Matematică — clasa VIII · 2026 · variantă de antrenament Era Lumis · nr. 15

Matematică · Variantă de antrenament Era Lumis nr. 15 (EN VIII, original)

A cincisprezecea variantă originală de antrenament pentru EN VIII matematică, Era Lumis. Acoperă: procent invers (parte din întreg cunoscut), suma celor mai mici 5 numere prime, distincția $-a^n$ vs $(-a)^n$, ecuație de gradul I cu necunoscuta în ambii membri, probabilitate disjunctă (roșu SAU verde), invers proporționalitate (diferență), triunghi 30-60-90 cu cateta scurtă cunoscută, romb din latură și o diagonală (cealaltă prin Pitagora), aria hexagonului regulat din latură, aria laterală a piramidei triunghiulare regulate, aria laterală a cilindrului, aria coroanei circulare, identitatea $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$ (forma canonică), funcție liniară (intersecție cu Ox), inecuație cu naturale (suma soluțiilor), triunghi isoscel 17-17-16 (înălțime + arie + perimetru), cilindru (arie laterală + volum), sferă circumscrisă cubului (R = l√3/2 ⇒ arie).

Durată: 120 min
Exerciții: 18
Materie: Matematică
Sursă: Variantă originală Era Lumis

Rezolvă cronometrat cu AI →

Rezolvă în 2 ore, în condiții de examen. AI-ul îți corectează pe baremul oficial și îți explică, exercițiu cu exercițiu, unde te-ai încurcat — cu pași numerotați, ca un profesor de meditații.

Subiectul I — 6 exerciții grilă (algebră)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare răspuns corect = 5 puncte. Timp orientativ: 15 minute — Subiectele I și II, împreună, sub 30 de minute.

Ex. 1Numărul 60 reprezintă 75% din numărul N. Valoarea lui N este:
1. A)45
2. B)75
3. C)80
4. D)135
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: 60 reprezintă 75% din N, adică $60 = \frac{75}{100} \cdot N = \frac{3}{4} N$ . Atunci $N = \frac{60 \cdot 4}{3} = 80$ . Verificare: 75% din 80 = 0,75 · 80 = 60 ✓.
Rezolvare completă
Ex. 2Suma celor mai mici 5 numere prime este:
1. A)17
2. B)18
3. C)26
4. D)28
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: D
Rezolvare: Cele mai mici 5 numere prime sunt 2, 3, 5, 7 și 11 (1 NU este număr prim, iar pentru a fi prim un număr trebuie să aibă exact doi divizori naturali: 1 și el însuși). Suma: $2 + 3 + 5 + 7 + 11 = 28$ .
Rezolvare completă
Ex. 3Rezultatul calculului $- 2^{4} + (- 2)^{4}$ este:
1. A) $- 32$
2. B)0
3. C)16
4. D)32
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Atenție la efectul parantezelor: $- 2^{4} = - (2^{4}) = - 16$ (semnul minus se aplică DUPĂ ridicarea la putere). $(- 2)^{4} = (- 2) (- 2) (- 2) (- 2) = 16$ (exponent par ⇒ rezultat pozitiv). Suma: $- 16 + 16 = 0$ .
Rezolvare completă
Ex. 4Soluția ecuației $5 x - 3 = 2 x + 12$ , unde x este număr real, este:
1. A)x = 3
2. B)x = 5
3. C)x = 9
4. D)x = 15
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Trec termenii cu x într-un membru și cei liberi în celălalt: $5 x - 2 x = 12 + 3 \Rightarrow 3 x = 15 \Rightarrow x = 5$ .
Rezolvare completă
Ex. 5Într-o pungă sunt 4 bile roșii, 3 bile albastre și 3 bile verzi. Se extrage o bilă la întâmplare. Probabilitatea ca bila extrasă să fie roșie sau verde este:
1. A) $\frac{3}{10}$
2. B) $\frac{4}{10}$
3. C) $\frac{7}{10}$
4. D) $\frac{1}{3}$
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Total bile: $4 + 3 + 3 = 10$ . Cazuri favorabile (roșie sau verde): $4 + 3 = 7$ . $P = \frac{7}{10}$ .
Rezolvare completă
Ex. 6Numerele naturale a și b sunt invers proporționale cu 2 și 3, iar suma lor este 25. Diferența $a - b$ este:
1. A)1
2. B)5
3. C)6
4. D)10
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Două numere sunt invers proporționale cu 2 și 3 dacă $a \cdot 2 = b \cdot 3 = k$ , deci $a = \frac{k}{2}$ și $b = \frac{k}{3}$ . Din suma $a + b = \frac{k}{2} + \frac{k}{3} = \frac{5 k}{6} = 25$ obțin $k = 30$ . Atunci $a = 15$ , $b = 10$ , iar $a - b = 5$ .
Rezolvare completă

Subiectul al II-lea — 6 exerciții grilă (geometrie)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare răspuns corect = 5 puncte. Timp orientativ: 15 minute — Subiectele I și II, împreună, sub 30 de minute.

Ex. 1În triunghiul ABC dreptunghic în A, m(∢C) = 30°, iar cateta AB (opusă unghiului de 30°) are lungimea de 4 cm. Lungimea ipotenuzei BC este:
1. A)2 cm
2. B) $43$ cm
3. C)8 cm
4. D)12 cm
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Într-un triunghi dreptunghic, cateta opusă unghiului de 30° este jumătatea ipotenuzei: $A B = \frac{B C}{2} \Rightarrow B C = 2 \cdot A B = 2 \cdot 4 = 8$ cm.
Rezolvare completă
Ex. 2Aria unui romb cu latura de 5 cm și o diagonală de 8 cm este:
1. A)12 cm²
2. B)20 cm²
3. C)24 cm²
4. D)40 cm²
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Diagonalele rombului se înjumătățesc reciproc și sunt perpendiculare. În triunghiul dreptunghic format de jumătățile lor și latură: $l^{2} = (\frac{d _{1}}{2})^{2} + (\frac{d _{2}}{2})^{2}$ . Atunci $25 = 16 + (\frac{d _{2}}{2})^{2} \Rightarrow \frac{d _{2}}{2} = 3 \Rightarrow d_{2} = 6$ cm. Aria: $\frac{d _{1} \cdot d _{2}}{2} = \frac{8 \cdot 6}{2} = 24$ cm².
Rezolvare completă
Ex. 3Aria unui hexagon regulat cu latura de 4 cm este:
1. A) $43$ cm²
2. B) $163$ cm²
3. C) $243$ cm²
4. D) $963$ cm²
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Hexagonul regulat se descompune în 6 triunghiuri echilaterale congruente cu latura egală cu latura hexagonului. Aria unuia: $\frac{l ^{2} 3}{4} = \frac{16 3}{4} = 43$ cm². Aria hexagonului: $6 \cdot 43 = 243$ cm².
Rezolvare completă
Ex. 4O piramidă triunghiulară regulată are latura bazei de 4 cm și apotema piramidei (înălțimea unei fețe laterale, dusă din vârf) de 6 cm. Aria laterală a piramidei este:
1. A)12 cm²
2. B)24 cm²
3. C)36 cm²
4. D)72 cm²
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Aria laterală a piramidei regulate = $\frac{P _{baza} \cdot a p}{2}$ . Cu baza triunghi echilateral cu latura 4: $P_{baza} = 12$ cm. $A_{lat} = \frac{12 \cdot 6}{2} = 36$ cm².
Rezolvare completă
Ex. 5Aria laterală a unui cilindru circular drept cu raza bazei de 5 cm și înălțimea de 4 cm este:
1. A) $20 π$ cm²
2. B) $40 π$ cm²
3. C) $50 π$ cm²
4. D) $100 π$ cm²
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Desfășurat, suprafața laterală a cilindrului este un dreptunghi cu dimensiunile: lungimea cercului bazei ( $2 π R$ ) și înălțimea cilindrului ( $h$ ). Aria laterală: $A_{lat} = 2 π R h = 2 π \cdot 5 \cdot 4 = 40 π$ cm².
Rezolvare completă
Ex. 6Două cercuri concentrice au razele 3 cm și respectiv 5 cm. Aria coroanei circulare (regiunea cuprinsă între cele două cercuri) este:
1. A) $2 π$ cm²
2. B) $8 π$ cm²
3. C) $16 π$ cm²
4. D) $34 π$ cm²
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Aria coroanei circulare = aria cercului mare − aria cercului mic = $π R^{2} - π r^{2} = π (R^{2} - r^{2}) = π (25 - 9) = 16 π$ cm².
Rezolvare completă

Subiectul al III-lea — 6 probleme cu rezolvare a/b

Scrie rezolvările complete. Fiecare subpunct (a) valorează 2 puncte, fiecare (b) valorează 3 puncte. Timp orientativ: 90 de minute — cât îți rămâne după Subiectele I și II.

Ex. 1Se consideră expresia $E (x) = x^{2} - 6 x + 9$ , unde x este număr real.
1. a) Arată că $E (x) = (x - 3)^{2}$ , pentru orice număr real x.
  Vezi pașii din barem
  1. Folosesc identitatea (a − b)² = a² − 2ab + b² cu a = x, b = 3: (x − 3)² = x² − 2·x·3 + 9 = x² − 6x + 9. (1 pct)
  2. Deci E(x) = (x − 3)². ✓ (1 pct)
2. b) Calculează $E (8)$ folosind forma factorizată și apoi prin calcul direct, verificând că rezultatele coincid.
  Vezi pașii din barem
  1. Forma factorizată: E(8) = (8 − 3)² = 5² = 25. (1 pct)
  2. Calcul direct: 8² − 6·8 + 9 = 64 − 48 + 9 = 25. (1 pct)
  3. Ambele dau 25 ⇒ confirmă identitatea. ✓ (1 pct)
Rezolvare completă
Ex. 2Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 2 x - 5$ .
1. a) Determină coordonatele punctului în care graficul funcției f intersectează axa Ox.
  Vezi pașii din barem
  1. Punctul de intersecție cu Ox are y = 0, deci f(x) = 0: 2x − 5 = 0 ⇒ 2x = 5. (1 pct)
  2. x = 5/2. Coordonatele: A(5/2, 0). (1 pct)
2. b) Calculează valoarea sumei $f (- 1) + f (0) + f (1)$ .
  Vezi pașii din barem
  1. f(−1) = 2·(−1) − 5 = −7. (1 pct)
  2. f(0) = −5; f(1) = 2 − 5 = −3. (1 pct)
  3. f(−1) + f(0) + f(1) = −7 + (−5) + (−3) = −15. (1 pct)
Rezolvare completă
Ex. 3Se consideră inecuația $2 x - 3 < 5$ , unde x este număr natural.
1. a) Determină mulțimea numerelor naturale x care satisfac inecuația.
  Vezi pașii din barem
  1. Rezolv: 2x − 3 < 5 ⇒ 2x < 8 ⇒ x < 4. (1 pct)
  2. Numerele naturale x cu x < 4 formează mulțimea {0, 1, 2, 3}. (1 pct)
2. b) Calculează suma elementelor mulțimii de la subpunctul a) și verifică dacă suma este un număr par.
  Vezi pașii din barem
  1. Suma: 0 + 1 + 2 + 3 = 6. (1 pct)
  2. 6 este număr par (divizibil cu 2). (1 pct)
  3. Răspuns: suma este 6, care este par. ✓ (1 pct)
Rezolvare completă
Ex. 4În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel ABC cu AB = AC = 17 cm și BC = 16 cm. AD este înălțimea din vârful A pe baza BC.
1. a) Arată că lungimea înălțimii AD este de 15 cm.
  Vezi pașii din barem
  1. Într-un triunghi isoscel, înălțimea din vârful opus bazei este și mediană ⇒ D este mijlocul lui BC, deci BD = DC = 8 cm. (1 pct)
  2. În △ABD dreptunghic în D, Pitagora: AD² = AB² − BD² = 289 − 64 = 225 ⇒ AD = 15 cm. ✓ (1 pct)
2. b) Calculează aria triunghiului ABC și perimetrul lui.
  Vezi pașii din barem
  1. Aria: A = BC·AD/2 = 16·15/2 = 240/2 = 120 cm². (1 pct)
  2. Perimetrul: P = AB + AC + BC = 17 + 17 + 16 = 50 cm. (1 pct)
  3. Răspuns final: A = 120 cm², P = 50 cm. (1 pct)
Rezolvare completă
Ex. 5În figura alăturată este reprezentat un cilindru circular drept cu raza bazei R = 5 cm și înălțimea h = 8 cm.
1. a) Calculează aria laterală a cilindrului.
  Vezi pașii din barem
  1. Formula ariei laterale: $A_{lat} = 2 π R h$ . (1 pct)
  2. $A_{lat} = 2 π \cdot 5 \cdot 8 = 80 π$ cm². (1 pct)
2. b) Calculează volumul cilindrului.
  Vezi pașii din barem
  1. Formula volumului: V = πR²h. (1 pct)
  2. V = π·25·8 = 200π. (1 pct)
  3. V = 200π cm³. (1 pct)
Rezolvare completă
Ex. 6Se consideră un cub cu latura de 4 cm și o sferă circumscrisă acestui cub (cele 8 vârfuri ale cubului aparțin sferei).
1. a) Arată că raza sferei circumscrise este $R = 23$ cm.
  Vezi pașii din barem
  1. Diagonala spațială a cubului trece prin centrul sferei și are extremitățile pe sferă ⇒ diagonala cubului = diametrul sferei. (1 pct)
  2. $d_{cub} = l 3 = 43$ cm $\Rightarrow 2 R = 43 \Rightarrow R = 23$ cm. ✓ (1 pct)
2. b) Calculează aria sferei circumscrise.
  Vezi pașii din barem
  1. Formula ariei sferei: S = 4πR². (1 pct)
  2. R² = (2√3)² = 4·3 = 12. (1 pct)
  3. S = 4π·12 = 48π cm². (1 pct)
Rezolvare completă

Ai citit baremul. Acum dă-l propriu-zis.

Rezolvă acest subiect cronometrat în cont. La final, AI-ul îți spune câte puncte ai luat pe fiecare item, pe baremul oficial, plus o explicație pas-cu-pas pentru fiecare greșeală.

Începe simularea cronometrată →

5 credite bonus la înregistrare. Fără card.