Matematică — clasa VIII · 2026 · variantă de antrenament Era Lumis · nr. 11

Matematică · Variantă de antrenament Era Lumis nr. 11 (EN VIII, original)

A unsprezecea variantă originală de antrenament pentru EN VIII matematică, Era Lumis. Acoperă: cmmdc (factorizare), procente compuse (majorare apoi reducere), sumă/diferență de radicali, probabilitate clasică pe cărți colorate, sistem cu adunare/scădere, progresie aritmetică (termen general), coardă în cerc cu perpendiculara din centru, tangentă din punct exterior, centru de greutate pe mediană (raport 2:1), raport de asemănare (laturi → arii), teorema lui Thales într-un triunghi, patrulater inscriptibil (unghiuri opuse suplementare), sistem și expresie pătratică, progresie aritmetică (rație + sumă), problemă cu vârste (cu necunoscută adăugată), trunchi de piramidă patrulateră regulată (apotemă + arie laterală), prismă hexagonală regulată (arie bază + volum), paralelipiped dreptunghic (diagonala bazei + diagonala paralelipipedului).

Durată: 120 min
Exerciții: 18
Materie: Matematică
Sursă: Variantă originală Era Lumis

Rezolvă cronometrat cu AI →

Rezolvă în 2 ore, în condiții de examen. AI-ul îți corectează pe baremul oficial și îți explică, exercițiu cu exercițiu, unde te-ai încurcat — cu pași numerotați, ca un profesor de meditații.

Subiectul I — 6 exerciții grilă (algebră)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare răspuns corect = 5 puncte. Timp orientativ: 30 de minute.

Ex. 1Cel mai mare divizor comun al numerelor 60 și 84 este:
1. A)6
2. B)12
3. C)24
4. D)420
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Descompun în factori primi: \(60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5\) și \(84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7\). Cmmdc = produsul factorilor primi comuni la puterea minimă: \(2^2 \cdot 3 = 12\).
Ex. 2Prețul unui produs este de 50 de lei. Prețul se majorează cu 10%, iar apoi se reduce cu 20%. Noul preț al produsului este:
1. A)40 lei
2. B)44 lei
3. C)45 lei
4. D)55 lei
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Aplic pașii pe rând. Majorare cu 10%: \(50 \cdot 1{,}1 = 55\) lei. Reducere cu 20% din noul preț: \(55 \cdot 0{,}8 = 44\) lei. Atenție: 10% majorare urmat de 20% reducere NU revine la prețul inițial.
Ex. 3Rezultatul calculului \(\sqrt{27} + \sqrt{48} - \sqrt{12}\) este egal cu:
1. A)\(\sqrt{63}\)
2. B)\(3\sqrt{3}\)
3. C)\(5\sqrt{3}\)
4. D)\(9\sqrt{3}\)
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Scot factorii pătrate perfecte: \(\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}\), \(\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}\), \(\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}\). Suma cu același factor √3: \(3\sqrt{3} + 4\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 5\sqrt{3}\).
Ex. 4Într-un coș sunt 12 cărți: 3 roșii, 4 verzi și 5 albastre. Se extrage la întâmplare o carte. Probabilitatea ca aceasta să fie roșie este:
1. A)\(\dfrac{1}{12}\)
2. B)\(\dfrac{1}{4}\)
3. C)\(\dfrac{1}{3}\)
4. D)\(\dfrac{3}{4}\)
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Cazuri favorabile (cărți roșii): 3. Cazuri posibile (total cărți): 12. \(P(\text{roșie}) = \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}\).
Ex. 5Soluția sistemului \(\begin{cases} 2x + y = 11 \\ x - y = 1 \end{cases}\) este perechea:
1. A)(3, 5)
2. B)(4, 3)
3. C)(5, 1)
4. D)(2, 7)
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Adun cele două ecuații: \((2x + y) + (x - y) = 11 + 1 \Rightarrow 3x = 12 \Rightarrow x = 4\). Înlocuiesc în a doua: \(4 - y = 1 \Rightarrow y = 3\). Soluția: \((x, y) = (4, 3)\).
Ex. 6Se consideră șirul de numere \(2, 5, 8, 11, \dots\) în care fiecare termen este cu 3 mai mare decât precedentul. Al zecelea termen al șirului este:
1. A)20
2. B)23
3. C)29
4. D)30
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Șirul este o progresie aritmetică cu \(a_1 = 2\) și rația \(r = 3\). Formula termenului general: \(a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r\). Pentru \(n = 10\): \(a_{10} = 2 + 9 \cdot 3 = 29\).

Subiectul al II-lea — 6 exerciții grilă (geometrie)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare răspuns corect = 5 puncte. Timp orientativ: 30 de minute.

Ex. 1Într-un cerc cu centrul O și raza de 10 cm se duce o coardă AB. Distanța de la centrul O la coardă este de 6 cm. Lungimea coardei AB este:
1. A)8 cm
2. B)12 cm
3. C)14 cm
4. D)16 cm
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: D
Rezolvare: Perpendiculara din centru pe o coardă cade în mijlocul coardei (proprietate fundamentală). Notez piciorul perpendicularei cu M. În triunghiul dreptunghic OMA: \(AM^2 = OA^2 - OM^2 = 10^2 - 6^2 = 64\), deci \(AM = 8\) cm. Coarda AB = 2·AM = 16 cm.
Ex. 2Dintr-un punct P, situat la distanța de 15 cm de centrul unui cerc cu raza de 9 cm, se duce o tangentă la cerc în punctul T. Lungimea tangentei PT este:
1. A)6 cm
2. B)\(\sqrt{306}\) cm
3. C)12 cm
4. D)24 cm
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Raza la punctul de tangență este perpendiculară pe tangentă (proprietate). În triunghiul dreptunghic OTP (dreptunghic în T): \(OP^2 = OT^2 + PT^2 \Rightarrow PT^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144\). Deci \(PT = 12\) cm.
Ex. 3În triunghiul ABC, AM este mediană (M ∈ BC), iar G este centrul de greutate. Dacă AM = 9 cm, lungimea segmentului AG este:
1. A)3 cm
2. B)4,5 cm
3. C)6 cm
4. D)9 cm
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Centrul de greutate G al unui triunghi împarte fiecare mediană în raport 2:1, măsurat de la vârf. Deci \(AG = \dfrac{2}{3} \cdot AM = \dfrac{2}{3} \cdot 9 = 6\) cm (iar GM = 3 cm).
Ex. 4Două triunghiuri sunt asemenea, iar raportul de asemănare al laturilor lor omoloage este 2:5. Raportul dintre ariile celor două triunghiuri este:
1. A)2 : 5
2. B)4 : 10
3. C)4 : 25
4. D)8 : 125
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Pentru două triunghiuri (sau orice două figuri plane) asemenea, raportul ariilor este pătratul raportului de asemănare al laturilor: \(\dfrac{A_1}{A_2} = \left( \dfrac{l_1}{l_2} \right)^2 = \left( \dfrac{2}{5} \right)^2 = \dfrac{4}{25}\).
Ex. 5În triunghiul ABC, punctele M ∈ AB și N ∈ AC sunt astfel încât MN ∥ BC. Dacă AM = 4 cm, MB = 2 cm și AN = 6 cm, atunci lungimea segmentului NC este:
1. A)2 cm
2. B)3 cm
3. C)4 cm
4. D)9 cm
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Teorema lui Thales: dacă MN ∥ BC într-un triunghi ABC (M ∈ AB, N ∈ AC), atunci \(\dfrac{AM}{MB} = \dfrac{AN}{NC}\). Înlocuiesc: \(\dfrac{4}{2} = \dfrac{6}{NC} \Rightarrow NC = \dfrac{6 \cdot 2}{4} = 3\) cm.
Ex. 6Patrulaterul ABCD este inscriptibil într-un cerc. Dacă m(∢A) = 70°, atunci m(∢C) este:
1. A)20°
2. B)70°
3. C)110°
4. D)290°
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Proprietate: într-un patrulater inscriptibil într-un cerc, suma unghiurilor opuse este 180°. Deci \(m(\angle A) + m(\angle C) = 180° \Rightarrow m(\angle C) = 180° - 70° = 110°\).

Subiectul al III-lea — 6 probleme cu rezolvare a/b

Scrie rezolvările complete. Fiecare subpunct (a) valorează 2 puncte, fiecare (b) valorează 3 puncte. Timp orientativ: 60 de minute.

Ex. 1Se consideră sistemul de ecuații \(\begin{cases} x + y = 10 \\ 2x - y = 2 \end{cases}\), unde x și y sunt numere reale.
1. a) Rezolvă sistemul.
  Vezi pașii din barem
  1. Adun cele două ecuații: (x + y) + (2x − y) = 10 + 2 ⇒ 3x = 12 ⇒ x = 4. (1 pct)
  2. Înlocuiesc x = 4 în prima ecuație: 4 + y = 10 ⇒ y = 6. Soluție: (x, y) = (4, 6). (1 pct)
2. b) Calculează valoarea expresiei \(x^2 + y^2\) pentru soluția găsită la subpunctul a).
  Vezi pașii din barem
  1. Înlocuiesc x = 4 și y = 6: x² = 16, y² = 36. (1 pct)
  2. x² + y² = 16 + 36. (1 pct)
  3. x² + y² = 52. (1 pct)
Ex. 2Se consideră o progresie aritmetică cu termenii \(a_1, a_2, a_3, \dots\), pentru care \(a_3 = 8\) și \(a_7 = 20\).
1. a) Determină rația r și primul termen a₁ al progresiei.
  Vezi pașii din barem
  1. Scad relațiile: a₇ − a₃ = (a₁ + 6r) − (a₁ + 2r) = 4r = 20 − 8 = 12 ⇒ r = 3. (1 pct)
  2. Din a₃ = a₁ + 2r = 8 și r = 3: a₁ = 8 − 6 = 2. (1 pct)
2. b) Calculează suma primilor 10 termeni ai progresiei.
  Vezi pașii din barem
  1. Termenul al 10-lea: a₁₀ = a₁ + 9r = 2 + 9·3 = 29. (1 pct)
  2. Formula sumei: S₁₀ = (a₁ + a₁₀)·10/2 = (2 + 29)·5. (1 pct)
  3. S₁₀ = 31·5 = 155. (1 pct)
Ex. 3Ana are de 3 ori vârsta lui Bogdan. Suma vârstelor lor este 24 de ani.
1. a) Determină vârsta Anei și vârsta lui Bogdan.
  Vezi pașii din barem
  1. Notez vârsta lui Bogdan cu b. Atunci Ana are 3b. Suma: b + 3b = 4b = 24. (1 pct)
  2. b = 6 ⇒ Bogdan are 6 ani, Ana are 3·6 = 18 ani. (1 pct)
2. b) Determină peste câți ani vârsta Anei va fi de două ori mai mare decât vârsta lui Bogdan.
  Vezi pașii din barem
  1. Notez cu x numărul de ani trecuți. Atunci 18 + x = 2·(6 + x). (1 pct)
  2. Desfac: 18 + x = 12 + 2x ⇒ 6 = x ⇒ x = 6 ani. (1 pct)
  3. Verificare: peste 6 ani Ana va avea 24, Bogdan va avea 12 și 24 = 2·12 ✓. (1 pct)
Ex. 4În figura alăturată este reprezentat un trunchi de piramidă patrulateră regulată ABCDA′B′C′D′ cu latura bazei mari AB = 6 cm, latura bazei mici A′B′ = 2 cm și înălțimea trunchiului OO′ = 4 cm (unde O și O′ sunt centrele celor două baze).
1. a) Calculează apotema trunchiului de piramidă (distanța dintre mijloacele a două laturi opuse, una pe baza mare și una pe baza mică, pe aceeași față laterală).
  Vezi pașii din barem
  1. Diferența apotemelor bazelor: (AB − A′B′)/2 = (6 − 2)/2 = 2 cm — proiecția orizontală a apotemei. (1 pct)
  2. Pitagora pe fața laterală: ap² = h² + 2² = 16 + 4 = 20 ⇒ ap = 2√5 cm. (1 pct)
2. b) Calculează aria laterală a trunchiului de piramidă.
  Vezi pașii din barem
  1. Perimetrul bazei mari: P = 4·6 = 24. Perimetrul bazei mici: p = 4·2 = 8. (1 pct)
  2. Formula A_lat = (P + p)·ap/2 = (24 + 8)·2√5/2 = 32·√5. (1 pct)
  3. A_lat = 32√5 cm². (1 pct)
Ex. 5În figura alăturată este reprezentată o prismă hexagonală regulată ABCDEFA′B′C′D′E′F′ cu latura bazei de 4 cm și înălțimea de 10 cm.
1. a) Calculează aria bazei prismei.
  Vezi pașii din barem
  1. Aria triunghiului echilateral cu latura 4: A_△ = 4²·√3/4 = 4√3 cm². (1 pct)
  2. Hexagonul regulat = 6 triunghiuri echilaterale congruente ⇒ A_baza = 6·4√3 = 24√3 cm². (1 pct)
2. b) Calculează volumul prismei.
  Vezi pașii din barem
  1. Formula volumului prismei: V = A_baza · h. (1 pct)
  2. V = 24√3 · 10. (1 pct)
  3. V = 240√3 cm³. (1 pct)
Ex. 6În figura alăturată este reprezentat un paralelipiped dreptunghic ABCDA′B′C′D′ cu dimensiunile AB = 3 cm, BC = 4 cm și AA′ = 12 cm.
1. a) Calculează lungimea diagonalei AC a bazei ABCD.
  Vezi pașii din barem
  1. Baza ABCD este dreptunghi. Pitagora în △ABC: AC² = AB² + BC² = 9 + 16 = 25. (1 pct)
  2. AC = 5 cm. (1 pct)
2. b) Calculează lungimea diagonalei AC′ a paralelipipedului.
  Vezi pașii din barem
  1. CC′ ⊥ planul bazei ⇒ △ACC′ este dreptunghic în C. (1 pct)
  2. Pitagora: AC′² = AC² + CC′² = 25 + 144 = 169. (1 pct)
  3. AC′ = 13 cm. (Echivalent: AC′ = √(AB² + BC² + AA′²) = √(9 + 16 + 144) = 13.) (1 pct)

Ai citit baremul. Acum dă-l propriu-zis.

Rezolvă acest subiect cronometrat în cont. La final, AI-ul îți spune câte puncte ai luat pe fiecare item, pe baremul oficial, plus o explicație pas-cu-pas pentru fiecare greșeală.

Începe simularea cronometrată →

5 credite bonus la înregistrare. Fără card.