1, +∞)
4. D)[1, +∞)
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: D
Rezolvare: 2x + 2 ≥ 4 ⇒ 2x ≥ 2 ⇒ x ≥ 1. Soluții: [1, +∞).
Ex. 5Patru elevi (Ana, Ioan, Dana, Vlad) determină a = |2 − 4√3| + 2(√12 + 1). Rezultatele: Ana 0, Ioan 4, Dana 4√3, Vlad 8√3. Elevul care a determinat corect este:
1. A)Ana
2. B)Ioan
3. C)Dana
4. D)Vlad
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: D
Rezolvare: |2 − 4√3| = 4√3 − 2 și √12 = 2√3, deci 2(√12 + 1) = 4√3 + 2. Suma: 4√3 − 2 + 4√3 + 2 = 8√3.
Ex. 6În diagrama de mai jos sunt rezultatele obținute la un test (nota 4 → 1 elev, nota 5 → 3, nota 6 → 6, nota 7 → 5, nota 8 → 5, nota 9 → 6, nota 10 → 4). Afirmația „Jumătate din numărul elevilor a obținut cel puțin nota 8." este:
1. A)adevărată
2. B)falsă
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: A
Rezolvare: Total: 1+3+6+5+5+6+4 = 30 elevi. Cu cel puțin nota 8: 5+6+4 = 15. 15 este exact jumătate din 30, deci afirmația este adevărată.

Subiectul al II-lea — 6 exerciții grilă (geometrie)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare răspuns corect = 5 puncte. Timp orientativ: 30 de minute.

Ex. 1Punctele A, B, C, D sunt coliniare (în această ordine), astfel încât BC = 2·AB, CD = 2·BC și AB = 2 cm. M este mijlocul AB, N este mijlocul CD. Lungimea segmentului MN este egală cu:
1. A)4 cm
2. B)5 cm
3. C)7 cm
4. D)9 cm
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: D
Rezolvare: AB = 2 ⇒ MB = 1. BC = 2·AB = 4. CD = 2·BC = 8 ⇒ CN = 4. MN = MB + BC + CN = 9 cm.
Ex. 2Unghiurile adiacente complementare ∢AOB și ∢BOC sunt reprezentate. Semidreapta OM este bisectoarea unghiului ∢AOB, iar ∢BOC = 3·∢AOM. Măsura unghiului ∢AOB este egală cu:
1. A)18°
2. B)36°
3. C)40°
4. D)54°
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Notăm ∢AOB = x. Bisectoare ⇒ ∢AOM = x/2. Complementare ⇒ ∢AOB + ∢BOC = 90°, deci ∢BOC = 90° − x. Condiția ∢BOC = 3·∢AOM dă 90° − x = 3x/2 ⇒ x = 36°.
Ex. 3În triunghiul ABC, AB = 10 cm și AC = 12 cm. BI este bisectoarea unghiului ∢ABC, CI bisectoarea unghiului ∢ACB. Paralela prin I la BC intersectează AB și AC în D, respectiv E. Perimetrul triunghiului ADE este egal cu:
1. A)11 cm
2. B)20 cm
3. C)22 cm
4. D)24 cm
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Cheia: DE ∥ BC + bisectoare BI ⇒ triunghi DIB isoscel ⇒ DI = DB. Similar EI = EC. Perimetrul triunghiului ADE = AD + (DI + IE) + EA = AD + DB + EC + EA = (AD + DB) + (EC + EA) = AB + AC = 10 + 12 = 22 cm.
Ex. 4În dreptunghiul ABCD, AB = 3√2 cm. Triunghiul BEC este dreptunghic în E. F este mijlocul segmentului BC și EF = 4 cm. Aria trapezului AFCD este egală cu:
1. A)6√2 cm²
2. B)12√2 cm²
3. C)18√2 cm²
4. D)24√2 cm²
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: F mijlocul ipotenuzei în △BEC dreptunghic în E ⇒ EF = BC/2 ⇒ BC = 8 cm. AD = BC = 8 (dreptunghi). FC = BC/2 = 4. Trapezul AFCD are bazele paralele AD = 8 și FC = 4, înălțimea = AB = 3√2 ⇒ Aria = (8+4)·3√2/2 = 18√2 cm².
Ex. 5Cercul cu centrul O are raza 3 cm. Punctul P se află la 6 cm de O. PA și PB sunt tangente la cerc în A, respectiv B. Măsura arcului mic AB este egală cu:
1. A)60°
2. B)90°
3. C)120°
4. D)150°
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: OA ⊥ PA ⇒ △OAP dreptunghic în A cu OA = 3, OP = 6. cos(∢AOP) = 1/2 ⇒ ∢AOP = 60°. Simetric ∢BOP = 60° ⇒ ∢AOB = 120°. Arcul mic AB are aceeași măsură = 120°.
Ex. 6Piramida patrulateră regulată VABCD are baza pătratul ABCD, VA = AB, O = AC ∩ DB. M este mijlocul segmentului VB. Măsura unghiului dreptelor OM și CD este egală cu:
1. A)0°
2. B)30°
3. C)45°
4. D)60°
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: D
Rezolvare: În piramida cu muchii egale VA = AB = a, înălțimea VO = a√2/2. Cu coordonate ortonormate, vec(OM) = (a/4)·(1, −1, √2). vec(CD) e pe direcția AB. cos(∢(OM, CD)) = 1/2 ⇒ unghi 60°.

Subiectul al III-lea — 6 probleme cu rezolvare completă (a/b)

Scrie rezolvările complete. Fiecare subpunct (a) valorează 2 puncte, fiecare (b) valorează 3 puncte. Timp orientativ: 60 de minute.

Ex. 1Maria aranjează cărțile din bibliotecă și observă că dacă le grupează câte 8, câte 12 sau câte 18 îi rămân de fiecare dată 5 cărți.
1. a) Verifică dacă Maria poate avea în bibliotecă 53 de cărți. Justifică răspunsul dat.
  Vezi pașii din barem
  1. Notează numărul de cărți n cu n − 5 divizibil cu 8, 12 și 18. Pentru n = 53: 53 − 5 = 48. (1 pct)
  2. 48 nu este divizibil cu 18 (48 : 18 = 2 rest 12), deci 53 NU îndeplinește condițiile. (1 pct)
2. b) Determină numărul cărților din biblioteca Mariei, știind că este cel mai mic număr natural de trei cifre cu proprietățile din enunț.
  Vezi pașii din barem
  1. n − 5 ∈ multiplii comuni ai lui 8, 12, 18 ⇒ n − 5 = k · c.m.m.m.c.(8, 12, 18) = 72k. (1 pct)
  2. n = 72k + 5. Pentru k = 1: n = 77 (2 cifre). Pentru k = 2: n = 149 (3 cifre). (1 pct)
  3. Numărul cărților este 149. (1 pct)
Ex. 2Se consideră expresia E(x) = (2x + 3)² + (x − 2)(x + 2) − 3(1 − x) + 2, unde x este număr real.
1. a) Arată că E(0) = 4.
  Vezi pașii din barem
  1. E(0) = 3² + (−2)(2) − 3·1 + 2 = 9 − 4 − 3 + 2 = 4. (2 pct)
2. b) Arată că numărul N = E(n) + 6 este divizibil cu 10, pentru orice număr natural n.
  Vezi pașii din barem
  1. Desfaci: E(x) = 4x² + 12x + 9 + x² − 4 − 3 + 3x + 2 = 5x² + 15x + 4. (1 pct)
  2. N = E(n) + 6 = 5n² + 15n + 10 = 5(n² + 3n + 2) = 5(n + 1)(n + 2). (1 pct)
  3. (n+1)(n+2) este produs de două numere naturale consecutive, deci unul este par ⇒ (n+1)(n+2) divizibil cu 2 ⇒ N divizibil cu 10. (1 pct)
Ex. 3Se consideră numărul natural abc cu a, b, c cifre nenule, unde a = 5·(1/2 + 1/3 + 1/6) − 2/3 : 1/3 și b = (3·3²·3³·3⁴) : 9⁴ − 25⁴ : 5⁷.
1. a) Arată că a = 3.
  Vezi pașii din barem
  1. 1/2 + 1/3 + 1/6 = 3/6 + 2/6 + 1/6 = 1. (1 pct)
  2. 2/3 : 1/3 = 2. a = 5·1 − 2 = 3. (1 pct)
2. b) Determină numărul abc, știind că numerele ac și cb sunt direct proporționale cu numerele 4 și 3.
  Vezi pașii din barem
  1. b = 3^(1+2+3+4)/3^8 − 5^8/5^7 = 3^10/3^8 − 5 = 9 − 5 = 4. (1 pct)
  2. Proporționalitate: 3·ac = 4·cb ⇒ 3(30 + c) = 4(10c + 4) ⇒ 90 + 3c = 40c + 16 ⇒ 37c = 74 ⇒ c = 2. (1 pct)
  3. Numărul căutat: abc = 342. (1 pct)
Ex. 4În triunghiul dreptunghic ABC, ∢A = 90° și ∢B = 40°. BE este bisectoarea unghiului ∢ABC, E ∈ AC. Perpendiculara din A pe BC intersectează BC în D, iar perpendiculara din E pe BC intersectează BC în F. Dreptele BE și AD se intersectează în M.
1. a) Arată că măsura unghiului ∢EMA este egală cu 70°.
  Vezi pașii din barem
  1. Bisectoare ⇒ ∢ABM = 20°. În △ABD dreptunghic în D, ∢BAD = 90° − 40° = 50°. Deci ∢BAM = 50°. (1 pct)
  2. ∢AMB = 180° − 50° − 20° = 110°. ∢EMA suplementar cu ∢AMB (B, M, E coliniare) ⇒ ∢EMA = 180° − 110° = 70°. (1 pct)
2. b) Arată că patrulaterul AMFE este romb.
  Vezi pașii din barem
  1. E pe bisectoarea ∢ABC ⇒ distanța de la E la AB egală cu distanța de la E la BC ⇒ AE = EF. (1 pct)
  2. AM ⊥ BC și EF ⊥ BC ⇒ AM ∥ EF. În △ABM dreptunghic în M (∢AMB = 110°? — folosește teorema sinusurilor în △ABE cu ∢A=90°, ∢ABE=20°): AE = AB·tan(20°). În △ABM: ∢BAM = 50°, ∢ABM = 20° ⇒ AM = AB·sin(20°)/sin(110°) = AB·tan(20°). Deci AM = AE. (1 pct)
  3. AMFE are AM ∥ EF, AM = AE = EF ⇒ paralelogram cu două laturi consecutive egale ⇒ romb. (1 pct)
Ex. 5Paralelogramul ABCD are AB = 15 cm. Punctul P ∈ AB cu PB = 2·AP. O este punctul de intersecție al diagonalelor AC și BD.
1. a) Arată că lungimea segmentului AP este egală cu 5 cm.
  Vezi pașii din barem
  1. AB = AP + PB = AP + 2·AP = 3·AP ⇒ 3·AP = 15. (1 pct)
  2. AP = 5 cm. (1 pct)
2. b) Determină raportul dintre aria triunghiului ANP și aria triunghiului DNO, unde N este punctul de intersecție al dreptelor AC și DP.
  Vezi pașii din barem
  1. Coordonate convenabile: A(0,0), B(15,0), D(0,h), C(15,h), P(5,0), O = mijlocul AC = (7,5; h/2). (1 pct)
  2. AC: (15s, hs); DP: (5t, h(1−t)). Egalitate ⇒ s = 1/4 ⇒ N = (15/4, h/4). (1 pct)
  3. Prin Shoelace: Aria(ANP) = 5h/8, Aria(DNO) = 15h/8. Raport = (5h/8)/(15h/8) = 1/3. (1 pct)
Ex. 6În cubul ABCDA′B′C′D′, punctele M, N, P și Q sunt mijloacele segmentelor AA′, A′D′, DD′, respectiv AD.
1. a) Arată că MN = PQ.
  Vezi pașii din barem
  1. În △AA′D′, M și N sunt mijloacele laturilor AA′ și A′D′ ⇒ MN este linie mijlocie, MN = AD′/2 = a√2/2. (1 pct)
  2. În △ADD′, Q și P sunt mijloacele laturilor AD și DD′ ⇒ PQ = AD′/2 = a√2/2. Deci MN = PQ. (1 pct)
2. b) Știind că T este mijlocul segmentului PQ, demonstrează că dreapta CT este paralelă cu planul (MNB).
  Vezi pașii din barem
  1. Coordonate: A(0,0,0), B(a,0,0), C(a,a,0), D(0,a,0), A′(0,0,a) etc. M(0,0,a/2), N(0,a/2,a), P(0,a,a/2), Q(0,a/2,0), T(0, 3a/4, a/4). (1 pct)
  2. Vectori în planul (MNB): vec(MN) = (0, a/2, a/2), vec(MB) = (a, 0, −a/2). Verificăm CT este combinație liniară. (1 pct)
  3. vec(CT) = T − C = (−a, −a/4, a/4) = (−1)·vec(MB) + (−1/2)·vec(MN). Cum C ∉ planul (MNB) și vec(CT) este în direcția planului ⇒ CT ∥ (MNB). (1 pct)

Ai citit baremul. Acum dă-l propriu-zis.

Rezolvă acest subiect cronometrat în cont. La final, AI-ul îți spune câte puncte ai luat pe fiecare item, pe baremul oficial, plus o explicație pas-cu-pas pentru fiecare greșeală.

Începe simularea cronometrată →

5 credite bonus la înregistrare. Fără card.