Matematică — clasa VIII · 2026 · variantă de antrenament Era Lumis · nr. 13

Matematică · Variantă de antrenament Era Lumis nr. 13 (EN VIII, original)

A treisprezecea variantă originală de antrenament pentru EN VIII matematică, Era Lumis. Acoperă: procente compuse 3-pași (lanț 1000·1,5·0,6·1,25), puteri cu bază negativă, suma numerelor pare consecutive, sumă de numere naturale consecutive, mărimi direct proporționale (diferența), divizibilitate cu 9 (cifră necunoscută), aria pătratului din diagonală, cerc circumscris triunghiului dreptunghic (ipotenuza ca diametru), apotema hexagonului regulat → arie, aria sferei, cub din arie totală → volum, distanța dintre puncte în reperul cartezian, identitatea (a+b)²+(a-b)²=2(a²+b²), proporționalitate + diferență de pătrate, ecuație cu paranteze duble + verificare, sferă (S → R → V), cerc înscris triunghi dreptunghic (raza r = (a+b−c)/2), secțiune diagonală a cubului.

Durată: 120 min
Exerciții: 18
Materie: Matematică
Sursă: Variantă originală Era Lumis

Rezolvă cronometrat cu AI →

Rezolvă în 2 ore, în condiții de examen. AI-ul îți corectează pe baremul oficial și îți explică, exercițiu cu exercițiu, unde te-ai încurcat — cu pași numerotați, ca un profesor de meditații.

Subiectul I — 6 exerciții grilă (algebră)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare răspuns corect = 5 puncte. Timp orientativ: 15 minute — Subiectele I și II, împreună, sub 30 de minute.

Ex. 1Prețul unui produs este de 1000 lei. Pe rând, prețul este majorat cu 50%, apoi este redus cu 40%, apoi este majorat cu 25%. Prețul final al produsului este:
1. A)1000 lei
2. B)1050 lei
3. C)1125 lei
4. D)1350 lei
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Aplic pașii pe rând. Majorare cu 50%: $1000 \cdot 1, 5 = 1500$ . Reducere cu 40%: $1500 \cdot 0, 6 = 900$ . Majorare cu 25%: $900 \cdot 1, 25 = 1125$ lei.
Rezolvare completă
Ex. 2Rezultatul calculului $(- 2)^{3} + (- 2)^{2} + (- 2)$ este egal cu:
1. A) $- 14$
2. B) $- 6$
3. C) $- 2$
4. D)14
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: $(- 2)^{3} = - 8$ (exponent impar păstrează semnul). $(- 2)^{2} = 4$ (exponent par dă pozitiv). Adunarea: $- 8 + 4 + (- 2) = - 6$ .
Rezolvare completă
Ex. 3Suma tuturor numerelor naturale pare cuprinse între 1 și 31 este:
1. A)120
2. B)210
3. C)240
4. D)465
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Numerele pare între 1 și 31: 2, 4, 6, …, 30 — sunt 15 termeni. Suma: $2 + 4 + \dots + 30 = 2 \cdot (1 + 2 + \dots + 15) = 2 \cdot \frac{15 \cdot 16}{2} = 240$ .
Rezolvare completă
Ex. 4Suma a cinci numere naturale consecutive este 100. Cel mai mic dintre aceste numere este:
1. A)16
2. B)18
3. C)20
4. D)22
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Notez cel mai mic număr cu $n$ . Cele cinci numere consecutive sunt $n, n + 1, n + 2, n + 3, n + 4$ . Suma: $5 n + 10 = 100 \Rightarrow 5 n = 90 \Rightarrow n = 18$ . Verificare: 18+19+20+21+22 = 100 ✓.
Rezolvare completă
Ex. 5Numerele a și b sunt direct proporționale cu 2 și 3, iar suma lor este 30. Diferența $b - a$ este:
1. A)1
2. B)5
3. C)6
4. D)12
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Din $\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = k$ rezultă $a = 2 k$ și $b = 3 k$ . Cu suma $a + b = 5 k = 30 \Rightarrow k = 6$ . Atunci $a = 12$ , $b = 18$ , iar $b - a = 6$ .
Rezolvare completă
Ex. 6Cifra nenulă a din numărul $\overline{2 a 54}$ pentru care numărul este divizibil cu 9 este:
1. A)1
2. B)3
3. C)7
4. D)9
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Criteriul de divizibilitate cu 9: un număr este divizibil cu 9 dacă și numai dacă suma cifrelor sale este divizibilă cu 9. Suma: $2 + a + 5 + 4 = 11 + a$ . Trebuie $11 + a \equiv 0 (mod 9)$ , deci $a = 7$ . Verificare: $2754 : 9 = 306$ ✓.
Rezolvare completă

Subiectul al II-lea — 6 exerciții grilă (geometrie)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare răspuns corect = 5 puncte. Timp orientativ: 15 minute — Subiectele I și II, împreună, sub 30 de minute.

Ex. 1Aria unui pătrat care are diagonala de 10 cm este:
1. A)25 cm²
2. B)50 cm²
3. C)100 cm²
4. D) $1002$ cm²
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Într-un pătrat de latură $l$ , diagonala este $d = l 2$ . Cu $d = 10$ : $l^{2} = \frac{d ^{2}}{2} = \frac{100}{2} = 50$ . Aria pătratului: $A = l^{2} = 50$ cm².
Rezolvare completă
Ex. 2Triunghiul ABC este dreptunghic în A și are ipotenuza BC = 10 cm. Raza cercului circumscris triunghiului ABC este:
1. A) $\frac{10}{3}$ cm
2. B)5 cm
3. C) $52$ cm
4. D)10 cm
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Proprietate: într-un triunghi dreptunghic, mijlocul ipotenuzei este egal depărtat de toate cele trei vârfuri (centrul cercului circumscris). Deci ipotenuza este diametrul cercului circumscris și $R = \frac{B C}{2} = \frac{10}{2} = 5$ cm.
Rezolvare completă
Ex. 3Apotema unui hexagon regulat este $33$ cm. Aria hexagonului este:
1. A) $183$ cm²
2. B) $363$ cm²
3. C) $543$ cm²
4. D) $1083$ cm²
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: În hexagonul regulat, apotema este înălțimea unui triunghi echilateral cu latura egală cu latura hexagonului: $a p = \frac{l 3}{2} = 33 \Rightarrow l = 6$ cm. Aria hexagonului = 6 triunghiuri echilaterale cu latura 6: $A = 6 \cdot \frac{l ^{2} 3}{4} = 6 \cdot \frac{36 3}{4} = 543$ cm².
Rezolvare completă
Ex. 4Aria totală a unei sfere cu raza de 4 cm este:
1. A) $16 π$ cm²
2. B) $32 π$ cm²
3. C) $64 π$ cm²
4. D) $256 π$ cm²
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Aria totală a sferei: $S = 4 π R^{2} = 4 π \cdot 16 = 64 π$ cm².
Rezolvare completă
Ex. 5Aria totală a unui cub este 96 cm². Volumul cubului este:
1. A)16 cm³
2. B)32 cm³
3. C)64 cm³
4. D)512 cm³
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Aria totală a cubului = 6 fețe pătrate: $A_{t} = 6 l^{2} = 96 \Rightarrow l^{2} = 16 \Rightarrow l = 4$ cm. Volumul: $V = l^{3} = 64$ cm³.
Rezolvare completă
Ex. 6În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(3, 4) și O(0, 0). Lungimea segmentului OA este:
1. A) $7$ cm
2. B)5 cm
3. C)7 cm
4. D)12 cm
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Distanța dintre punctele $O (x_{O}, y_{O})$ și $A (x_{A}, y_{A})$ în plan: $O A = (x_{A} - x_{O})^{2} + (y_{A} - y_{O})^{2}$ . Aplicând: $O A = 3^{2} + 4^{2} = 25 = 5$ cm.
Rezolvare completă

Subiectul al III-lea — 6 probleme cu rezolvare a/b

Scrie rezolvările complete. Fiecare subpunct (a) valorează 2 puncte, fiecare (b) valorează 3 puncte. Timp orientativ: 90 de minute — cât îți rămâne după Subiectele I și II.

Ex. 1Se consideră numerele reale a și b. Notăm $E (a, b) = (a + b)^{2} + (a - b)^{2}$ .
1. a) Arată că $E (a, b) = 2 (a^{2} + b^{2})$ , pentru orice numere reale a și b.
  Vezi pașii din barem
  1. Dezvolt: (a+b)² = a² + 2ab + b² și (a−b)² = a² − 2ab + b². (1 pct)
  2. E(a,b) = (a²+2ab+b²) + (a²−2ab+b²) = 2a² + 2b² = 2(a²+b²). ✓ (1 pct)
2. b) Calculează $E (3, 2)$ folosind forma simplificată de la subpunctul a) și apoi prin calcul direct, verificând că rezultatele coincid.
  Vezi pașii din barem
  1. Forma simplificată: E(3, 2) = 2·(9 + 4) = 2·13 = 26. (1 pct)
  2. Calcul direct: (3+2)² + (3−2)² = 25 + 1 = 26. (1 pct)
  3. Ambele dau 26 ⇒ confirmă identitatea. ✓ (1 pct)
Rezolvare completă
Ex. 2Numerele naturale a și b sunt direct proporționale cu 2 și 5, iar suma lor este 35.
1. a) Determină numerele a și b.
  Vezi pașii din barem
  1. a/2 = b/5 = k ⇒ a = 2k, b = 5k. Suma: 7k = 35 ⇒ k = 5. (1 pct)
  2. a = 10, b = 25. (1 pct)
2. b) Calculează diferența $b^{2} - a^{2}$ folosind formula $b^{2} - a^{2} = (b - a) (b + a)$ .
  Vezi pașii din barem
  1. b − a = 15, b + a = 35. (1 pct)
  2. b² − a² = 15 · 35. (1 pct)
  3. b² − a² = 525. (Verificare directă: 625 − 100 = 525 ✓.) (1 pct)
Rezolvare completă
Ex. 3Se consideră ecuația $3 (x - 1) - 2 (x + 2) = 5$ , unde x este număr real.
1. a) Rezolvă ecuația.
  Vezi pașii din barem
  1. Desfac parantezele: 3x − 3 − 2x − 4 = 5. (1 pct)
  2. Reduc: x − 7 = 5 ⇒ x = 12. (1 pct)
2. b) Verifică soluția găsită și calculează $x^{2} - 100$ pentru această soluție.
  Vezi pașii din barem
  1. Verificare: 3·(12−1) − 2·(12+2) = 33 − 28 = 5 ✓. (1 pct)
  2. x² = 144 ⇒ x² − 100 = 44. (1 pct)
  3. Forma factorizată: x² − 100 = (x − 10)(x + 10) = 2 · 22 = 44 ✓. (1 pct)
Rezolvare completă
Ex. 4Se consideră o sferă a cărei arie totală este $36 π$ cm².
1. a) Determină raza sferei.
  Vezi pașii din barem
  1. Aria sferei: S = 4πR² = 36π ⇒ R² = 9. (1 pct)
  2. R = 3 cm. (1 pct)
2. b) Calculează volumul sferei.
  Vezi pașii din barem
  1. Formula volumului: V = 4πR³/3. (1 pct)
  2. V = 4π·27/3 = 108π/3. (1 pct)
  3. V = 36π cm³. (Observație: pentru R = 3 valoarea numerică a ariei și a volumului coincide — 36π.) (1 pct)
Rezolvare completă
Ex. 5În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC dreptunghic în A, cu catetele AB = 3 cm și AC = 4 cm. Cercul înscris în triunghi este tangent la cele 3 laturi.
1. a) Calculează lungimea ipotenuzei BC și aria triunghiului ABC.
  Vezi pașii din barem
  1. Pitagora: BC² = 9 + 16 = 25 ⇒ BC = 5 cm. (1 pct)
  2. Aria = AB·AC/2 = 3·4/2 = 6 cm². (1 pct)
2. b) Calculează raza r a cercului înscris în triunghiul ABC.
  Vezi pașii din barem
  1. Formula raza cercului înscris: r = Aria / semiperimetru. (1 pct)
  2. Semiperimetrul: s = (3 + 4 + 5)/2 = 6. (1 pct)
  3. r = 6 / 6 = 1 cm. (Verificare cu formula specifică triunghiului dreptunghic: r = (a + b − c)/2 = (3 + 4 − 5)/2 = 1 ✓.) (1 pct)
Rezolvare completă
Ex. 6În figura alăturată este reprezentat un cub ABCDA′B′C′D′ cu latura de 6 cm. Planul (ACC′A′) determină o secțiune diagonală a cubului.
1. a) Arată că lungimea diagonalei AC a bazei este $62$ cm.
  Vezi pașii din barem
  1. Baza ABCD este pătrat cu latura 6. Pitagora în △ABC: AC² = 6² + 6² = 72. (1 pct)
  2. AC = √72 = 6√2 cm. ✓ (1 pct)
2. b) Calculează aria secțiunii diagonale ACC′A′.
  Vezi pașii din barem
  1. Secțiunea ACC′A′ este un dreptunghi cu laturile AC (diagonala bazei) și AA′ (înălțimea cubului). (1 pct)
  2. Laturile dreptunghiului: AC = 6√2 cm și AA′ = 6 cm. (1 pct)
  3. $A_{sectiune} = A C \cdot A A^{'} = 62 \cdot 6 = 362$ cm². (1 pct)
Rezolvare completă

Ai citit baremul. Acum dă-l propriu-zis.

Rezolvă acest subiect cronometrat în cont. La final, AI-ul îți spune câte puncte ai luat pe fiecare item, pe baremul oficial, plus o explicație pas-cu-pas pentru fiecare greșeală.

Începe simularea cronometrată →

5 credite bonus la înregistrare. Fără card.