Matematică — clasa VIII · 2026 · variantă de antrenament Era Lumis · nr. 13

Matematică · Variantă de antrenament Era Lumis nr. 13 (EN VIII, original)

A treisprezecea variantă originală de antrenament pentru EN VIII matematică, Era Lumis. Acoperă: procente compuse 3-pași (lanț 1000·1,5·0,6·1,25), puteri cu bază negativă, suma numerelor pare consecutive, sumă de numere naturale consecutive, mărimi direct proporționale (diferența), divizibilitate cu 9 (cifră necunoscută), aria pătratului din diagonală, cerc circumscris triunghiului dreptunghic (ipotenuza ca diametru), apotema hexagonului regulat → arie, aria sferei, cub din arie totală → volum, distanța dintre puncte în reperul cartezian, identitatea (a+b)²+(a-b)²=2(a²+b²), proporționalitate + diferență de pătrate, ecuație cu paranteze duble + verificare, sferă (S → R → V), cerc înscris triunghi dreptunghic (raza r = (a+b−c)/2), secțiune diagonală a cubului.

Durată: 120 min
Exerciții: 18
Materie: Matematică
Sursă: Variantă originală Era Lumis

Rezolvă cronometrat cu AI →

Rezolvă în 2 ore, în condiții de examen. AI-ul îți corectează pe baremul oficial și îți explică, exercițiu cu exercițiu, unde te-ai încurcat — cu pași numerotați, ca un profesor de meditații.

Subiectul I — 6 exerciții grilă (algebră)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare răspuns corect = 5 puncte. Timp orientativ: 30 de minute.

Ex. 1Prețul unui produs este de 1000 lei. Pe rând, prețul este majorat cu 50%, apoi este redus cu 40%, apoi este majorat cu 25%. Prețul final al produsului este:
1. A)1000 lei
2. B)1050 lei
3. C)1125 lei
4. D)1350 lei
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Aplic pașii pe rând. Majorare cu 50%: \(1000 \cdot 1{,}5 = 1500\). Reducere cu 40%: \(1500 \cdot 0{,}6 = 900\). Majorare cu 25%: \(900 \cdot 1{,}25 = 1125\) lei.
Ex. 2Rezultatul calculului \((-2)^3 + (-2)^2 + (-2)\) este egal cu:
1. A)\(-14\)
2. B)\(-6\)
3. C)\(-2\)
4. D)14
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: \((-2)^3 = -8\) (exponent impar păstrează semnul). \((-2)^2 = 4\) (exponent par dă pozitiv). Adunarea: \(-8 + 4 + (-2) = -6\).
Ex. 3Suma tuturor numerelor naturale pare cuprinse între 1 și 31 este:
1. A)120
2. B)210
3. C)240
4. D)465
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Numerele pare între 1 și 31: 2, 4, 6, …, 30 — sunt 15 termeni. Suma: \(2 + 4 + \dots + 30 = 2 \cdot (1 + 2 + \dots + 15) = 2 \cdot \dfrac{15 \cdot 16}{2} = 240\).
Ex. 4Suma a cinci numere naturale consecutive este 100. Cel mai mic dintre aceste numere este:
1. A)16
2. B)18
3. C)20
4. D)22
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Notez cel mai mic număr cu \(n\). Cele cinci numere consecutive sunt \(n, n+1, n+2, n+3, n+4\). Suma: \(5n + 10 = 100 \Rightarrow 5n = 90 \Rightarrow n = 18\). Verificare: 18+19+20+21+22 = 100 ✓.
Ex. 5Numerele a și b sunt direct proporționale cu 2 și 3, iar suma lor este 30. Diferența \(b - a\) este:
1. A)1
2. B)5
3. C)6
4. D)12
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Din \(\dfrac{a}{2} = \dfrac{b}{3} = k\) rezultă \(a = 2k\) și \(b = 3k\). Cu suma \(a + b = 5k = 30 \Rightarrow k = 6\). Atunci \(a = 12\), \(b = 18\), iar \(b - a = 6\).
Ex. 6Cifra nenulă a din numărul \(\overline{2a54}\) pentru care numărul este divizibil cu 9 este:
1. A)1
2. B)3
3. C)7
4. D)9
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Criteriul de divizibilitate cu 9: un număr este divizibil cu 9 dacă și numai dacă suma cifrelor sale este divizibilă cu 9. Suma: \(2 + a + 5 + 4 = 11 + a\). Trebuie \(11 + a \equiv 0 \pmod 9\), deci \(a = 7\). Verificare: \(2754 : 9 = 306\) ✓.

Subiectul al II-lea — 6 exerciții grilă (geometrie)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare răspuns corect = 5 puncte. Timp orientativ: 30 de minute.

Ex. 1Aria unui pătrat care are diagonala de 10 cm este:
1. A)25 cm²
2. B)50 cm²
3. C)100 cm²
4. D)\(100\sqrt{2}\) cm²
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Într-un pătrat de latură \(l\), diagonala este \(d = l\sqrt{2}\). Cu \(d = 10\): \(l^2 = \dfrac{d^2}{2} = \dfrac{100}{2} = 50\). Aria pătratului: \(A = l^2 = 50\) cm².
Ex. 2Triunghiul ABC este dreptunghic în A și are ipotenuza BC = 10 cm. Raza cercului circumscris triunghiului ABC este:
1. A)\(\dfrac{10}{3}\) cm
2. B)5 cm
3. C)\(5\sqrt{2}\) cm
4. D)10 cm
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Proprietate: într-un triunghi dreptunghic, mijlocul ipotenuzei este egal depărtat de toate cele trei vârfuri (centrul cercului circumscris). Deci ipotenuza este diametrul cercului circumscris și \(R = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{10}{2} = 5\) cm.
Ex. 3Apotema unui hexagon regulat este \(3\sqrt{3}\) cm. Aria hexagonului este:
1. A)\(18\sqrt{3}\) cm²
2. B)\(36\sqrt{3}\) cm²
3. C)\(54\sqrt{3}\) cm²
4. D)\(108\sqrt{3}\) cm²
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: În hexagonul regulat, apotema este înălțimea unui triunghi echilateral cu latura egală cu latura hexagonului: \(ap = \dfrac{l \sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \Rightarrow l = 6\) cm. Aria hexagonului = 6 triunghiuri echilaterale cu latura 6: \(A = 6 \cdot \dfrac{l^2 \sqrt{3}}{4} = 6 \cdot \dfrac{36\sqrt{3}}{4} = 54\sqrt{3}\) cm².
Ex. 4Aria totală a unei sfere cu raza de 4 cm este:
1. A)\(16\pi\) cm²
2. B)\(32\pi\) cm²
3. C)\(64\pi\) cm²
4. D)\(256\pi\) cm²
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Aria totală a sferei: \(S = 4 \pi R^2 = 4 \pi \cdot 16 = 64 \pi\) cm².
Ex. 5Aria totală a unui cub este 96 cm². Volumul cubului este:
1. A)16 cm³
2. B)32 cm³
3. C)64 cm³
4. D)512 cm³
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Aria totală a cubului = 6 fețe pătrate: \(A_t = 6 l^2 = 96 \Rightarrow l^2 = 16 \Rightarrow l = 4\) cm. Volumul: \(V = l^3 = 64\) cm³.
Ex. 6În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(3, 4) și O(0, 0). Lungimea segmentului OA este:
1. A)\(\sqrt{7}\) cm
2. B)5 cm
3. C)7 cm
4. D)12 cm
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Distanța dintre punctele \(O(x_O, y_O)\) și \(A(x_A, y_A)\) în plan: \(OA = \sqrt{(x_A - x_O)^2 + (y_A - y_O)^2}\). Aplicând: \(OA = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\) cm.

Subiectul al III-lea — 6 probleme cu rezolvare a/b

Scrie rezolvările complete. Fiecare subpunct (a) valorează 2 puncte, fiecare (b) valorează 3 puncte. Timp orientativ: 60 de minute.

Ex. 1Se consideră numerele reale a și b. Notăm \(E(a, b) = (a + b)^2 + (a - b)^2\).
1. a) Arată că \(E(a, b) = 2(a^2 + b^2)\), pentru orice numere reale a și b.
  Vezi pașii din barem
  1. Dezvolt: (a+b)² = a² + 2ab + b² și (a−b)² = a² − 2ab + b². (1 pct)
  2. E(a,b) = (a²+2ab+b²) + (a²−2ab+b²) = 2a² + 2b² = 2(a²+b²). ✓ (1 pct)
2. b) Calculează \(E(3, 2)\) folosind forma simplificată de la subpunctul a) și apoi prin calcul direct, verificând că rezultatele coincid.
  Vezi pașii din barem
  1. Forma simplificată: E(3, 2) = 2·(9 + 4) = 2·13 = 26. (1 pct)
  2. Calcul direct: (3+2)² + (3−2)² = 25 + 1 = 26. (1 pct)
  3. Ambele dau 26 ⇒ confirmă identitatea. ✓ (1 pct)
Ex. 2Numerele naturale a și b sunt direct proporționale cu 2 și 5, iar suma lor este 35.
1. a) Determină numerele a și b.
  Vezi pașii din barem
  1. a/2 = b/5 = k ⇒ a = 2k, b = 5k. Suma: 7k = 35 ⇒ k = 5. (1 pct)
  2. a = 10, b = 25. (1 pct)
2. b) Calculează diferența \(b^2 - a^2\) folosind formula \(b^2 - a^2 = (b - a)(b + a)\).
  Vezi pașii din barem
  1. b − a = 15, b + a = 35. (1 pct)
  2. b² − a² = 15 · 35. (1 pct)
  3. b² − a² = 525. (Verificare directă: 625 − 100 = 525 ✓.) (1 pct)
Ex. 3Se consideră ecuația \(3(x - 1) - 2(x + 2) = 5\), unde x este număr real.
1. a) Rezolvă ecuația.
  Vezi pașii din barem
  1. Desfac parantezele: 3x − 3 − 2x − 4 = 5. (1 pct)
  2. Reduc: x − 7 = 5 ⇒ x = 12. (1 pct)
2. b) Verifică soluția găsită și calculează \(x^2 - 100\) pentru această soluție.
  Vezi pașii din barem
  1. Verificare: 3·(12−1) − 2·(12+2) = 33 − 28 = 5 ✓. (1 pct)
  2. x² = 144 ⇒ x² − 100 = 44. (1 pct)
  3. Forma factorizată: x² − 100 = (x − 10)(x + 10) = 2 · 22 = 44 ✓. (1 pct)
Ex. 4Se consideră o sferă a cărei arie totală este \(36\pi\) cm².
1. a) Determină raza sferei.
  Vezi pașii din barem
  1. Aria sferei: S = 4πR² = 36π ⇒ R² = 9. (1 pct)
  2. R = 3 cm. (1 pct)
2. b) Calculează volumul sferei.
  Vezi pașii din barem
  1. Formula volumului: V = 4πR³/3. (1 pct)
  2. V = 4π·27/3 = 108π/3. (1 pct)
  3. V = 36π cm³. (Observație: pentru R = 3 valoarea numerică a ariei și a volumului coincide — 36π.) (1 pct)
Ex. 5În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC dreptunghic în A, cu catetele AB = 3 cm și AC = 4 cm. Cercul înscris în triunghi este tangent la cele 3 laturi.
1. a) Calculează lungimea ipotenuzei BC și aria triunghiului ABC.
  Vezi pașii din barem
  1. Pitagora: BC² = 9 + 16 = 25 ⇒ BC = 5 cm. (1 pct)
  2. Aria = AB·AC/2 = 3·4/2 = 6 cm². (1 pct)
2. b) Calculează raza r a cercului înscris în triunghiul ABC.
  Vezi pașii din barem
  1. Formula raza cercului înscris: r = Aria / semiperimetru. (1 pct)
  2. Semiperimetrul: s = (3 + 4 + 5)/2 = 6. (1 pct)
  3. r = 6 / 6 = 1 cm. (Verificare cu formula specifică triunghiului dreptunghic: r = (a + b − c)/2 = (3 + 4 − 5)/2 = 1 ✓.) (1 pct)
Ex. 6În figura alăturată este reprezentat un cub ABCDA′B′C′D′ cu latura de 6 cm. Planul (ACC′A′) determină o secțiune diagonală a cubului.
1. a) Arată că lungimea diagonalei AC a bazei este \(6\sqrt{2}\) cm.
  Vezi pașii din barem
  1. Baza ABCD este pătrat cu latura 6. Pitagora în △ABC: AC² = 6² + 6² = 72. (1 pct)
  2. AC = √72 = 6√2 cm. ✓ (1 pct)
2. b) Calculează aria secțiunii diagonale ACC′A′.
  Vezi pașii din barem
  1. Secțiunea ACC′A′ este un dreptunghi cu laturile AC (diagonala bazei) și AA′ (înălțimea cubului). (1 pct)
  2. Laturile dreptunghiului: AC = 6√2 cm și AA′ = 6 cm. (1 pct)
  3. A_secțiune = AC · AA′ = 6√2 · 6 = 36√2 cm². (1 pct)

Ai citit baremul. Acum dă-l propriu-zis.

Rezolvă acest subiect cronometrat în cont. La final, AI-ul îți spune câte puncte ai luat pe fiecare item, pe baremul oficial, plus o explicație pas-cu-pas pentru fiecare greșeală.

Începe simularea cronometrată →

5 credite bonus la înregistrare. Fără card.