Matematică — clasa VIII · 2026 · variantă de antrenament Era Lumis · nr. 10

Matematică · Variantă de antrenament Era Lumis nr. 10 (EN VIII, original)

A zecea variantă originală de antrenament pentru EN VIII matematică, Era Lumis. Acoperă: divizibilitate cu 7, paranteze cu numere negative, procente inverse (preț inițial), radicali diferență, ecuație fracționară, problemă cu medii (al 6-lea termen), unghiuri suplementare în raport, triunghi isoscel (unghi vârf), sector circular, cerc înscris în pătrat, aria trapezului, cub prin diagonală, raport fete/băieți, factorizare cu pătrat perfect, intersecția funcției cu axele și aria triunghiului format, hexagon regulat (descompunere în 6 echilaterale), triunghi dreptunghic isoscel (înălțime ipotenuză), cilindru (volum + arie totală).

Durată: 120 min
Exerciții: 18
Materie: Matematică
Sursă: Variantă originală Era Lumis

Rezolvă cronometrat cu AI →

Rezolvă în 2 ore, în condiții de examen. AI-ul îți corectează pe baremul oficial și îți explică, exercițiu cu exercițiu, unde te-ai încurcat — cu pași numerotați, ca un profesor de meditații.

Subiectul I — 6 exerciții grilă (algebră)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare răspuns corect = 5 puncte. Timp orientativ: 30 de minute.

Ex. 1Cel mai mic număr natural de trei cifre care este divizibil cu 7 este:
1. A)100
2. B)105
3. C)112
4. D)147
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Caut cel mai mic n ≥ 100 cu n divizibil cu 7. 100 : 7 = 14 rest 2 ⇒ 7·15 = 105.
Ex. 2Rezultatul calculului \((-3)^2 - (-3)\) este egal cu:
1. A)6
2. B)9
3. C)12
4. D)\(-12\)
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: \((-3)^2 = 9\) (un număr negativ ridicat la putere pară devine pozitiv). \(-(-3) = +3\) (minus-minus = plus). Suma: \(9 + 3 = 12\).
Ex. 3După o reducere de 20%, prețul unui produs este 60 de lei. Prețul inițial al produsului era egal cu:
1. A)72 lei
2. B)75 lei
3. C)80 lei
4. D)120 lei
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Notez prețul inițial cu \(p\). După reducerea de 20%: \(0{,}8 \cdot p = 60 \Rightarrow p = 60 / 0{,}8 = 75\) lei. Verificare: 20%·75 = 15; 75 − 15 = 60 ✓.
Ex. 4Rezultatul calculului \(\sqrt{200} - \sqrt{50}\) este egal cu:
1. A)\(\sqrt{150}\)
2. B)\(5\sqrt{2}\)
3. C)\(5\sqrt{6}\)
4. D)\(15\sqrt{2}\)
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: \(\sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2}\), \(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\). Diferența: \(10\sqrt{2} - 5\sqrt{2} = 5\sqrt{2}\).
Ex. 5Soluția ecuației \(\dfrac{2x - 1}{3} = 5\) este:
1. A)x = 7
2. B)x = 8
3. C)x = 15
4. D)x = 16
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Înmulțesc ecuația cu 3: \(2x - 1 = 15\). Adun 1: \(2x = 16\). Împart la 2: \(x = 8\).
Ex. 6Media aritmetică a cinci numere este 12. La acestea se mai adaugă un al șaselea număr, astfel încât noua medie să fie 13. Al șaselea număr este egal cu:
1. A)13
2. B)14
3. C)18
4. D)78
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Suma inițială a celor 5 numere: \(5 \cdot 12 = 60\). Suma după adăugare: \(6 \cdot 13 = 78\). Al șaselea număr: \(78 - 60 = 18\).

Subiectul al II-lea — 6 exerciții grilă (geometrie)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare răspuns corect = 5 puncte. Timp orientativ: 30 de minute.

Ex. 1Două unghiuri ∢A și ∢B sunt suplementare, iar m(∢A) = 3·m(∢B). Atunci m(∢A) este egală cu:
1. A)45°
2. B)60°
3. C)90°
4. D)135°
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: D
Rezolvare: Suplementare: \(m(\angle A) + m(\angle B) = 180°\). Cu \(m(\angle A) = 3 \cdot m(\angle B)\): \(3B + B = 4B = 180 \Rightarrow B = 45°\) și \(A = 135°\).
Ex. 2Într-un triunghi isoscel, unghiul de la vârf are măsura 100°. Atunci măsura fiecăruia dintre unghiurile bazei este:
1. A)30°
2. B)40°
3. C)50°
4. D)80°
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: În triunghi isoscel, unghiurile bazei sunt congruente. Suma unghiurilor: \(100° + 2b = 180° \Rightarrow b = 40°\).
Ex. 3Aria unui sector circular cu raza de 6 cm și unghiul la centru de 90° este egală cu:
1. A)\(3\pi\) cm²
2. B)\(6\pi\) cm²
3. C)\(9\pi\) cm²
4. D)\(36\pi\) cm²
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Aria sectorului de cerc = \(\pi R^2 \cdot \dfrac{\alpha}{360°} = \pi \cdot 36 \cdot \dfrac{90}{360} = \dfrac{36\pi}{4} = 9\pi\) cm².
Ex. 4Un cerc este înscris într-un pătrat. Dacă raza cercului este de 5 cm, perimetrul pătratului este:
1. A)20 cm
2. B)25 cm
3. C)40 cm
4. D)50 cm
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Pentru un cerc înscris într-un pătrat, diametrul cercului = latura pătratului. Latura = 2R = 10 cm. P = 4·latura = 40 cm.
Ex. 5Aria unui trapez cu bazele de 8 cm și 12 cm și înălțimea de 5 cm este egală cu:
1. A)20 cm²
2. B)40 cm²
3. C)50 cm²
4. D)100 cm²
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Aria trapezului = \(\dfrac{(B + b) \cdot h}{2} = \dfrac{(12 + 8) \cdot 5}{2} = \dfrac{100}{2} = 50\) cm².
Ex. 6Diagonala unui cub are lungimea \(6\sqrt{3}\) cm. Volumul cubului este egal cu:
1. A)36 cm³
2. B)108 cm³
3. C)216 cm³
4. D)432 cm³
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Diagonala cubului are formula \(d = l \sqrt{3}\). Cu \(d = 6\sqrt{3}\): \(l = 6\) cm. Volumul: \(V = l^3 = 216\) cm³.

Subiectul al III-lea — 6 probleme cu rezolvare a/b

Scrie rezolvările complete. Fiecare subpunct (a) valorează 2 puncte, fiecare (b) valorează 3 puncte. Timp orientativ: 60 de minute.

Ex. 1La un concurs participă 36 de elevi, dintre care \(\dfrac{2}{3}\) sunt fete.
1. a) Calculează numărul fetelor și numărul băieților participanți.
  Vezi pașii din barem
  1. Fete = (2/3)·36 = 24. (1 pct)
  2. Băieți = 36 − 24 = 12. (1 pct)
2. b) Câți băieți ar trebui să mai vină la concurs pentru ca, după sosirea lor, fetele și băieții să fie în număr egal?
  Vezi pașii din barem
  1. Pentru a fi egal numărul de fete (24) cu numărul de băieți: noul total băieți = 24. (1 pct)
  2. Trebuie să mai vină 24 − 12 = 12 băieți. (1 pct)
  3. Verificare: după sosirea lor totalul = 24 + 24 = 48 elevi, jumate fete, jumate băieți ✓. (1 pct)
Ex. 2Se consideră expresia \(E(x) = x^2 + 6x + 9 - (x + 3)\), unde x este număr real.
1. a) Arată că \(E(x) = (x + 3)(x + 2)\), pentru orice număr real x.
  Vezi pașii din barem
  1. Recunosc pătratul perfect: x² + 6x + 9 = (x + 3)². (1 pct)
  2. E(x) = (x+3)² − (x+3) = (x+3)·[(x+3) − 1] = (x+3)(x+2). ✓ (1 pct)
2. b) Determină valorile reale ale lui x pentru care E(x) = 0.
  Vezi pașii din barem
  1. Folosind forma factorizată: (x+3)(x+2) = 0. (1 pct)
  2. Un produs este zero ⇔ unul dintre factori este zero: x + 3 = 0 sau x + 2 = 0. (1 pct)
  3. Soluțiile: x = −3 sau x = −2. (1 pct)
Ex. 3Se consideră funcția \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = \dfrac{x}{2} + 1\).
1. a) Determină punctele A și B în care reprezentarea grafică a funcției intersectează axele Ox și Oy.
  Vezi pașii din barem
  1. Intersecția cu Oy: x = 0 ⇒ f(0) = 1 ⇒ A(0, 1). (1 pct)
  2. Intersecția cu Ox: f(x) = 0 ⇒ x/2 + 1 = 0 ⇒ x = −2 ⇒ B(−2, 0). (1 pct)
2. b) Calculează aria triunghiului format de reprezentarea grafică a funcției cu axele de coordonate.
  Vezi pașii din barem
  1. Triunghiul OAB are vârfuri O(0,0), A(0,1), B(−2,0); este dreptunghic în O. (1 pct)
  2. Catetele: OA = 1, OB = |−2| = 2. (1 pct)
  3. Aria = OA·OB/2 = 1·2/2 = 1. (1 pct)
Ex. 4În figura alăturată este reprezentat hexagonul regulat ABCDEF cu latura de 4 cm. O este centrul hexagonului.
1. a) Arată că triunghiul OAB este echilateral și calculează aria sa.
  Vezi pașii din barem
  1. În hexagon regulat: razele OA și OB sunt egale cu latura (proprietate). AB = OA = OB = 4 ⇒ △OAB echilateral. (1 pct)
  2. Aria △ echilateral cu latura 4: A = 4²·√3/4 = 4√3 cm². (1 pct)
2. b) Calculează aria hexagonului regulat ABCDEF.
  Vezi pașii din barem
  1. Hexagonul este compus din 6 triunghiuri echilaterale congruente (OAB, OBC, OCD, ODE, OEF, OFA). (1 pct)
  2. Aria hexagonului = 6·aria triunghi = 6·4√3. (1 pct)
  3. Aria = 24√3 cm². (1 pct)
Ex. 5În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC dreptunghic isoscel cu m(∢A) = 90° și AB = AC = 6 cm. AH este înălțimea din A pe ipotenuza BC.
1. a) Calculează lungimea ipotenuzei BC și aria triunghiului ABC.
  Vezi pașii din barem
  1. Pitagora: BC² = AB² + AC² = 36 + 36 = 72 ⇒ BC = √72 = 6√2 cm. (1 pct)
  2. Aria = AB·AC/2 = 6·6/2 = 18 cm². (1 pct)
2. b) Calculează lungimea înălțimii AH.
  Vezi pașii din barem
  1. Aria și cu BC ca bază: A = BC·AH/2 ⇒ 18 = 6√2·AH/2. (1 pct)
  2. AH = 36/(6√2) = 6/√2 = 6√2/2. (1 pct)
  3. AH = 3√2 cm. (1 pct)
Ex. 6În figura alăturată este reprezentat un cilindru circular drept cu raza bazei R = 5 cm și înălțimea h = 10 cm.
1. a) Calculează volumul cilindrului.
  Vezi pașii din barem
  1. A_bază = πR² = 25π cm². (1 pct)
  2. V = A_bază · h = 25π·10 = 250π cm³. (1 pct)
2. b) Calculează aria totală a cilindrului.
  Vezi pașii din barem
  1. A_lat = 2πR·h = 2π·5·10 = 100π cm². (1 pct)
  2. A_t = A_lat + 2·A_bază = 100π + 2·25π = 100π + 50π. (1 pct)
  3. A_t = 150π cm². (1 pct)

Ai citit baremul. Acum dă-l propriu-zis.

Rezolvă acest subiect cronometrat în cont. La final, AI-ul îți spune câte puncte ai luat pe fiecare item, pe baremul oficial, plus o explicație pas-cu-pas pentru fiecare greșeală.

Începe simularea cronometrată →

5 credite bonus la înregistrare. Fără card.