Matematică — clasa VIII · 2026 · variantă de antrenament Era Lumis · nr. 12

Matematică · Variantă de antrenament Era Lumis nr. 12 (EN VIII, original)

A douăsprezecea variantă originală de antrenament pentru EN VIII matematică, Era Lumis. Acoperă: cmmmc (factorizare), procent reciproc (cât % e A din B), sumă de radicali \(\sqrt{80} + \sqrt{20}\), probabilitate pe submulțime divizibilă cu 5, ecuație fracționară (numitor comun), suma primelor 20 de numere naturale, triunghi dreptunghic cu unghi de 30° (cateta = ip/2), aria rombului prin diagonale, trunchi de con (generatoare + arie laterală), volum sferă, prismă triunghiulară regulată (arie laterală), teorema înălțimii într-un triunghi dreptunghic, identitatea \((a+b)^2 - (a-b)^2\), funcție liniară parametrică, ecuație de gradul al doilea cu factorizare, piramidă patrulateră regulată (apotemă + arie laterală), con (arie laterală + volum), sferă înscrisă într-un cub (raport volume).

Durată: 120 min
Exerciții: 18
Materie: Matematică
Sursă: Variantă originală Era Lumis

Rezolvă cronometrat cu AI →

Rezolvă în 2 ore, în condiții de examen. AI-ul îți corectează pe baremul oficial și îți explică, exercițiu cu exercițiu, unde te-ai încurcat — cu pași numerotați, ca un profesor de meditații.

Subiectul I — 6 exerciții grilă (algebră)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare răspuns corect = 5 puncte. Timp orientativ: 30 de minute.

Ex. 1Cel mai mic multiplu comun al numerelor 12 și 18 este:
1. A)6
2. B)24
3. C)36
4. D)216
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Descompun: \(12 = 2^2 \cdot 3\), \(18 = 2 \cdot 3^2\). cmmmc = produsul tuturor factorilor primi la puterea maximă: \(2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36\). Verificare: 36 : 12 = 3, 36 : 18 = 2 ✓.
Ex. 2Numărul 15 reprezintă din numărul 60 un procent egal cu:
1. A)15%
2. B)25%
3. C)40%
4. D)45%
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Procent = \(\dfrac{\text{parte}}{\text{întreg}} \cdot 100\% = \dfrac{15}{60} \cdot 100\% = \dfrac{1}{4} \cdot 100\% = 25\%\).
Ex. 3Rezultatul calculului \(\sqrt{80} + \sqrt{20}\) este egal cu:
1. A)\(\sqrt{100}\)
2. B)\(2\sqrt{5}\)
3. C)\(6\sqrt{5}\)
4. D)\(10\sqrt{5}\)
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: \(\sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}\), \(\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}\). Cu același factor √5: \(4\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = 6\sqrt{5}\).
Ex. 4Se alege la întâmplare un număr natural din mulțimea {1, 2, 3, …, 50}. Probabilitatea ca numărul ales să fie divizibil cu 5 este:
1. A)\(\dfrac{1}{10}\)
2. B)\(\dfrac{1}{5}\)
3. C)\(\dfrac{2}{5}\)
4. D)\(\dfrac{1}{2}\)
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Numere divizibile cu 5 din {1, …, 50}: 5, 10, 15, …, 50 — sunt \(50 : 5 = 10\) numere. Cazuri posibile: 50. \(P = \dfrac{10}{50} = \dfrac{1}{5}\).
Ex. 5Soluția ecuației \(\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} = 10\) este:
1. A)x = 6
2. B)x = 10
3. C)x = 12
4. D)x = 60
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Înmulțesc ecuația cu 6 (cel mai mic numitor comun): \(3x + 2x = 60 \Rightarrow 5x = 60 \Rightarrow x = 12\).
Ex. 6Suma tuturor numerelor naturale de la 1 la 20 este:
1. A)20
2. B)110
3. C)200
4. D)210
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: D
Rezolvare: Formula sumei primelor n numere naturale: \(1 + 2 + 3 + \dots + n = \dfrac{n(n + 1)}{2}\). Pentru \(n = 20\): \(\dfrac{20 \cdot 21}{2} = 210\).

Subiectul al II-lea — 6 exerciții grilă (geometrie)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare răspuns corect = 5 puncte. Timp orientativ: 30 de minute.

Ex. 1În triunghiul ABC dreptunghic în A, m(∢B) = 30°, iar ipotenuza BC = 12 cm. Lungimea catetei AC (opusă unghiului de 30°) este:
1. A)4 cm
2. B)6 cm
3. C)\(6\sqrt{3}\) cm
4. D)8 cm
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Într-un triunghi dreptunghic, cateta opusă unghiului de 30° este jumătatea ipotenuzei: \(AC = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{12}{2} = 6\) cm. (Cealaltă catetă AB = \(\dfrac{BC \cdot \sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\).)
Ex. 2Aria unui romb cu diagonalele de 12 cm și 16 cm este egală cu:
1. A)28 cm²
2. B)48 cm²
3. C)96 cm²
4. D)192 cm²
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Aria rombului = \(\dfrac{d_1 \cdot d_2}{2} = \dfrac{12 \cdot 16}{2} = \dfrac{192}{2} = 96\) cm².
Ex. 3Un trunchi de con circular drept are razele bazelor R = 6 cm și r = 2 cm, iar înălțimea h = 3 cm. Aria laterală a trunchiului este:
1. A)\(24\pi\) cm²
2. B)\(40\pi\) cm²
3. C)\(48\pi\) cm²
4. D)\(72\pi\) cm²
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Generatoarea trunchiului de con: \(g = \sqrt{h^2 + (R - r)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5\) cm. Aria laterală: \(A_\text{lat} = \pi (R + r) g = \pi \cdot 8 \cdot 5 = 40\pi\) cm².
Ex. 4Volumul unei sfere cu raza de 3 cm este egal cu:
1. A)\(9\pi\) cm³
2. B)\(12\pi\) cm³
3. C)\(36\pi\) cm³
4. D)\(108\pi\) cm³
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Volumul sferei: \(V = \dfrac{4 \pi R^3}{3} = \dfrac{4 \pi \cdot 27}{3} = 36 \pi\) cm³.
Ex. 5O prismă triunghiulară regulată are latura bazei de 6 cm și înălțimea de 8 cm. Aria laterală a prismei este:
1. A)48 cm²
2. B)96 cm²
3. C)144 cm²
4. D)\(144 + 18\sqrt{3}\) cm²
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Aria laterală a unei prisme drepte = perimetrul bazei × înălțime. Baza este triunghi echilateral cu latura 6, deci \(P_\text{baza} = 3 \cdot 6 = 18\) cm. \(A_\text{lat} = 18 \cdot 8 = 144\) cm².
Ex. 6În triunghiul ABC dreptunghic în A, AD este înălțimea din A pe ipotenuza BC, iar BD = 4 cm și DC = 9 cm. Lungimea înălțimii AD este:
1. A)4 cm
2. B)5 cm
3. C)6 cm
4. D)9 cm
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Teorema înălțimii într-un triunghi dreptunghic: înălțimea pe ipotenuză este media geometrică a proiecțiilor catetelor. \(AD^2 = BD \cdot DC = 4 \cdot 9 = 36 \Rightarrow AD = 6\) cm.

Subiectul al III-lea — 6 probleme cu rezolvare a/b

Scrie rezolvările complete. Fiecare subpunct (a) valorează 2 puncte, fiecare (b) valorează 3 puncte. Timp orientativ: 60 de minute.

Ex. 1Se consideră expresia \(E(x) = (x + 2)^2 - (x - 2)^2\), unde x este număr real.
1. a) Arată că \(E(x) = 8x\), pentru orice număr real x.
  Vezi pașii din barem
  1. Dezvolt: (x+2)² = x² + 4x + 4 și (x−2)² = x² − 4x + 4. (1 pct)
  2. E(x) = (x² + 4x + 4) − (x² − 4x + 4) = 8x. ✓ (1 pct)
2. b) Calculează valoarea sumei \(E(1) + E(2) + E(3) + E(4) + E(5)\).
  Vezi pașii din barem
  1. Folosesc forma simplificată: E(x) = 8x. (1 pct)
  2. Suma = 8·1 + 8·2 + 8·3 + 8·4 + 8·5 = 8·(1+2+3+4+5) = 8·15. (1 pct)
  3. Suma = 120. (1 pct)
Ex. 2Se consideră funcția \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = (m - 1)x + 3\), unde m este un număr real fixat.
1. a) Determină numărul real m pentru care reprezentarea grafică a funcției trece prin punctul A(2, 7).
  Vezi pașii din barem
  1. Condiția A pe grafic: f(2) = 7 ⇒ (m − 1)·2 + 3 = 7. (1 pct)
  2. 2m − 2 + 3 = 7 ⇒ 2m + 1 = 7 ⇒ 2m = 6 ⇒ m = 3. (1 pct)
2. b) Pentru valoarea m găsită la subpunctul a), calculează \(f(0) + f(5)\).
  Vezi pașii din barem
  1. Cu m = 3: f(x) = 2x + 3. (1 pct)
  2. f(0) = 3 și f(5) = 2·5 + 3 = 13. (1 pct)
  3. f(0) + f(5) = 3 + 13 = 16. (1 pct)
Ex. 3Se consideră ecuația \(x^2 - 5x + 6 = 0\), unde x este număr real.
1. a) Arată că ecuația poate fi scrisă sub forma \((x - 2)(x - 3) = 0\).
  Vezi pașii din barem
  1. Dezvolt: (x − 2)(x − 3) = x² − 3x − 2x + 6 = x² − 5x + 6. ✓ (1 pct)
  2. Deci x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3). (1 pct)
2. b) Determină soluțiile reale ale ecuației.
  Vezi pașii din barem
  1. Folosind forma factorizată: (x − 2)(x − 3) = 0. (1 pct)
  2. Un produs este zero dacă și numai dacă un factor este zero: x − 2 = 0 sau x − 3 = 0. (1 pct)
  3. Soluțiile: x = 2 sau x = 3. (1 pct)
Ex. 4În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră regulată VABCD cu latura bazei AB = 6 cm și înălțimea piramidei VO = 4 cm (O este centrul bazei).
1. a) Calculează apotema piramidei (distanța de la vârful V la mijlocul unei muchii a bazei).
  Vezi pașii din barem
  1. Apotema bazei (de la O la mijlocul muchiei AB) = AB/2 = 3 cm. (1 pct)
  2. Pitagora în triunghiul format de înălțime, apotema bazei și apotema piramidei: ap² = 4² + 3² = 25 ⇒ ap = 5 cm. (1 pct)
2. b) Calculează aria laterală a piramidei.
  Vezi pașii din barem
  1. Perimetrul bazei: P = 4·6 = 24 cm. (1 pct)
  2. Formula ariei laterale: A_lat = P·ap/2 = 24·5/2. (1 pct)
  3. A_lat = 60 cm². (1 pct)
Ex. 5În figura alăturată este reprezentat un con circular drept cu raza bazei R = 3 cm și înălțimea h = 4 cm.
1. a) Calculează aria laterală a conului.
  Vezi pașii din barem
  1. Generatoarea: g = √(R² + h²) = √(9 + 16) = √25 = 5 cm. (1 pct)
  2. A_lat = π·R·g = π·3·5 = 15π cm². (1 pct)
2. b) Calculează volumul conului.
  Vezi pașii din barem
  1. Formula volumului conului: V = π·R²·h/3. (1 pct)
  2. V = π·9·4/3 = 36π/3. (1 pct)
  3. V = 12π cm³. (1 pct)
Ex. 6Se consideră un cub cu latura de 6 cm și o sferă înscrisă în acest cub (sfera este tangentă la cele 6 fețe ale cubului).
1. a) Determină raza sferei înscrise și calculează volumul sferei.
  Vezi pașii din barem
  1. Sfera înscrisă într-un cub este tangentă la fețe ⇒ diametrul sferei = latura cubului ⇒ 2R = 6 ⇒ R = 3 cm. (1 pct)
  2. V_sferă = 4πR³/3 = 4π·27/3 = 36π cm³. (1 pct)
2. b) Calculează raportul dintre volumul cubului și volumul sferei.
  Vezi pașii din barem
  1. V_cub = 6³ = 216 cm³. (1 pct)
  2. Raportul: V_cub / V_sferă = 216 / (36π) = 6/π. (1 pct)
  3. V_cub : V_sferă = 6 : π (aproximativ 1,91 : 1). (1 pct)

Ai citit baremul. Acum dă-l propriu-zis.

Rezolvă acest subiect cronometrat în cont. La final, AI-ul îți spune câte puncte ai luat pe fiecare item, pe baremul oficial, plus o explicație pas-cu-pas pentru fiecare greșeală.

Începe simularea cronometrată →

5 credite bonus la înregistrare. Fără card.