Matematică — clasa VIII · 2026 · variantă de antrenament Era Lumis · nr. 12

Matematică · Variantă de antrenament Era Lumis nr. 12 (EN VIII, original)

A douăsprezecea variantă originală de antrenament pentru EN VIII matematică, Era Lumis. Acoperă: cmmmc (factorizare), procent reciproc (cât % e A din B), sumă de radicali $\sqrt{80} + \sqrt{20}$, probabilitate pe submulțime divizibilă cu 5, ecuație fracționară (numitor comun), suma primelor 20 de numere naturale, triunghi dreptunghic cu unghi de 30° (cateta = ip/2), aria rombului prin diagonale, trunchi de con (generatoare + arie laterală), volum sferă, prismă triunghiulară regulată (arie laterală), teorema înălțimii într-un triunghi dreptunghic, identitatea $(a+b)^2 - (a-b)^2$, funcție liniară parametrică, ecuație de gradul al doilea cu factorizare, piramidă patrulateră regulată (apotemă + arie laterală), con (arie laterală + volum), sferă înscrisă într-un cub (raport volume).

Durată: 120 min
Exerciții: 18
Materie: Matematică
Sursă: Variantă originală Era Lumis

Rezolvă cronometrat cu AI →

Rezolvă în 2 ore, în condiții de examen. AI-ul îți corectează pe baremul oficial și îți explică, exercițiu cu exercițiu, unde te-ai încurcat — cu pași numerotați, ca un profesor de meditații.

Subiectul I — 6 exerciții grilă (algebră)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare răspuns corect = 5 puncte. Timp orientativ: 15 minute — Subiectele I și II, împreună, sub 30 de minute.

Ex. 1Cel mai mic multiplu comun al numerelor 12 și 18 este:
1. A)6
2. B)24
3. C)36
4. D)216
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Descompun: $12 = 2^{2} \cdot 3$ , $18 = 2 \cdot 3^{2}$ . cmmmc = produsul tuturor factorilor primi la puterea maximă: $2^{2} \cdot 3^{2} = 4 \cdot 9 = 36$ . Verificare: 36 : 12 = 3, 36 : 18 = 2 ✓.
Rezolvare completă
Ex. 2Numărul 15 reprezintă din numărul 60 un procent egal cu:
1. A)15%
2. B)25%
3. C)40%
4. D)45%
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Procent = $\frac{parte}{ı ˆ ntreg} \cdot 100% = \frac{15}{60} \cdot 100% = \frac{1}{4} \cdot 100% = 25%$ .
Rezolvare completă
Ex. 3Rezultatul calculului $80 + 20$ este egal cu:
1. A) $100$
2. B) $25$
3. C) $65$
4. D) $105$
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: $80 = 16 \cdot 5 = 45$ , $20 = 4 \cdot 5 = 25$ . Cu același factor √5: $45 + 25 = 65$ .
Rezolvare completă
Ex. 4Se alege la întâmplare un număr natural din mulțimea {1, 2, 3, …, 50}. Probabilitatea ca numărul ales să fie divizibil cu 5 este:
1. A) $\frac{1}{10}$
2. B) $\frac{1}{5}$
3. C) $\frac{2}{5}$
4. D) $\frac{1}{2}$
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Numere divizibile cu 5 din {1, …, 50}: 5, 10, 15, …, 50 — sunt $50 : 5 = 10$ numere. Cazuri posibile: 50. $P = \frac{10}{50} = \frac{1}{5}$ .
Rezolvare completă
Ex. 5Soluția ecuației $\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 10$ este:
1. A)x = 6
2. B)x = 10
3. C)x = 12
4. D)x = 60
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Înmulțesc ecuația cu 6 (cel mai mic numitor comun): $3 x + 2 x = 60 \Rightarrow 5 x = 60 \Rightarrow x = 12$ .
Rezolvare completă
Ex. 6Suma tuturor numerelor naturale de la 1 la 20 este:
1. A)20
2. B)110
3. C)200
4. D)210
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: D
Rezolvare: Formula sumei primelor n numere naturale: $1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ . Pentru $n = 20$ : $\frac{20 \cdot 21}{2} = 210$ .
Rezolvare completă

Subiectul al II-lea — 6 exerciții grilă (geometrie)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare răspuns corect = 5 puncte. Timp orientativ: 15 minute — Subiectele I și II, împreună, sub 30 de minute.

Ex. 1În triunghiul ABC dreptunghic în A, m(∢B) = 30°, iar ipotenuza BC = 12 cm. Lungimea catetei AC (opusă unghiului de 30°) este:
1. A)4 cm
2. B)6 cm
3. C) $63$ cm
4. D)8 cm
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Într-un triunghi dreptunghic, cateta opusă unghiului de 30° este jumătatea ipotenuzei: $A C = \frac{B C}{2} = \frac{12}{2} = 6$ cm. (Cealaltă catetă AB = $\frac{B C \cdot 3}{2} = 63$ .)
Rezolvare completă
Ex. 2Aria unui romb cu diagonalele de 12 cm și 16 cm este egală cu:
1. A)28 cm²
2. B)48 cm²
3. C)96 cm²
4. D)192 cm²
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Aria rombului = $\frac{d _{1} \cdot d _{2}}{2} = \frac{12 \cdot 16}{2} = \frac{192}{2} = 96$ cm².
Rezolvare completă
Ex. 3Un trunchi de con circular drept are razele bazelor R = 6 cm și r = 2 cm, iar înălțimea h = 3 cm. Aria laterală a trunchiului este:
1. A) $24 π$ cm²
2. B) $40 π$ cm²
3. C) $48 π$ cm²
4. D) $72 π$ cm²
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Generatoarea trunchiului de con: $g = h^{2} + (R - r)^{2} = 9 + 16 = 5$ cm. Aria laterală: $A_{lat} = π (R + r) g = π \cdot 8 \cdot 5 = 40 π$ cm².
Rezolvare completă
Ex. 4Volumul unei sfere cu raza de 3 cm este egal cu:
1. A) $9 π$ cm³
2. B) $12 π$ cm³
3. C) $36 π$ cm³
4. D) $108 π$ cm³
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Volumul sferei: $V = \frac{4 π R ^{3}}{3} = \frac{4 π \cdot 27}{3} = 36 π$ cm³.
Rezolvare completă
Ex. 5O prismă triunghiulară regulată are latura bazei de 6 cm și înălțimea de 8 cm. Aria laterală a prismei este:
1. A)48 cm²
2. B)96 cm²
3. C)144 cm²
4. D) $144 + 183$ cm²
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Aria laterală a unei prisme drepte = perimetrul bazei × înălțime. Baza este triunghi echilateral cu latura 6, deci $P_{baza} = 3 \cdot 6 = 18$ cm. $A_{lat} = 18 \cdot 8 = 144$ cm².
Rezolvare completă
Ex. 6În triunghiul ABC dreptunghic în A, AD este înălțimea din A pe ipotenuza BC, iar BD = 4 cm și DC = 9 cm. Lungimea înălțimii AD este:
1. A)4 cm
2. B)5 cm
3. C)6 cm
4. D)9 cm
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Teorema înălțimii într-un triunghi dreptunghic: înălțimea pe ipotenuză este media geometrică a proiecțiilor catetelor. $A D^{2} = B D \cdot D C = 4 \cdot 9 = 36 \Rightarrow A D = 6$ cm.
Rezolvare completă

Subiectul al III-lea — 6 probleme cu rezolvare a/b

Scrie rezolvările complete. Fiecare subpunct (a) valorează 2 puncte, fiecare (b) valorează 3 puncte. Timp orientativ: 90 de minute — cât îți rămâne după Subiectele I și II.

Ex. 1Se consideră expresia $E (x) = (x + 2)^{2} - (x - 2)^{2}$ , unde x este număr real.
1. a) Arată că $E (x) = 8 x$ , pentru orice număr real x.
  Vezi pașii din barem
  1. Dezvolt: (x+2)² = x² + 4x + 4 și (x−2)² = x² − 4x + 4. (1 pct)
  2. E(x) = (x² + 4x + 4) − (x² − 4x + 4) = 8x. ✓ (1 pct)
2. b) Calculează valoarea sumei $E (1) + E (2) + E (3) + E (4) + E (5)$ .
  Vezi pașii din barem
  1. Folosesc forma simplificată: E(x) = 8x. (1 pct)
  2. Suma = 8·1 + 8·2 + 8·3 + 8·4 + 8·5 = 8·(1+2+3+4+5) = 8·15. (1 pct)
  3. Suma = 120. (1 pct)
Rezolvare completă
Ex. 2Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = (m - 1) x + 3$ , unde m este un număr real fixat.
1. a) Determină numărul real m pentru care reprezentarea grafică a funcției trece prin punctul A(2, 7).
  Vezi pașii din barem
  1. Condiția A pe grafic: f(2) = 7 ⇒ (m − 1)·2 + 3 = 7. (1 pct)
  2. 2m − 2 + 3 = 7 ⇒ 2m + 1 = 7 ⇒ 2m = 6 ⇒ m = 3. (1 pct)
2. b) Pentru valoarea m găsită la subpunctul a), calculează $f (0) + f (5)$ .
  Vezi pașii din barem
  1. Cu m = 3: f(x) = 2x + 3. (1 pct)
  2. f(0) = 3 și f(5) = 2·5 + 3 = 13. (1 pct)
  3. f(0) + f(5) = 3 + 13 = 16. (1 pct)
Rezolvare completă
Ex. 3Se consideră ecuația $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ , unde x este număr real.
1. a) Arată că ecuația poate fi scrisă sub forma $(x - 2) (x - 3) = 0$ .
  Vezi pașii din barem
  1. Dezvolt: (x − 2)(x − 3) = x² − 3x − 2x + 6 = x² − 5x + 6. ✓ (1 pct)
  2. Deci x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3). (1 pct)
2. b) Determină soluțiile reale ale ecuației.
  Vezi pașii din barem
  1. Folosind forma factorizată: (x − 2)(x − 3) = 0. (1 pct)
  2. Un produs este zero dacă și numai dacă un factor este zero: x − 2 = 0 sau x − 3 = 0. (1 pct)
  3. Soluțiile: x = 2 sau x = 3. (1 pct)
Rezolvare completă
Ex. 4În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră regulată VABCD cu latura bazei AB = 6 cm și înălțimea piramidei VO = 4 cm (O este centrul bazei).
1. a) Calculează apotema piramidei (distanța de la vârful V la mijlocul unei muchii a bazei).
  Vezi pașii din barem
  1. Apotema bazei (de la O la mijlocul muchiei AB) = AB/2 = 3 cm. (1 pct)
  2. Pitagora în triunghiul format de înălțime, apotema bazei și apotema piramidei: ap² = 4² + 3² = 25 ⇒ ap = 5 cm. (1 pct)
2. b) Calculează aria laterală a piramidei.
  Vezi pașii din barem
  1. Perimetrul bazei: P = 4·6 = 24 cm. (1 pct)
  2. Formula ariei laterale: $A_{lat} = P \cdot a_{p} /2 = 24 \cdot 5/2$ . (1 pct)
  3. $A_{lat} = 60$ cm². (1 pct)
Rezolvare completă
Ex. 5În figura alăturată este reprezentat un con circular drept cu raza bazei R = 3 cm și înălțimea h = 4 cm.
1. a) Calculează aria laterală a conului.
  Vezi pașii din barem
  1. Generatoarea: g = √(R² + h²) = √(9 + 16) = √25 = 5 cm. (1 pct)
  2. $A_{lat} = π \cdot R \cdot g = π \cdot 3 \cdot 5 = 15 π$ cm². (1 pct)
2. b) Calculează volumul conului.
  Vezi pașii din barem
  1. Formula volumului conului: V = π·R²·h/3. (1 pct)
  2. V = π·9·4/3 = 36π/3. (1 pct)
  3. V = 12π cm³. (1 pct)
Rezolvare completă
Ex. 6Se consideră un cub cu latura de 6 cm și o sferă înscrisă în acest cub (sfera este tangentă la cele 6 fețe ale cubului).
1. a) Determină raza sferei înscrise și calculează volumul sferei.
  Vezi pașii din barem
  1. Sfera înscrisă într-un cub este tangentă la fețe ⇒ diametrul sferei = latura cubului ⇒ 2R = 6 ⇒ R = 3 cm. (1 pct)
  2. $V_{sfera} = 4 π R^{3} /3 = 4 π \cdot 27/3 = 36 π$ cm³. (1 pct)
2. b) Calculează raportul dintre volumul cubului și volumul sferei.
  Vezi pașii din barem
  1. $V_{cub} = 6^{3} = 216$ cm³. (1 pct)
  2. Raportul: $V_{cub} / V_{sfera} = 216/ (36 π) = 6/ π$ . (1 pct)
  3. $V_{cub} : V_{sfera} = 6 : π$ (aproximativ 1,91 : 1). (1 pct)
Rezolvare completă

Ai citit baremul. Acum dă-l propriu-zis.

Rezolvă acest subiect cronometrat în cont. La final, AI-ul îți spune câte puncte ai luat pe fiecare item, pe baremul oficial, plus o explicație pas-cu-pas pentru fiecare greșeală.

Începe simularea cronometrată →

5 credite bonus la înregistrare. Fără card.