Matematică — clasa VIII · 2026 · variantă de antrenament Era Lumis · nr. 5

Matematică · Variantă de antrenament Era Lumis nr. 5 (EN VIII, original)

A cincea variantă originală de antrenament pentru EN VIII matematică, Era Lumis. Conține: împărțire cu rest, calcule cu zecimale, puteri cu baze negative, ordonarea fracțiilor, triunghi echilateral, diagonala pătratului, piramidă regulată (volum + apotemă), trapez isoscel, prismă triunghiulară. Bareme detaliate.

Durată: 120 min
Exerciții: 18
Materie: Matematică
Sursă: Variantă originală Era Lumis

Rezolvă cronometrat cu AI →

Rezolvă în 2 ore, în condiții de examen. AI-ul îți corectează pe baremul oficial și îți explică, exercițiu cu exercițiu, unde te-ai încurcat — cu pași numerotați, ca un profesor de meditații.

Subiectul I — 6 exerciții grilă (algebră)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare răspuns corect = 5 puncte. Timp orientativ: 30 de minute.

Ex. 1Restul împărțirii numărului 27 la 4 este egal cu:
1. A)0
2. B)2
3. C)3
4. D)4
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Algoritmul lui Euclid: 27 : 4 = 6 rest 3. Verificare: 4·6 + 3 = 24 + 3 = 27 ✓. Restul este 3 < 4.
Ex. 2Rezultatul calculului \(1{,}5 + 0{,}75\) este egal cu:
1. A)1,55
2. B)2,25
3. C)2,55
4. D)9
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Aliniem virgulele: 1,50 + 0,75 = 2,25. (Echivalent: 3/2 + 3/4 = 6/4 + 3/4 = 9/4 = 2,25.)
Ex. 3Rezultatul calculului \(30\%\) din 50 este egal cu:
1. A)10
2. B)15
3. C)20
4. D)30
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: 30% din 50 = (30/100)·50 = 50·3/10 = 15.
Ex. 4Rezultatul calculului \((-2)^3 + (-1)^4\) este egal cu:
1. A)−9
2. B)−7
3. C)−3
4. D)9
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: \((-2)^3 = (-2)(-2)(-2) = -8\) (exponent impar ⇒ semn păstrat). \((-1)^4 = 1\) (exponent par ⇒ rezultat pozitiv). Suma: \(-8 + 1 = -7\).
Ex. 5Soluția ecuației \(4x + 7 = 31\) este:
1. A)x = 4
2. B)x = 6
3. C)x = 8
4. D)x = 9
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: \(4x + 7 = 31 \Rightarrow 4x = 24 \Rightarrow x = 6\).
Ex. 6Cel mai mare dintre numerele \(\dfrac{5}{8}\), 0,7, \(\dfrac{3}{4}\) și 0,65 este:
1. A)\(\dfrac{5}{8}\)
2. B)0,7
3. C)\(\dfrac{3}{4}\)
4. D)0,65
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Convertesc totul în zecimale: 5/8 = 0,625; 0,7 = 0,7; 3/4 = 0,75; 0,65 = 0,65. Cel mai mare este 0,75 = 3/4.

Subiectul al II-lea — 6 exerciții grilă (geometrie)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare răspuns corect = 5 puncte. Timp orientativ: 30 de minute.

Ex. 1În triunghiul ABC, măsurile unghiurilor ∢A și ∢B sunt 50° și respectiv 70°. Măsura unghiului ∢C este egală cu:
1. A)50°
2. B)60°
3. C)70°
4. D)90°
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi = 180°. m(∢C) = 180° − 50° − 70° = 60°.
Ex. 2Aria unui triunghi echilateral cu latura de 4 cm este egală cu:
1. A)4 cm²
2. B)\(4\sqrt{3}\) cm²
3. C)\(8\sqrt{3}\) cm²
4. D)16 cm²
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Aria triunghiului echilateral cu latura l: \(A = \dfrac{l^2 \sqrt{3}}{4} = \dfrac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}\) cm².
Ex. 3Perimetrul unui dreptunghi cu lungimea de 8 cm și lățimea de 5 cm este egal cu:
1. A)13 cm
2. B)18 cm
3. C)26 cm
4. D)40 cm
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Perimetrul dreptunghiului: \(P = 2(L + l) = 2(8 + 5) = 26\) cm.
Ex. 4Volumul unei piramide patrulatere regulate cu latura bazei de 6 cm și înălțimea de 4 cm este egal cu:
1. A)24 cm³
2. B)48 cm³
3. C)72 cm³
4. D)144 cm³
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Volumul piramidei = (1/3)·A_bază·h = (1/3)·6²·4 = (1/3)·144 = 48 cm³.
Ex. 5Diagonala unui pătrat cu latura de 4 cm este egală cu:
1. A)4 cm
2. B)\(4\sqrt{2}\) cm
3. C)\(4\sqrt{3}\) cm
4. D)8 cm
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Pitagora în pătratul cu latura l: \(d^2 = l^2 + l^2 = 2l^2 \Rightarrow d = l\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\) cm.
Ex. 6În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră regulată VABCD cu latura bazei AB = 6 cm și înălțimea VO = 4 cm (O fiind centrul bazei). Lungimea apotemei piramidei (înălțimea unei fețe laterale) este egală cu:
1. A)3 cm
2. B)4 cm
3. C)5 cm
4. D)6 cm
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: M este mijlocul laturii AB. OM = AB/2 = 3 cm. △VOM dreptunghic în O: \(VM^2 = VO^2 + OM^2 = 16 + 9 = 25 \Rightarrow VM = 5\) cm.

Subiectul al III-lea — 6 probleme cu rezolvare a/b

Scrie rezolvările complete. Fiecare subpunct (a) valorează 2 puncte, fiecare (b) valorează 3 puncte. Timp orientativ: 60 de minute.

Ex. 1Maria a avut o sumă de bani. A cheltuit 40% din sumă pentru o carte și i-au rămas 30 de lei.
1. a) Calculează ce procent din suma inițială i-au rămas Mariei după achiziția cărții.
  Vezi pașii din barem
  1. Suma rămasă (procent) = 100% − 40% = 60%. (1 pct)
  2. Așadar 30 lei reprezintă 60% din suma inițială. (1 pct)
2. b) Calculează suma inițială pe care a avut-o Maria.
  Vezi pașii din barem
  1. Fie x suma inițială. Din a): 60%·x = 30 ⇒ 0,6·x = 30. (1 pct)
  2. x = 30/0,6 = 50 lei. (1 pct)
  3. Verificare: 40%·50 = 20 lei (cartea), 50 − 20 = 30 lei (rest). ✓ (1 pct)
Ex. 2Se consideră expresia \(E(x) = (x + 2)(x - 2) + 4\), unde x este număr real.
1. a) Arată că \(E(x) = x^2\), pentru orice număr real x.
  Vezi pașii din barem
  1. Folosesc formula \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\): \((x+2)(x-2) = x^2 - 4\). (1 pct)
  2. \(E(x) = (x^2 - 4) + 4 = x^2\). ✓ (1 pct)
2. b) Determină numerele naturale x pentru care \(E(x) = 49\).
  Vezi pașii din barem
  1. Din a): \(x^2 = 49\). (1 pct)
  2. Soluțiile reale: x ∈ {−7, 7}. Cum se caută numere naturale, x = 7. (1 pct)
  3. Verificare: \(E(7) = 49\). ✓ (1 pct)
Ex. 3Se consideră funcția \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = 4 - x\).
1. a) Verifică dacă punctul A(2, 2) aparține reprezentării grafice a funcției f.
  Vezi pașii din barem
  1. Calculez f(2) = 4 − 2 = 2. (1 pct)
  2. y_A = 2 = f(2) ⇒ A aparține graficului funcției f. (1 pct)
2. b) Calculează aria triunghiului determinat de graficul funcției f și axele de coordonate.
  Vezi pașii din barem
  1. Intersecția cu Ox: f(x) = 0 ⇒ x = 4 ⇒ P(4, 0). Intersecția cu Oy: x = 0 ⇒ y = 4 ⇒ Q(0, 4). (1 pct)
  2. Triunghiul OPQ este dreptunghic în O cu catetele OP = 4 și OQ = 4. (1 pct)
  3. Aria = (OP·OQ)/2 = (4·4)/2 = 8 unități². (1 pct)
Ex. 4În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel ABC cu AB = AC = 10 cm și BC = 12 cm. Punctul M este mijlocul laturii BC.
1. a) Arată că dreapta AM este perpendiculară pe latura BC.
  Vezi pașii din barem
  1. În triunghi isoscel ABC cu AB = AC, mediana din vârful unghiului opus bazei (din A pe BC) este și înălțime, și bisectoare, și mediatoare. (1 pct)
  2. M este mijlocul lui BC (dat), deci AM este mediana. Conform proprietății, AM ⊥ BC. (1 pct)
2. b) Calculează aria triunghiului ABC.
  Vezi pașii din barem
  1. BM = BC/2 = 6 cm. (1 pct)
  2. △ABM dreptunghic în M: AM² = AB² − BM² = 100 − 36 = 64 ⇒ AM = 8 cm. (1 pct)
  3. Aria △ABC = BC·AM/2 = 12·8/2 = 48 cm². (1 pct)
Ex. 5În figura alăturată este reprezentat trapezul isoscel ABCD cu AB ∥ CD, AB = 12 cm, CD = 4 cm și AD = BC = 5 cm.
1. a) Calculează înălțimea trapezului ABCD.
  Vezi pașii din barem
  1. Coboară perpendiculara din D pe AB în D′. Trapez isoscel ⇒ AD′ = (AB − CD)/2 = (12 − 4)/2 = 4 cm. (1 pct)
  2. △ADD′ dreptunghic în D′: DD′² = AD² − AD′² = 25 − 16 = 9 ⇒ DD′ = 3 cm. Înălțimea trapezului = 3 cm. (1 pct)
2. b) Calculează aria trapezului ABCD.
  Vezi pașii din barem
  1. Formula ariei trapezului: A = (B + b)·h/2, unde B = AB, b = CD, h = înălțimea. (1 pct)
  2. A = (12 + 4)·3/2 = 16·3/2. (1 pct)
  3. A = 24 cm². (1 pct)
Ex. 6În figura alăturată este reprezentată prisma triunghiulară regulată ABCA'B'C' cu latura bazei AB = 4 cm și înălțimea AA' = 6 cm.
1. a) Calculează aria laterală a prismei.
  Vezi pașii din barem
  1. Aria laterală = perimetrul bazei × înălțime. P_bază = 3·4 = 12 cm. (1 pct)
  2. A_lat = 12·6 = 72 cm². (1 pct)
2. b) Calculează volumul prismei.
  Vezi pașii din barem
  1. V = A_bază · h, unde A_bază = aria triunghiului echilateral cu latura 4. (1 pct)
  2. A_bază = l²·√3/4 = 16·√3/4 = 4√3 cm². (1 pct)
  3. V = 4√3 · 6 = 24√3 cm³. (1 pct)

Ai citit baremul. Acum dă-l propriu-zis.

Rezolvă acest subiect cronometrat în cont. La final, AI-ul îți spune câte puncte ai luat pe fiecare item, pe baremul oficial, plus o explicație pas-cu-pas pentru fiecare greșeală.

Începe simularea cronometrată →

5 credite bonus la înregistrare. Fără card.