Matematică — clasa VIII · 2026 · variantă de antrenament Era Lumis · nr. 3

Matematică · Variantă de antrenament Era Lumis nr. 3 (EN VIII, original)

A treia variantă originală de antrenament pentru EN VIII matematică, Era Lumis. Pune accent pe fracții periodice, formule reduse, unghiuri opuse la vârf, cerc înscris în pătrat, paralelipiped, romb, mediana în triunghi dreptunghic și piramida triunghiulară regulată. Bareme complete.

Durată: 120 min
Exerciții: 18
Materie: Matematică
Sursă: Variantă originală Era Lumis

Rezolvă cronometrat cu AI →

Rezolvă în 2 ore, în condiții de examen. AI-ul îți corectează pe baremul oficial și îți explică, exercițiu cu exercițiu, unde te-ai încurcat — cu pași numerotați, ca un profesor de meditații.

Subiectul I — 6 exerciții grilă (algebră)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare răspuns corect = 5 puncte. Timp orientativ: 30 de minute.

Ex. 1Cel mai mic multiplu comun al numerelor 4 și 6 este:
1. A)2
2. B)10
3. C)12
4. D)24
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: CMMMC se obține luând fiecare factor prim la puterea maximă: 4 = 2², 6 = 2·3 ⇒ CMMMC = 2²·3 = 12.
Ex. 2Numărul \(0{,}(3)\) scris sub formă de fracție este egal cu:
1. A)\(\dfrac{3}{10}\)
2. B)\(\dfrac{1}{3}\)
3. C)\(\dfrac{1}{30}\)
4. D)\(\dfrac{33}{100}\)
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Pentru o fracție periodică simplă: 0,(a) = a/9. Așadar 0,(3) = 3/9 = 1/3.
Ex. 3Rezultatul calculului \(25\%\) din 240 este egal cu:
1. A)24
2. B)50
3. C)60
4. D)96
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: 25% = 1/4 ⇒ 25% din 240 = 240 : 4 = 60.
Ex. 4Rezultatul calculului \(4\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3}\) este egal cu:
1. A)\(6\sqrt{3}\)
2. B)12
3. C)24
4. D)\(8\sqrt{6}\)
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: \(4\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = (4 \cdot 2) \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) = 8 \cdot 3 = 24\).
Ex. 5Rezultatul calculului \((x - 2)(x + 2) - x^2\) este egal cu:
1. A)0
2. B)−4
3. C)4
4. D)−2x
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Folosesc formula \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\): \((x-2)(x+2) = x^2 - 4\). Atunci \((x^2 - 4) - x^2 = -4\).
Ex. 6Într-un șir de 12 valori, o anumită valoare apare de 3 ori. Frecvența relativă a acestei valori, exprimată în procente, este egală cu:
1. A)15%
2. B)25%
3. C)30%
4. D)33%
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Frecvența relativă = numărul de apariții / numărul total = 3/12 = 1/4 = 0,25 = 25%.

Subiectul al II-lea — 6 exerciții grilă (geometrie)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare răspuns corect = 5 puncte. Timp orientativ: 30 de minute.

Ex. 1În figura alăturată sunt reprezentate două drepte concurente în O, formând patru unghiuri. Unul dintre unghiuri are măsura de 35°. Măsura unghiului opus la vârf cu acesta este egală cu:
1. A)35°
2. B)55°
3. C)90°
4. D)145°
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: A
Rezolvare: Teorema unghiurilor opuse la vârf: două unghiuri opuse la vârf au aceeași măsură ⇒ unghiul opus măsoară tot 35°.
Ex. 2În figura alăturată este reprezentat triunghiul cu vârfurile A(0, 0), B(4, 0) și C(0, 3) într-un sistem de axe ortogonale xOy. Aria triunghiului ABC este egală cu:
1. A)3,5
2. B)6
3. C)7
4. D)12
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Punctele A(0,0), B(4,0), C(0,3) formează un triunghi dreptunghic în A cu catetele AB = 4 și AC = 3. Aria = \(\dfrac{AB \cdot AC}{2} = \dfrac{4 \cdot 3}{2} = 6\).
Ex. 3În figura alăturată este reprezentat cercul înscris în pătratul ABCD cu latura de 6 cm. Aria discului mărginit de cerc este egală cu:
1. A)\(3\pi\) cm²
2. B)\(6\pi\) cm²
3. C)\(9\pi\) cm²
4. D)\(36\pi\) cm²
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Cercul înscris în pătrat are diametrul egal cu latura pătratului ⇒ R = 6/2 = 3 cm. Aria discului = πR² = π·3² = 9π cm².
Ex. 4În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D' cu AB = 4 cm, BC = 3 cm și AA' = 5 cm. Aria laterală a paralelipipedului este egală cu:
1. A)47 cm²
2. B)60 cm²
3. C)70 cm²
4. D)94 cm²
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Aria laterală a unui paralelipiped dreptunghic = perimetrul bazei × înălțime = 2(AB + BC)·AA′ = 2(4+3)·5 = 14·5 = 70 cm².
Ex. 5În figura alăturată este reprezentat patrulaterul ABCD cu m(∢A) = 80°, m(∢B) = 95° și m(∢C) = 110°. Măsura unghiului ∢D este egală cu:
1. A)75°
2. B)80°
3. C)85°
4. D)90°
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: A
Rezolvare: Suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex este 360°. m(∢D) = 360° − (80° + 95° + 110°) = 360° − 285° = 75°.
Ex. 6În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDA'B'C'D' cu lungimea diagonalei AC' egală cu \(5\sqrt{3}\) cm. Aria totală a cubului este egală cu:
1. A)25 cm²
2. B)125 cm²
3. C)150 cm²
4. D)180 cm²
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Diagonala cubului: \(AC' = a\sqrt{3}\). Cu \(a\sqrt{3} = 5\sqrt{3}\) ⇒ a = 5 cm. Aria totală a cubului = 6·a² = 6·25 = 150 cm².

Subiectul al III-lea — 6 probleme cu rezolvare a/b

Scrie rezolvările complete. Fiecare subpunct (a) valorează 2 puncte, fiecare (b) valorează 3 puncte. Timp orientativ: 60 de minute.

Ex. 1Un turist a parcurs un traseu în trei zile. În prima zi a parcurs 15 km, în a treia zi 30 km.
1. a) În a doua zi, turistul a parcurs cu 20% mai mult decât în prima zi. Calculează distanța parcursă în a doua zi.
  Vezi pașii din barem
  1. 20% din 15 = 0,2·15 = 3 km (sporul față de prima zi). (1 pct)
  2. Distanța în a doua zi = 15 + 3 = 18 km. (1 pct)
2. b) Calculează media aritmetică a distanțelor parcurse în cele trei zile.
  Vezi pașii din barem
  1. Distanțele: 15, 18, 30. Suma = 15 + 18 + 30 = 63 km. (1 pct)
  2. Media = suma/numărul de zile = 63/3. (1 pct)
  3. Media = 21 km/zi. (1 pct)
Ex. 2Se consideră expresia \(E(x) = (2x - 1)(2x + 1) - 4x(x - 3)\), unde x este număr real.
1. a) Arată că \(E(x) = 12x - 1\), pentru orice număr real x.
  Vezi pașii din barem
  1. Folosesc formula \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\): \((2x-1)(2x+1) = 4x^2 - 1\). Distribut: \(4x(x-3) = 4x^2 - 12x\). (1 pct)
  2. \(E(x) = (4x^2 - 1) - (4x^2 - 12x) = 4x^2 - 1 - 4x^2 + 12x = 12x - 1\). (1 pct)
2. b) Determină valoarea lui x pentru care \(E(x) = 11\).
  Vezi pașii din barem
  1. Din a): \(12x - 1 = 11 \Rightarrow 12x = 12\). (1 pct)
  2. \(x = 1\). (1 pct)
  3. Verificare: \(E(1) = (2-1)(2+1) - 4·1·(1-3) = 1·3 - 4·(-2) = 3 + 8 = 11\). ✓ (1 pct)
Ex. 3Se consideră funcția \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = \dfrac{x}{2} + 3\).
1. a) Arată că \(f(-2) + f(0) + f(4) = 10\).
  Vezi pașii din barem
  1. \(f(-2) = -1 + 3 = 2\), \(f(0) = 0 + 3 = 3\), \(f(4) = 2 + 3 = 5\). (1 pct)
  2. \(f(-2) + f(0) + f(4) = 2 + 3 + 5 = 10\). ✓ (1 pct)
2. b) Punctele \(A(-4,\ y_A)\) și \(B(4,\ y_B)\) aparțin reprezentării grafice a funcției f. Calculează lungimea segmentului AB.
  Vezi pașii din barem
  1. \(y_A = f(-4) = -2 + 3 = 1 \Rightarrow A(-4, 1)\). \(y_B = f(4) = 2 + 3 = 5 \Rightarrow B(4, 5)\). (1 pct)
  2. \(AB = \sqrt{(-4 - 4)^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80}\). (1 pct)
  3. \(AB = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}\). (1 pct)
Ex. 4În figura alăturată este reprezentat rombul ABCD cu diagonalele AC = 12 cm și BD = 16 cm.
1. a) Calculează lungimea laturii rombului ABCD.
  Vezi pașii din barem
  1. Diagonalele rombului se înjumătățesc reciproc și sunt perpendiculare ⇒ în triunghiul dreptunghic format de jumătățile diagonalelor: catete = 12/2 = 6 și 16/2 = 8. (1 pct)
  2. Latura = ipotenuza = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 cm. (1 pct)
2. b) Calculează aria rombului ABCD.
  Vezi pașii din barem
  1. Formula ariei rombului: A = (d₁ · d₂)/2. (1 pct)
  2. A = (12 · 16)/2 = 192/2 = 96 cm². (1 pct)
  3. Verificare: P = 4·10 = 40 cm; alternativ A = latură · înălțime, unde h = 96/10 = 9,6 cm. (1 pct)
Ex. 5În figura alăturată este reprezentat triunghiul dreptunghic ABC cu m(∢BAC) = 90°, AB = 5 cm și AC = 12 cm. Punctul M este mijlocul ipotenuzei BC.
1. a) Arată că lungimea medianei AM este egală cu 6,5 cm.
  Vezi pașii din barem
  1. Calculez ipotenuza cu Pitagora: BC = √(AB² + AC²) = √(25 + 144) = √169 = 13 cm. (1 pct)
  2. Proprietate: într-un triunghi dreptunghic, mediana din vârful unghiului drept = jumătatea ipotenuzei ⇒ AM = BC/2 = 13/2 = 6,5 cm. (1 pct)
2. b) Calculează aria triunghiului ABM.
  Vezi pașii din barem
  1. Aria △ABC = AB·AC/2 = 5·12/2 = 30 cm². (1 pct)
  2. Mediana AM împarte △ABC în două triunghiuri (ABM și ACM) de arii egale (au aceeași înălțime din A pe BC, iar bazele BM = MC sunt egale). (1 pct)
  3. Aria △ABM = Aria △ABC / 2 = 30/2 = 15 cm². (1 pct)
Ex. 6În figura alăturată este reprezentată piramida triunghiulară regulată VABC cu latura bazei AB = 6 cm și muchia laterală VA = 5 cm. Punctul O este centrul bazei.
1. a) Calculează aria bazei piramidei VABC.
  Vezi pașii din barem
  1. Baza este triunghi echilateral cu latura l = 6. (1 pct)
  2. Aria triunghiului echilateral: A_bază = l²·√3/4 = 36·√3/4 = 9√3 cm². (1 pct)
2. b) Calculează lungimea înălțimii VO a piramidei.
  Vezi pașii din barem
  1. Distanța de la un vârf la centrul triunghiului echilateral cu latura 6: AO = 2/3 · h_bază = 2/3 · 6√3/2 = 2√3 cm. Verificare: AO² = (2√3)² = 12. (1 pct)
  2. △VOA dreptunghic în O (VO ⊥ planul bazei): VO² = VA² − AO² = 25 − 12 = 13. (1 pct)
  3. VO = √13 cm. (1 pct)

Ai citit baremul. Acum dă-l propriu-zis.

Rezolvă acest subiect cronometrat în cont. La final, AI-ul îți spune câte puncte ai luat pe fiecare item, pe baremul oficial, plus o explicație pas-cu-pas pentru fiecare greșeală.

Începe simularea cronometrată →

5 credite bonus la înregistrare. Fără card.