Matematică — clasa VIII · 2026 · variantă de antrenament Era Lumis · nr. 2

Matematică · Variantă de antrenament Era Lumis nr. 2 (EN VIII, original)

A doua variantă originală de antrenament pentru EN VIII matematică, redactată de echipa Era Lumis. 18 itemi cu temele: divizibilitate, procente, fracții, radicali, sisteme, inecuații, hexagon, romb, trapez, prismă, piramidă regulată. Bareme detaliate, distractor-uri explicate.

Durată: 120 min
Exerciții: 18
Materie: Matematică
Sursă: Variantă originală Era Lumis

Rezolvă cronometrat cu AI →

Rezolvă în 2 ore, în condiții de examen. AI-ul îți corectează pe baremul oficial și îți explică, exercițiu cu exercițiu, unde te-ai încurcat — cu pași numerotați, ca un profesor de meditații.

Subiectul I — 6 exerciții grilă (algebră)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare răspuns corect = 5 puncte. Timp orientativ: 30 de minute.

Ex. 1Cel mai mare divizor comun al numerelor 12 și 18 este:
1. A)2
2. B)3
3. C)6
4. D)36
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Descompunere în factori primi: 12 = 2²·3, 18 = 2·3². CMMDC = produsul factorilor primi comuni la puterea minimă = 2·3 = 6.
Ex. 2Numărul 30 reprezintă 20% dintr-un număr. Acel număr este egal cu:
1. A)6
2. B)50
3. C)100
4. D)150
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: D
Rezolvare: Notează numărul cu x. Din 20%·x = 30 ⇒ x = 30 : 0,2 = 30 · 5 = 150.
Ex. 3Rezultatul calculului \(\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{2}\) este:
1. A)\(\dfrac{1}{4}\)
2. B)\(\dfrac{1}{2}\)
3. C)\(\dfrac{2}{2}\)
4. D)\(\dfrac{3}{8}\)
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: A
Rezolvare: Numitor comun = 4. \(\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4}\) ⇒ \(\dfrac{3}{4} - \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{4}\).
Ex. 4Rezultatul calculului \((\sqrt{3} + 1)^2\) este egal cu:
1. A)4
2. B)\(4 + \sqrt{3}\)
3. C)\(4 + 2\sqrt{3}\)
4. D)\(2 + 2\sqrt{3}\)
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: \((\sqrt{3} + 1)^2 = (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3}\).
Ex. 5Soluția sistemului \(\begin{cases} x + y = 10 \\ x - y = 4 \end{cases}\) are valoarea lui x egală cu:
1. A)x = 3
2. B)x = 5
3. C)x = 7
4. D)x = 10
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Adunăm cele două ecuații: \(2x = 14 \Rightarrow x = 7\). Din prima: \(y = 10 - 7 = 3\).
Ex. 6Cel mai mic număr natural x care verifică inegalitatea \(3x + 1 \geq 7\) este:
1. A)x = 1
2. B)x = 2
3. C)x = 3
4. D)x = 6
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: \(3x + 1 \geq 7 \Rightarrow 3x \geq 6 \Rightarrow x \geq 2\). Cel mai mic natural cu această proprietate este 2.

Subiectul al II-lea — 6 exerciții grilă (geometrie)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare răspuns corect = 5 puncte. Timp orientativ: 30 de minute.

Ex. 1În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral ABC cu latura de 6 cm și înălțimea AD din vârful A. Lungimea înălțimii AD este egală cu:
1. A)3 cm
2. B)\(3\sqrt{2}\) cm
3. C)\(3\sqrt{3}\) cm
4. D)\(6\sqrt{3}\) cm
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: În triunghiul echilateral cu latura l, înălțimea are formula \(h = \dfrac{l\sqrt{3}}{2}\). Aplicat: \(h = \dfrac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\) cm.
Ex. 2În figura alăturată este reprezentat hexagonul regulat ABCDEF cu latura de 4 cm. Perimetrul hexagonului este egal cu:
1. A)16 cm
2. B)20 cm
3. C)24 cm
4. D)28 cm
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Hexagonul regulat are 6 laturi egale ⇒ P = 6·l = 6·4 = 24 cm.
Ex. 3În figura alăturată este reprezentat rombul ABCD cu diagonalele AC = 6 cm și BD = 8 cm. Aria rombului este egală cu:
1. A)14 cm²
2. B)24 cm²
3. C)28 cm²
4. D)48 cm²
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Formula ariei rombului folosind diagonalele: \(A = \dfrac{d_1 \cdot d_2}{2} = \dfrac{6 \cdot 8}{2} = 24\) cm².
Ex. 4În figura alăturată este reprezentat trapezul dreptunghic ABCD cu AB ∥ CD, AB ⊥ AD, AB = 9 cm, CD = 5 cm și AD = 4 cm. Aria trapezului este egală cu:
1. A)14 cm²
2. B)20 cm²
3. C)28 cm²
4. D)36 cm²
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Aria trapezului = \(\dfrac{(B + b) \cdot h}{2} = \dfrac{(9 + 5) \cdot 4}{2} = \dfrac{14 \cdot 4}{2} = 28\) cm².
Ex. 5În figura alăturată sunt reprezentate două unghiuri complementare ∢AOB și ∢BOC. Dacă m(∢AOB) = 35°, măsura unghiului ∢BOC este egală cu:
1. A)25°
2. B)35°
3. C)55°
4. D)145°
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Unghiurile complementare au suma = 90°. m(∢BOC) = 90° − 35° = 55°.
Ex. 6În figura alăturată este reprezentată o prismă patrulateră regulată ABCDA'B'C'D' cu latura bazei AB = 4 cm și înălțimea AA' = 6 cm. Volumul prismei este egal cu:
1. A)24 cm³
2. B)64 cm³
3. C)96 cm³
4. D)128 cm³
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Volumul prismei = aria bazei × înălțime. Baza este un pătrat cu latura 4 ⇒ A_bază = 16. V = 16·6 = 96 cm³.

Subiectul al III-lea — 6 probleme cu rezolvare a/b

Scrie rezolvările complete. Fiecare subpunct (a) valorează 2 puncte, fiecare (b) valorează 3 puncte. Timp orientativ: 60 de minute.

Ex. 1În prezent, tatăl are 32 de ani și fiul are 8 ani.
1. a) Arată că, în prezent, raportul dintre vârsta tatălui și a fiului este 4.
  Vezi pașii din barem
  1. Raportul = vârsta tatălui / vârsta fiului = 32 / 8. (1 pct)
  2. 32 / 8 = 4. Deci raportul este 4 (sau 4 : 1). (1 pct)
2. b) Determină peste câți ani vârsta tatălui va fi de 3 ori vârsta fiului.
  Vezi pașii din barem
  1. Fie n numărul de ani. Peste n ani: tată are 32 + n, fiul are 8 + n. (1 pct)
  2. Condiția: 32 + n = 3·(8 + n) ⇒ 32 + n = 24 + 3n ⇒ 8 = 2n ⇒ n = 4. (1 pct)
  3. Verificare: peste 4 ani tată va avea 36, fiul 12; 36 = 3·12. ✓ (1 pct)
Ex. 2Se consideră expresia \(E(x) = (x+5)^2 - (x+5)(x-3)\), unde x este număr real.
1. a) Arată că \(E(x) = 8(x + 5)\), pentru orice număr real x.
  Vezi pașii din barem
  1. Dau factor comun pe (x+5): \(E(x) = (x+5)[(x+5) - (x-3)]\). (1 pct)
  2. \(E(x) = (x+5)[x + 5 - x + 3] = (x+5) \cdot 8 = 8(x+5)\). (1 pct)
2. b) Determină valoarea lui x pentru care \(E(x) = 80\).
  Vezi pașii din barem
  1. Din a): \(8(x + 5) = 80 \Rightarrow x + 5 = 10\). (1 pct)
  2. \(x = 5\). (1 pct)
  3. Verificare: \(E(5) = (5+5)^2 - (5+5)(5-3) = 100 - 10 \cdot 2 = 100 - 20 = 80\). ✓ (1 pct)
Ex. 3Se consideră funcția \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = -x + 4\).
1. a) Arată că \(f(-2) + f(0) + f(2) = 12\).
  Vezi pașii din barem
  1. \(f(-2) = -(-2) + 4 = 6\), \(f(0) = 4\), \(f(2) = -2 + 4 = 2\). (1 pct)
  2. \(f(-2) + f(0) + f(2) = 6 + 4 + 2 = 12\). ✓ (1 pct)
2. b) Punctele \(A(1,\ y_A)\) și \(B(-3,\ y_B)\) aparțin reprezentării grafice a funcției f. Calculează lungimea segmentului AB.
  Vezi pașii din barem
  1. \(y_A = f(1) = -1 + 4 = 3 \Rightarrow A(1, 3)\). \(y_B = f(-3) = 3 + 4 = 7 \Rightarrow B(-3, 7)\). (1 pct)
  2. \(AB = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (3 - 7)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}\). (1 pct)
  3. \(AB = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\). (1 pct)
Ex. 4În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel ABC cu AB = AC = 5 cm și BC = 6 cm. Punctul H este piciorul înălțimii din vârful A pe latura BC.
1. a) Calculează lungimea înălțimii AH.
  Vezi pașii din barem
  1. În triunghi isoscel cu AB = AC, înălțimea din A coboară pe mijlocul bazei ⇒ BH = HC = BC/2 = 3 cm. (1 pct)
  2. △ABH dreptunghic în H ⇒ AH² = AB² − BH² = 25 − 9 = 16 ⇒ AH = 4 cm. (1 pct)
2. b) Calculează aria triunghiului ABC.
  Vezi pașii din barem
  1. Aria = bază · înălțime / 2 = BC · AH / 2. (1 pct)
  2. Aria = 6 · 4 / 2 = 12 cm². (1 pct)
  3. Verificare cu formula lui Heron: p = (5+5+6)/2 = 8; Aria = √(8·3·3·2) = √144 = 12 cm². ✓ (1 pct)
Ex. 5În figura alăturată este reprezentat trapezul dreptunghic ABCD cu AB ∥ CD, AB ⊥ AD, AB = 8 cm, CD = 5 cm și AD = 4 cm.
1. a) Calculează perimetrul trapezului ABCD.
  Vezi pașii din barem
  1. Coboară perpendiculara din C pe AB în M ⇒ AMCD este dreptunghi ⇒ AM = CD = 5, CM = AD = 4. MB = AB − AM = 8 − 5 = 3. (1 pct)
  2. △BCM dreptunghic în M: BC² = MB² + CM² = 9 + 16 = 25 ⇒ BC = 5 cm. (1 pct)
  3. P = AB + BC + CD + DA = 8 + 5 + 5 + 4 = 22 cm. (1 pct)
2. b) Calculează aria trapezului ABCD.
  Vezi pașii din barem
  1. Formula ariei trapezului: A = (B + b)·h/2, unde h = AD = 4. (1 pct)
  2. A = (8 + 5)·4/2 = 13·4/2 = 26 cm². (1 pct)
Ex. 6În figura alăturată este reprezentată piramida patrulateră regulată VABCD cu latura bazei AB = 4 cm și muchia laterală VA = 5 cm.
1. a) Calculează lungimea apotemei piramidei (înălțimea unei fețe laterale).
  Vezi pașii din barem
  1. Fețele laterale sunt triunghiuri isoscele cu VA = VB = 5 și AB = 4. Apotema VM coboară din V pe mijlocul M al laturii AB ⇒ AM = AB/2 = 2. (1 pct)
  2. △VAM dreptunghic în M: VM² = VA² − AM² = 25 − 4 = 21 ⇒ VM = √21 cm. (1 pct)
2. b) Calculează aria laterală a piramidei VABCD.
  Vezi pașii din barem
  1. Aria laterală = perimetrul bazei × apotema / 2 = P_bază · a_p / 2. (1 pct)
  2. P_bază = 4·4 = 16 cm. Aria lat. = 16 · √21 / 2 = 8√21 cm². (1 pct)
  3. Aproximativ: √21 ≈ 4,58 ⇒ Aria lat. ≈ 36,66 cm². (1 pct)

Ai citit baremul. Acum dă-l propriu-zis.

Rezolvă acest subiect cronometrat în cont. La final, AI-ul îți spune câte puncte ai luat pe fiecare item, pe baremul oficial, plus o explicație pas-cu-pas pentru fiecare greșeală.

Începe simularea cronometrată →

5 credite bonus la înregistrare. Fără card.