Matematică — clasa VIII · 2026 · variantă de antrenament Era Lumis · nr. 15

Matematică · Variantă de antrenament Era Lumis nr. 15 (EN VIII, original)

A cincisprezecea variantă originală de antrenament pentru EN VIII matematică, Era Lumis. Acoperă: procent invers (parte din întreg cunoscut), suma celor mai mici 5 numere prime, distincția \(-a^n\) vs \((-a)^n\), ecuație de gradul I cu necunoscuta în ambii membri, probabilitate disjunctă (roșu SAU verde), invers proporționalitate (diferență), triunghi 30-60-90 cu cateta scurtă cunoscută, romb din latură și o diagonală (cealaltă prin Pitagora), aria hexagonului regulat din latură, aria laterală a piramidei triunghiulare regulate, aria laterală a cilindrului, aria coroanei circulare, identitatea \(a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2\) (forma canonică), funcție liniară (intersecție cu Ox), inecuație cu naturale (suma soluțiilor), triunghi isoscel 17-17-16 (înălțime + arie + perimetru), cilindru (arie laterală + volum), sferă circumscrisă cubului (R = l√3/2 ⇒ arie).

Durată: 120 min
Exerciții: 18
Materie: Matematică
Sursă: Variantă originală Era Lumis

Rezolvă cronometrat cu AI →

Rezolvă în 2 ore, în condiții de examen. AI-ul îți corectează pe baremul oficial și îți explică, exercițiu cu exercițiu, unde te-ai încurcat — cu pași numerotați, ca un profesor de meditații.

Subiectul I — 6 exerciții grilă (algebră)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare răspuns corect = 5 puncte. Timp orientativ: 30 de minute.

Ex. 1Numărul 60 reprezintă 75% din numărul N. Valoarea lui N este:
1. A)45
2. B)75
3. C)80
4. D)135
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: 60 reprezintă 75% din N, adică \(60 = \dfrac{75}{100} \cdot N = \dfrac{3}{4} N\). Atunci \(N = \dfrac{60 \cdot 4}{3} = 80\). Verificare: 75% din 80 = 0,75 · 80 = 60 ✓.
Ex. 2Suma celor mai mici 5 numere prime este:
1. A)17
2. B)18
3. C)26
4. D)28
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: D
Rezolvare: Cele mai mici 5 numere prime sunt 2, 3, 5, 7 și 11 (1 NU este număr prim, iar pentru a fi prim un număr trebuie să aibă exact doi divizori naturali: 1 și el însuși). Suma: \(2 + 3 + 5 + 7 + 11 = 28\).
Ex. 3Rezultatul calculului \(-2^4 + (-2)^4\) este:
1. A)\(-32\)
2. B)0
3. C)16
4. D)32
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Atenție la efectul parantezelor: \(-2^4 = -(2^4) = -16\) (semnul minus se aplică DUPĂ ridicarea la putere). \((-2)^4 = (-2)(-2)(-2)(-2) = 16\) (exponent par ⇒ rezultat pozitiv). Suma: \(-16 + 16 = 0\).
Ex. 4Soluția ecuației \(5x - 3 = 2x + 12\), unde x este număr real, este:
1. A)x = 3
2. B)x = 5
3. C)x = 9
4. D)x = 15
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Trec termenii cu x într-un membru și cei liberi în celălalt: \(5x - 2x = 12 + 3 \Rightarrow 3x = 15 \Rightarrow x = 5\).
Ex. 5Într-o pungă sunt 4 bile roșii, 3 bile albastre și 3 bile verzi. Se extrage o bilă la întâmplare. Probabilitatea ca bila extrasă să fie roșie sau verde este:
1. A)\(\dfrac{3}{10}\)
2. B)\(\dfrac{4}{10}\)
3. C)\(\dfrac{7}{10}\)
4. D)\(\dfrac{1}{3}\)
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Total bile: \(4 + 3 + 3 = 10\). Cazuri favorabile (roșie sau verde): \(4 + 3 = 7\). \(P = \dfrac{7}{10}\).
Ex. 6Numerele naturale a și b sunt invers proporționale cu 2 și 3, iar suma lor este 25. Diferența \(a - b\) este:
1. A)1
2. B)5
3. C)6
4. D)10
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Două numere sunt invers proporționale cu 2 și 3 dacă \(a \cdot 2 = b \cdot 3 = k\), deci \(a = \dfrac{k}{2}\) și \(b = \dfrac{k}{3}\). Din suma \(a + b = \dfrac{k}{2} + \dfrac{k}{3} = \dfrac{5k}{6} = 25\) obțin \(k = 30\). Atunci \(a = 15\), \(b = 10\), iar \(a - b = 5\).

Subiectul al II-lea — 6 exerciții grilă (geometrie)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare răspuns corect = 5 puncte. Timp orientativ: 30 de minute.

Ex. 1În triunghiul ABC dreptunghic în A, m(∢C) = 30°, iar cateta AB (opusă unghiului de 30°) are lungimea de 4 cm. Lungimea ipotenuzei BC este:
1. A)2 cm
2. B)\(4\sqrt{3}\) cm
3. C)8 cm
4. D)12 cm
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Într-un triunghi dreptunghic, cateta opusă unghiului de 30° este jumătatea ipotenuzei: \(AB = \dfrac{BC}{2} \Rightarrow BC = 2 \cdot AB = 2 \cdot 4 = 8\) cm.
Ex. 2Aria unui romb cu latura de 5 cm și o diagonală de 8 cm este:
1. A)12 cm²
2. B)20 cm²
3. C)24 cm²
4. D)40 cm²
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Diagonalele rombului se înjumătățesc reciproc și sunt perpendiculare. În triunghiul dreptunghic format de jumătățile lor și latură: \(l^2 = \left(\dfrac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{d_2}{2}\right)^2\). Atunci \(25 = 16 + \left(\dfrac{d_2}{2}\right)^2 \Rightarrow \dfrac{d_2}{2} = 3 \Rightarrow d_2 = 6\) cm. Aria: \(\dfrac{d_1 \cdot d_2}{2} = \dfrac{8 \cdot 6}{2} = 24\) cm².
Ex. 3Aria unui hexagon regulat cu latura de 4 cm este:
1. A)\(4\sqrt{3}\) cm²
2. B)\(16\sqrt{3}\) cm²
3. C)\(24\sqrt{3}\) cm²
4. D)\(96\sqrt{3}\) cm²
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Hexagonul regulat se descompune în 6 triunghiuri echilaterale congruente cu latura egală cu latura hexagonului. Aria unuia: \(\dfrac{l^2 \sqrt{3}}{4} = \dfrac{16 \sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}\) cm². Aria hexagonului: \(6 \cdot 4\sqrt{3} = 24\sqrt{3}\) cm².
Ex. 4O piramidă triunghiulară regulată are latura bazei de 4 cm și apotema piramidei (înălțimea unei fețe laterale, dusă din vârf) de 6 cm. Aria laterală a piramidei este:
1. A)12 cm²
2. B)24 cm²
3. C)36 cm²
4. D)72 cm²
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Aria laterală a piramidei regulate = \(\dfrac{P_\text{baza} \cdot ap}{2}\). Cu baza triunghi echilateral cu latura 4: \(P_\text{baza} = 12\) cm. \(A_\text{lat} = \dfrac{12 \cdot 6}{2} = 36\) cm².
Ex. 5Aria laterală a unui cilindru circular drept cu raza bazei de 5 cm și înălțimea de 4 cm este:
1. A)\(20\pi\) cm²
2. B)\(40\pi\) cm²
3. C)\(50\pi\) cm²
4. D)\(100\pi\) cm²
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Desfășurat, suprafața laterală a cilindrului este un dreptunghi cu dimensiunile: lungimea cercului bazei (\(2\pi R\)) și înălțimea cilindrului (\(h\)). Aria laterală: \(A_\text{lat} = 2 \pi R h = 2 \pi \cdot 5 \cdot 4 = 40 \pi\) cm².
Ex. 6Două cercuri concentrice au razele 3 cm și respectiv 5 cm. Aria coroanei circulare (regiunea cuprinsă între cele două cercuri) este:
1. A)\(2\pi\) cm²
2. B)\(8\pi\) cm²
3. C)\(16\pi\) cm²
4. D)\(34\pi\) cm²
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Aria coroanei circulare = aria cercului mare − aria cercului mic = \(\pi R^2 - \pi r^2 = \pi (R^2 - r^2) = \pi (25 - 9) = 16\pi\) cm².

Subiectul al III-lea — 6 probleme cu rezolvare a/b

Scrie rezolvările complete. Fiecare subpunct (a) valorează 2 puncte, fiecare (b) valorează 3 puncte. Timp orientativ: 60 de minute.

Ex. 1Se consideră expresia \(E(x) = x^2 - 6x + 9\), unde x este număr real.
1. a) Arată că \(E(x) = (x - 3)^2\), pentru orice număr real x.
  Vezi pașii din barem
  1. Folosesc identitatea (a − b)² = a² − 2ab + b² cu a = x, b = 3: (x − 3)² = x² − 2·x·3 + 9 = x² − 6x + 9. (1 pct)
  2. Deci E(x) = (x − 3)². ✓ (1 pct)
2. b) Calculează \(E(8)\) folosind forma factorizată și apoi prin calcul direct, verificând că rezultatele coincid.
  Vezi pașii din barem
  1. Forma factorizată: E(8) = (8 − 3)² = 5² = 25. (1 pct)
  2. Calcul direct: 8² − 6·8 + 9 = 64 − 48 + 9 = 25. (1 pct)
  3. Ambele dau 25 ⇒ confirmă identitatea. ✓ (1 pct)
Ex. 2Se consideră funcția \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = 2x - 5\).
1. a) Determină coordonatele punctului în care graficul funcției f intersectează axa Ox.
  Vezi pașii din barem
  1. Punctul de intersecție cu Ox are y = 0, deci f(x) = 0: 2x − 5 = 0 ⇒ 2x = 5. (1 pct)
  2. x = 5/2. Coordonatele: A(5/2, 0). (1 pct)
2. b) Calculează valoarea sumei \(f(-1) + f(0) + f(1)\).
  Vezi pașii din barem
  1. f(−1) = 2·(−1) − 5 = −7. (1 pct)
  2. f(0) = −5; f(1) = 2 − 5 = −3. (1 pct)
  3. f(−1) + f(0) + f(1) = −7 + (−5) + (−3) = −15. (1 pct)
Ex. 3Se consideră inecuația \(2x - 3 < 5\), unde x este număr natural.
1. a) Determină mulțimea numerelor naturale x care satisfac inecuația.
  Vezi pașii din barem
  1. Rezolv: 2x − 3 < 5 ⇒ 2x < 8 ⇒ x < 4. (1 pct)
  2. Numerele naturale x cu x < 4 formează mulțimea {0, 1, 2, 3}. (1 pct)
2. b) Calculează suma elementelor mulțimii de la subpunctul a) și verifică dacă suma este un număr par.
  Vezi pașii din barem
  1. Suma: 0 + 1 + 2 + 3 = 6. (1 pct)
  2. 6 este număr par (divizibil cu 2). (1 pct)
  3. Răspuns: suma este 6, care este par. ✓ (1 pct)
Ex. 4În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel ABC cu AB = AC = 17 cm și BC = 16 cm. AD este înălțimea din vârful A pe baza BC.
1. a) Arată că lungimea înălțimii AD este de 15 cm.
  Vezi pașii din barem
  1. Într-un triunghi isoscel, înălțimea din vârful opus bazei este și mediană ⇒ D este mijlocul lui BC, deci BD = DC = 8 cm. (1 pct)
  2. În △ABD dreptunghic în D, Pitagora: AD² = AB² − BD² = 289 − 64 = 225 ⇒ AD = 15 cm. ✓ (1 pct)
2. b) Calculează aria triunghiului ABC și perimetrul lui.
  Vezi pașii din barem
  1. Aria: A = BC·AD/2 = 16·15/2 = 240/2 = 120 cm². (1 pct)
  2. Perimetrul: P = AB + AC + BC = 17 + 17 + 16 = 50 cm. (1 pct)
  3. Răspuns final: A = 120 cm², P = 50 cm. (1 pct)
Ex. 5În figura alăturată este reprezentat un cilindru circular drept cu raza bazei R = 5 cm și înălțimea h = 8 cm.
1. a) Calculează aria laterală a cilindrului.
  Vezi pașii din barem
  1. Formula ariei laterale: A_lat = 2πRh. (1 pct)
  2. A_lat = 2π·5·8 = 80π cm². (1 pct)
2. b) Calculează volumul cilindrului.
  Vezi pașii din barem
  1. Formula volumului: V = πR²h. (1 pct)
  2. V = π·25·8 = 200π. (1 pct)
  3. V = 200π cm³. (1 pct)
Ex. 6Se consideră un cub cu latura de 4 cm și o sferă circumscrisă acestui cub (cele 8 vârfuri ale cubului aparțin sferei).
1. a) Arată că raza sferei circumscrise este \(R = 2\sqrt{3}\) cm.
  Vezi pașii din barem
  1. Diagonala spațială a cubului trece prin centrul sferei și are extremitățile pe sferă ⇒ diagonala cubului = diametrul sferei. (1 pct)
  2. d_cub = l√3 = 4√3 cm ⇒ 2R = 4√3 ⇒ R = 2√3 cm. ✓ (1 pct)
2. b) Calculează aria sferei circumscrise.
  Vezi pașii din barem
  1. Formula ariei sferei: S = 4πR². (1 pct)
  2. R² = (2√3)² = 4·3 = 12. (1 pct)
  3. S = 4π·12 = 48π cm². (1 pct)

Ai citit baremul. Acum dă-l propriu-zis.

Rezolvă acest subiect cronometrat în cont. La final, AI-ul îți spune câte puncte ai luat pe fiecare item, pe baremul oficial, plus o explicație pas-cu-pas pentru fiecare greșeală.

Începe simularea cronometrată →

5 credite bonus la înregistrare. Fără card.