Matematică — clasa VIII · 2026 · variantă de antrenament Era Lumis · nr. 14

Matematică · Variantă de antrenament Era Lumis nr. 14 (EN VIII, original)

A paisprezecea variantă originală de antrenament pentru EN VIII matematică, Era Lumis. Acoperă: procent reciproc (cât % e A din B), adunare de fracții cu numitor comun, radical din produs (\(\sqrt{2 \cdot 18}\)), modulul unui număr real (sumă), probabilitate pe zar (număr prim), inecuație și cel mai mare natural soluție, aria triunghiului echilateral (\(l^2 \sqrt{3}/4\)), aria trapezului isoscel, aria paralelogramului prin bază și înălțime, volumul cilindrului, aria laterală a piramidei triunghiulare regulate, cerc înscris într-un pătrat, identitatea \(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\), sistem de două ecuații (sumă + diferență), proporționalitate directă + reciproca teoremei lui Pitagora (triunghi 6-8-10), trapez dreptunghic (înălțime + arie), con (volum + arie laterală), paralelipiped dreptunghic (volum + diagonală spațială 3-4-12).

Durată: 120 min
Exerciții: 18
Materie: Matematică
Sursă: Variantă originală Era Lumis

Rezolvă cronometrat cu AI →

Rezolvă în 2 ore, în condiții de examen. AI-ul îți corectează pe baremul oficial și îți explică, exercițiu cu exercițiu, unde te-ai încurcat — cu pași numerotați, ca un profesor de meditații.

Subiectul I — 6 exerciții grilă (algebră)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare răspuns corect = 5 puncte. Timp orientativ: 30 de minute.

Ex. 1Cât la sută din numărul 80 reprezintă numărul 32?
1. A)25%
2. B)32%
3. C)40%
4. D)48%
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Procent = \(\dfrac{\text{parte}}{\text{întreg}} \cdot 100\% = \dfrac{32}{80} \cdot 100\% = \dfrac{2}{5} \cdot 100\% = 40\%\).
Ex. 2Rezultatul calculului \(\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{4}\) este egal cu:
1. A)\(\dfrac{3}{7}\)
2. B)\(\dfrac{2}{12}\)
3. C)\(\dfrac{11}{12}\)
4. D)\(\dfrac{12}{11}\)
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Aduc la același numitor (12, cel mai mic numitor comun): \(\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{12}\) și \(\dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{12}\). Suma: \(\dfrac{8 + 3}{12} = \dfrac{11}{12}\).
Ex. 3Rezultatul calculului \(\sqrt{2 \cdot 18}\) este egal cu:
1. A)\(2\sqrt{9}\)
2. B)6
3. C)\(\sqrt{20}\)
4. D)36
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: \(\sqrt{2 \cdot 18} = \sqrt{36}\). Cum \(36 = 6^2\), rezultă \(\sqrt{36} = 6\). (Sau, folosind regula \(\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\): \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 3 \cdot 2 = 6\).)
Ex. 4Valoarea expresiei \(|-3| + |5 - 8|\) este:
1. A)0
2. B)2
3. C)6
4. D)8
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Modulul unui număr real este distanța lui față de zero, deci este întotdeauna nenegativ. \(|-3| = 3\) și \(|5 - 8| = |-3| = 3\). Suma: \(3 + 3 = 6\).
Ex. 5Se aruncă un zar cu fețele numerotate de la 1 la 6. Probabilitatea ca numărul de pe fața superioară să fie număr prim este:
1. A)\(\dfrac{1}{6}\)
2. B)\(\dfrac{1}{3}\)
3. C)\(\dfrac{1}{2}\)
4. D)\(\dfrac{2}{3}\)
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Numere prime de la 1 la 6: 2, 3 și 5 (atenție: 1 nu este număr prim). Cazuri favorabile: 3. Cazuri posibile: 6. \(P = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\).
Ex. 6Cel mai mare număr natural x pentru care \(2x - 1 \le 9\) este:
1. A)4
2. B)5
3. C)6
4. D)10
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Rezolv inecuația: \(2x - 1 \le 9 \Rightarrow 2x \le 10 \Rightarrow x \le 5\). Cel mai mare număr natural care satisface această condiție este \(x = 5\).

Subiectul al II-lea — 6 exerciții grilă (geometrie)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare răspuns corect = 5 puncte. Timp orientativ: 30 de minute.

Ex. 1Aria unui triunghi echilateral cu latura de 10 cm este:
1. A)\(10\sqrt{3}\) cm²
2. B)\(25\sqrt{3}\) cm²
3. C)\(50\sqrt{3}\) cm²
4. D)100 cm²
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Aria triunghiului echilateral cu latura \(l\): \(A = \dfrac{l^2 \sqrt{3}}{4}\). Pentru \(l = 10\): \(A = \dfrac{100 \sqrt{3}}{4} = 25\sqrt{3}\) cm².
Ex. 2Un trapez isoscel are bazele de 6 cm și 10 cm, iar înălțimea de 4 cm. Aria trapezului este:
1. A)16 cm²
2. B)24 cm²
3. C)32 cm²
4. D)64 cm²
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Aria trapezului = \(\dfrac{(B + b) \cdot h}{2} = \dfrac{(10 + 6) \cdot 4}{2} = \dfrac{64}{2} = 32\) cm².
Ex. 3Aria unui paralelogram cu baza de 8 cm și înălțimea corespunzătoare ei de 5 cm este:
1. A)13 cm²
2. B)26 cm²
3. C)40 cm²
4. D)80 cm²
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Aria paralelogramului = \(b \cdot h = 8 \cdot 5 = 40\) cm². (Înălțimea trebuie să fie cea perpendiculară pe baza folosită.)
Ex. 4Volumul unui cilindru circular drept cu raza bazei de 4 cm și înălțimea de 10 cm este:
1. A)\(40\pi\) cm³
2. B)\(80\pi\) cm³
3. C)\(160\pi\) cm³
4. D)\(640\pi\) cm³
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Volumul cilindrului = aria bazei × înălțimea: \(V = \pi R^2 \cdot h = \pi \cdot 4^2 \cdot 10 = 160 \pi\) cm³.
Ex. 5O piramidă triunghiulară regulată are latura bazei de 6 cm și apotema piramidei (înălțimea unei fețe laterale, dusă din vârf) de 8 cm. Aria laterală a piramidei este:
1. A)24 cm²
2. B)48 cm²
3. C)72 cm²
4. D)144 cm²
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Aria laterală a piramidei regulate = \(\dfrac{P_\text{baza} \cdot ap}{2}\). Cu baza un triunghi echilateral cu latura 6: \(P_\text{baza} = 18\) cm. Atunci \(A_\text{lat} = \dfrac{18 \cdot 8}{2} = 72\) cm². (Verificare: 3 fețe triunghiulare congruente, fiecare cu aria \(\dfrac{6 \cdot 8}{2} = 24\) cm² ⇒ \(3 \cdot 24 = 72\) cm².)
Ex. 6Într-un pătrat cu latura de 8 cm este înscris un cerc, tangent la cele 4 laturi ale pătratului. Aria cercului înscris este:
1. A)\(4\pi\) cm²
2. B)\(8\pi\) cm²
3. C)\(16\pi\) cm²
4. D)\(64\pi\) cm²
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Cercul înscris într-un pătrat are diametrul egal cu latura pătratului, deci raza este \(r = \dfrac{l}{2} = \dfrac{8}{2} = 4\) cm. Aria cercului: \(A = \pi r^2 = \pi \cdot 16 = 16\pi\) cm².

Subiectul al III-lea — 6 probleme cu rezolvare a/b

Scrie rezolvările complete. Fiecare subpunct (a) valorează 2 puncte, fiecare (b) valorează 3 puncte. Timp orientativ: 60 de minute.

Ex. 1Se consideră expresia \(E(a, b) = (a + b)(a - b)\), unde a și b sunt numere reale.
1. a) Arată că \(E(a, b) = a^2 - b^2\), pentru orice numere reale a și b.
  Vezi pașii din barem
  1. Aplic formula de înmulțire: (a+b)(a−b) = a·a − a·b + b·a − b·b. (1 pct)
  2. Termenii −ab și +ab se reduc, rămâne a² − b². ✓ (1 pct)
2. b) Calculează \(17^2 - 13^2\) folosind forma factorizată de la subpunctul a).
  Vezi pașii din barem
  1. 17² − 13² = (17 + 13)(17 − 13). (1 pct)
  2. Înlocuiesc: 30 · 4. (1 pct)
  3. 17² − 13² = 120. (Verificare directă: 289 − 169 = 120 ✓.) (1 pct)
Ex. 2Se consideră sistemul de ecuații \(\begin{cases} x + y = 10 \\ x - y = 4 \end{cases}\), unde x și y sunt numere reale.
1. a) Rezolvă sistemul.
  Vezi pașii din barem
  1. Adun cele două ecuații: 2x = 14 ⇒ x = 7. (1 pct)
  2. Din x + y = 10: y = 10 − 7 = 3. (1 pct)
2. b) Calculează valoarea expresiei \(x^2 + y^2\) folosind soluția găsită.
  Vezi pașii din barem
  1. Cu x = 7 și y = 3: x² = 49 și y² = 9. (1 pct)
  2. x² + y² = 49 + 9 = 58. (1 pct)
  3. Verificare cu identitatea (x+y)² + (x−y)² = 2(x²+y²): 100 + 16 = 116 = 2·58 ✓. (1 pct)
Ex. 3Numerele naturale a, b și c sunt direct proporționale cu 3, 4 și 5, iar suma lor este 24.
1. a) Determină numerele a, b și c.
  Vezi pașii din barem
  1. a/3 = b/4 = c/5 = k ⇒ a = 3k, b = 4k, c = 5k. Suma: 12k = 24 ⇒ k = 2. (1 pct)
  2. a = 6, b = 8, c = 10. (1 pct)
2. b) Arată că numerele a, b și c pot fi laturile unui triunghi dreptunghic.
  Vezi pașii din barem
  1. Verific reciproca teoremei lui Pitagora: cel mai mare la pătrat = suma pătratelor celor mici? 6² + 8² = 36 + 64 = 100. (1 pct)
  2. 10² = 100. Deci 6² + 8² = 10². (1 pct)
  3. Conform reciprocei teoremei lui Pitagora, triunghiul cu laturile 6, 8, 10 este dreptunghic (ipotenuza fiind latura 10). ✓ (1 pct)
Ex. 4În figura alăturată este reprezentat un trapez dreptunghic ABCD cu AB ∥ CD, m(∢A) = m(∢D) = 90°, AB = 8 cm, CD = 14 cm și BC = 10 cm.
1. a) Calculează lungimea înălțimii AD a trapezului.
  Vezi pașii din barem
  1. Construiesc înălțimea din B pe DC, fie E piciorul: BE = AD (înălțimea trapezului), iar DE = AB = 8 cm. (1 pct)
  2. EC = DC − DE = 14 − 8 = 6 cm. În △BEC dreptunghic în E: BC² = BE² + EC² ⇒ 100 = AD² + 36 ⇒ AD² = 64 ⇒ AD = 8 cm. (1 pct)
2. b) Calculează aria trapezului ABCD.
  Vezi pașii din barem
  1. Formula ariei trapezului: A = (AB + CD)·AD/2. (1 pct)
  2. A = (8 + 14)·8/2 = 22·8/2 = 88. (1 pct)
  3. A_trapez = 88 cm². (1 pct)
Ex. 5În figura alăturată este reprezentat un con circular drept cu raza bazei R = 6 cm și înălțimea h = 8 cm.
1. a) Calculează volumul conului.
  Vezi pașii din barem
  1. Formula volumului conului: V = π·R²·h/3. (1 pct)
  2. V = π·36·8/3 = 288π/3 = 96π cm³. (1 pct)
2. b) Calculează aria laterală a conului.
  Vezi pașii din barem
  1. Generatoarea: g = √(R² + h²) = √(36 + 64) = √100 = 10 cm. (1 pct)
  2. Formula ariei laterale a conului: A_lat = π·R·g. (1 pct)
  3. A_lat = π·6·10 = 60π cm². (1 pct)
Ex. 6În figura alăturată este reprezentat un paralelipiped dreptunghic ABCDA′B′C′D′ cu dimensiunile AB = 3 cm, BC = 4 cm și AA′ = 12 cm.
1. a) Calculează volumul paralelipipedului.
  Vezi pașii din barem
  1. Formula volumului paralelipipedului dreptunghic: V = AB·BC·AA′. (1 pct)
  2. V = 3·4·12 = 144 cm³. (1 pct)
2. b) Calculează lungimea diagonalei AC′ a paralelipipedului.
  Vezi pașii din barem
  1. Formula diagonalei: d² = AB² + BC² + AA′². (1 pct)
  2. d² = 9 + 16 + 144 = 169. (1 pct)
  3. AC′ = √169 = 13 cm. (1 pct)

Ai citit baremul. Acum dă-l propriu-zis.

Rezolvă acest subiect cronometrat în cont. La final, AI-ul îți spune câte puncte ai luat pe fiecare item, pe baremul oficial, plus o explicație pas-cu-pas pentru fiecare greșeală.

Începe simularea cronometrată →

5 credite bonus la înregistrare. Fără card.