Matematică — clasa VIII · 2026 · variantă de antrenament Era Lumis · nr. 4

Matematică · Variantă de antrenament Era Lumis nr. 4 (EN VIII, original)

A patra variantă originală de antrenament pentru EN VIII matematică, Era Lumis. Include: mulțimi numerice, ordinea operațiilor, fracții zecimale, radicali, triunghi 30-60-90, cerc, linie mijlocie, hexagon regulat, tetraedru regulat, cub (distanță punct-plan). Bareme detaliate.

Durată: 120 min
Exerciții: 18
Materie: Matematică
Sursă: Variantă originală Era Lumis

Rezolvă cronometrat cu AI →

Rezolvă în 2 ore, în condiții de examen. AI-ul îți corectează pe baremul oficial și îți explică, exercițiu cu exercițiu, unde te-ai încurcat — cu pași numerotați, ca un profesor de meditații.

Subiectul I — 6 exerciții grilă (algebră)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare răspuns corect = 5 puncte. Timp orientativ: 30 de minute.

Ex. 1Numărul de elemente al mulțimii \(A = \{x \in \mathbb{N} \mid 7 \leq x \leq 12\}\) este egal cu:
1. A)4
2. B)5
3. C)6
4. D)7
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Inegalitățile nestricte includ ambele capete. Numărul de elemente = 12 − 7 + 1 = 6 (elemente: 7, 8, 9, 10, 11, 12).
Ex. 2Rezultatul calculului \(-3 + 5 \cdot 2 - 4\) este egal cu:
1. A)−1
2. B)3
3. C)7
4. D)11
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Aplicăm ordinea operațiilor (înmulțirea înaintea adunării/scăderii): \(-3 + 5 \cdot 2 - 4 = -3 + 10 - 4 = 3\).
Ex. 3Fracția egală cu numărul 0,4 este:
1. A)\(\dfrac{2}{5}\)
2. B)\(\dfrac{4}{100}\)
3. C)\(\dfrac{1}{4}\)
4. D)\(\dfrac{2}{4}\)
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: A
Rezolvare: 0,4 = 4/10 = 2/5 (după simplificare cu 2). Verificare: 2/5 = 0,4. ✓
Ex. 4Rezultatul calculului \(\sqrt{72}\) este egal cu:
1. A)\(6\sqrt{2}\)
2. B)\(8\sqrt{9}\)
3. C)9
4. D)\(2\sqrt{18}\)
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: A
Rezolvare: \(72 = 36 \cdot 2 \Rightarrow \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\). Acesta este radicalul scos cel mai simplu.
Ex. 5Soluția ecuației \(\dfrac{x - 3}{2} = 4\) este:
1. A)x = 5
2. B)x = 7
3. C)x = 11
4. D)x = 14
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Înmulțim cu 2: \(x - 3 = 8 \Rightarrow x = 11\).
Ex. 6Rezultatul calculului \(2^3 + 3^2\) este egal cu:
1. A)11
2. B)17
3. C)25
4. D)35
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: \(2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8\), \(3^2 = 3 \cdot 3 = 9\). Suma: 8 + 9 = 17.

Subiectul al II-lea — 6 exerciții grilă (geometrie)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare răspuns corect = 5 puncte. Timp orientativ: 30 de minute.

Ex. 1În figura alăturată sunt reprezentate două unghiuri adiacente ∢AOB și ∢BOC cu măsurile 50° și respectiv 130°. Cele două unghiuri sunt:
1. A)complementare
2. B)suplementare
3. C)congruente
4. D)opuse la vârf
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Două unghiuri sunt suplementare dacă suma măsurilor lor este 180°. Aici 50° + 130° = 180°, deci unghiurile sunt suplementare. Cum sunt și adiacente, OA și OC sunt semidrepte opuse (A, O, C coliniare).
Ex. 2În triunghiul dreptunghic ABC cu m(∢A) = 90°, m(∢B) = 30° și ipotenuza BC = 8 cm, lungimea catetei AC, opusă unghiului de 30°, este egală cu:
1. A)2 cm
2. B)4 cm
3. C)\(4\sqrt{3}\) cm
4. D)8 cm
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Teoremă: într-un triunghi dreptunghic cu un unghi de 30°, cateta opusă acestui unghi este jumătate din ipotenuză. AC = BC/2 = 8/2 = 4 cm.
Ex. 3În figura alăturată este reprezentat un cerc cu diametrul de 6 cm. Aria discului mărginit de cerc este egală cu:
1. A)\(6\pi\) cm²
2. B)\(9\pi\) cm²
3. C)\(18\pi\) cm²
4. D)\(36\pi\) cm²
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Raza R = diametrul/2 = 6/2 = 3 cm. Aria discului = πR² = π·9 = 9π cm².
Ex. 4În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC. Punctele M și N sunt mijloacele laturilor AB și AC. Linia mijlocie MN este paralelă cu BC. Dacă BC = 10 cm, lungimea liniei mijlocii MN este egală cu:
1. A)2,5 cm
2. B)5 cm
3. C)10 cm
4. D)20 cm
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Teorema liniei mijlocii: într-un triunghi, segmentul ce unește mijloacele a două laturi este paralel cu a treia latură și are jumătate din lungimea acesteia. MN = BC/2 = 5 cm.
Ex. 5În triunghiul dreptunghic ABC cu m(∢A) = 90°, AB = 9 cm și AC = 12 cm, lungimea ipotenuzei BC este egală cu:
1. A)13 cm
2. B)15 cm
3. C)16 cm
4. D)20 cm
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Pitagora în △ABC dreptunghic în A: BC² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225 ⇒ BC = 15 cm. (Triunghi 9-12-15 = 3·(3-4-5).)
Ex. 6În figura alăturată este reprezentat tetraedrul regulat VABC cu muchia de 4 cm. Aria totală a tetraedrului este egală cu:
1. A)\(4\sqrt{3}\) cm²
2. B)\(8\sqrt{3}\) cm²
3. C)\(16\sqrt{3}\) cm²
4. D)64 cm²
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Tetraedrul regulat are 4 fețe, fiecare triunghi echilateral cu latura 4. Aria unei fețe = \(\dfrac{l^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}\) cm². Aria totală = 4·4√3 = 16√3 cm².

Subiectul al III-lea — 6 probleme cu rezolvare a/b

Scrie rezolvările complete. Fiecare subpunct (a) valorează 2 puncte, fiecare (b) valorează 3 puncte. Timp orientativ: 60 de minute.

Ex. 1La un eveniment școlar participă 64 de elevi. Raportul dintre numărul de fete și numărul de băieți este 3 : 5.
1. a) Calculează numărul de băieți care participă la eveniment.
  Vezi pașii din barem
  1. Total părți în raport = 3 + 5 = 8. O parte = 64/8 = 8 elevi. (1 pct)
  2. Numărul de băieți = 5·8 = 40. (1 pct)
2. b) Calculează numărul de fete și verifică totalul.
  Vezi pașii din barem
  1. Numărul de fete = 3·8 = 24. (1 pct)
  2. Verificare: 24 + 40 = 64 (totalul dat). ✓ (1 pct)
  3. Verificare raport: 24/40 = 3/5. ✓ (1 pct)
Ex. 2Se consideră expresia \(E(x) = (x + 1)^2 - (x - 1)^2\), unde x este număr real.
1. a) Arată că \(E(x) = 4x\), pentru orice număr real x.
  Vezi pașii din barem
  1. Folosesc formula \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) cu a = x+1, b = x−1: \(E(x) = [(x+1) - (x-1)] \cdot [(x+1) + (x-1)] = 2 \cdot 2x = 4x\). (1 pct)
  2. Alternativ desfacem: \((x+1)^2 = x^2 + 2x + 1\); \((x-1)^2 = x^2 - 2x + 1\). Diferența: \(E(x) = 4x\). (1 pct)
2. b) Determină valoarea lui x ∈ ℤ pentru care \(E(x) = 20\).
  Vezi pașii din barem
  1. Din a): \(4x = 20\). (1 pct)
  2. \(x = 5\). (1 pct)
  3. Verificare: \(E(5) = 6^2 - 4^2 = 36 - 16 = 20\). ✓ (1 pct)
Ex. 3Se consideră funcția \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = 3x - 6\), reprezentată grafic într-un sistem de axe ortogonale xOy.
1. a) Determină coordonatele punctelor de intersecție ale graficului funcției f cu axele de coordonate.
  Vezi pașii din barem
  1. Intersecție cu Ox: f(x) = 0 ⇒ 3x − 6 = 0 ⇒ x = 2. Punctul A(2, 0). (1 pct)
  2. Intersecție cu Oy: x = 0 ⇒ f(0) = −6. Punctul B(0, −6). (1 pct)
2. b) Calculează aria triunghiului determinat de graficul funcției f și axele de coordonate.
  Vezi pașii din barem
  1. Triunghiul are vârfurile O(0,0), A(2, 0), B(0, −6). Este dreptunghic în O. (1 pct)
  2. Catetele OA = 2 și OB = 6 (lungimi pozitive). (1 pct)
  3. Aria = OA · OB / 2 = 2 · 6 / 2 = 6 unități². (1 pct)
Ex. 4În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC dreptunghic în A, cu m(∢ABC) = 60° și AB = 3 cm.
1. a) Calculează măsura unghiului ∢ACB.
  Vezi pașii din barem
  1. Suma unghiurilor în triunghi = 180°. m(∢A) + m(∢B) + m(∢C) = 180°. (1 pct)
  2. m(∢ACB) = 180° − 90° − 60° = 30°. (1 pct)
2. b) Calculează lungimile AC și BC.
  Vezi pașii din barem
  1. AC este cateta opusă lui ∢B = 60°: tg 60° = AC/AB ⇒ AC = 3·√3 cm. (1 pct)
  2. BC este ipotenuza; teorema unghiului de 30° (cateta opusă = ipotenuza/2): AB = BC/2 ⇒ BC = 2·AB = 6 cm. (1 pct)
  3. Verificare cu Pitagora: BC² = AB² + AC² = 9 + 27 = 36 ⇒ BC = 6 cm. ✓ (1 pct)
Ex. 5În figura alăturată este reprezentat hexagonul regulat ABCDEF înscris într-un cerc de rază R = 4 cm.
1. a) Calculează perimetrul hexagonului ABCDEF.
  Vezi pașii din barem
  1. Proprietate: latura hexagonului regulat înscris într-un cerc este egală cu raza cercului ⇒ l = R = 4 cm. (1 pct)
  2. P = 6·l = 6·4 = 24 cm. (1 pct)
2. b) Calculează aria hexagonului ABCDEF.
  Vezi pașii din barem
  1. Hexagonul regulat se descompune în 6 triunghiuri echilaterale cu latura egală cu raza R = 4. (1 pct)
  2. Aria unui triunghi echilateral: l²√3/4 = 16√3/4 = 4√3 cm². (1 pct)
  3. A_hexagon = 6·4√3 = 24√3 cm². (1 pct)
Ex. 6În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDA'B'C'D' cu muchia de 4 cm.
1. a) Arată că triunghiul AB'C este echilateral și calculează aria acestuia.
  Vezi pașii din barem
  1. Fiecare dintre laturile AB', B'C, AC este diagonală de față a cubului ⇒ AB' = B'C = AC = a√2 = 4√2 cm ⇒ △AB'C echilateral. (1 pct)
  2. Aria triunghiului echilateral cu latura 4√2: A = (4√2)²·√3/4 = 32·√3/4 = 8√3 cm². (1 pct)
2. b) Calculează distanța de la punctul B la planul (AB'C).
  Vezi pașii din barem
  1. Calculez volumul tetraedrului BAB′C în 2 moduri. Folosesc baza △ABC dreptunghică în B (cu BA = BC = 4): A(△ABC) = 4·4/2 = 8 cm². Înălțimea din B′ pe planul (ABC) (planul bazei z=0) = BB′ = 4. V = 8·4/3 = 32/3 cm³. (1 pct)
  2. Cu baza △AB'C (calculată la a) = 8√3): V = 8√3 · d / 3, unde d = distanța de la B la planul (AB'C). (1 pct)
  3. \(\dfrac{32}{3} = \dfrac{8\sqrt{3} \cdot d}{3} \Rightarrow d = \dfrac{32}{8\sqrt{3}} = \dfrac{4}{\sqrt{3}} = \dfrac{4\sqrt{3}}{3}\) cm. (1 pct)

Ai citit baremul. Acum dă-l propriu-zis.

Rezolvă acest subiect cronometrat în cont. La final, AI-ul îți spune câte puncte ai luat pe fiecare item, pe baremul oficial, plus o explicație pas-cu-pas pentru fiecare greșeală.

Începe simularea cronometrată →

5 credite bonus la înregistrare. Fără card.