Matematică — clasa VIII · 2026 · variantă de antrenament Era Lumis · nr. 6

Matematică · Variantă de antrenament Era Lumis nr. 6 (EN VIII, original)

A șasea variantă originală de antrenament pentru EN VIII matematică, Era Lumis. Acoperă: numere prime, sumă fracții, procente, radicali, sisteme liniare, media aritmetică, triunghi scalen, paralelogram, trapez, paralelipiped, hexagon regulat (apotemă), bisectoare în triunghi dreptunghic, romb cu unghi 60°, piramidă patrulateră regulată.

Durată: 120 min
Exerciții: 18
Materie: Matematică
Sursă: Variantă originală Era Lumis

Rezolvă cronometrat cu AI →

Rezolvă în 2 ore, în condiții de examen. AI-ul îți corectează pe baremul oficial și îți explică, exercițiu cu exercițiu, unde te-ai încurcat — cu pași numerotați, ca un profesor de meditații.

Subiectul I — 6 exerciții grilă (algebră)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare răspuns corect = 5 puncte. Timp orientativ: 30 de minute.

Ex. 1Cel mai mic număr prim mai mare decât 10 este:
1. A)10
2. B)11
3. C)12
4. D)13
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Caut primul număr prim mai mare ca 10. Verificare: 11 are doar divizorii 1 și 11 ⇒ este prim. Deci răspunsul este 11.
Ex. 2Rezultatul calculului \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}\) este:
1. A)\(\dfrac{2}{5}\)
2. B)\(\dfrac{5}{6}\)
3. C)\(\dfrac{1}{5}\)
4. D)\(\dfrac{2}{6}\)
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Aduc la numitor comun 6: \(\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{6}\), \(\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{6}\) ⇒ \(\dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6}\).
Ex. 3Rezultatul calculului \(80\%\) din 25 este egal cu:
1. A)5
2. B)15
3. C)20
4. D)25
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: 80% = 4/5 ⇒ 80% din 25 = 25·4/5 = 5·4 = 20.
Ex. 4Rezultatul calculului \(\sqrt{32}\) este egal cu:
1. A)\(2\sqrt{8}\)
2. B)\(4\sqrt{2}\)
3. C)\(4\sqrt{3}\)
4. D)\(16\sqrt{2}\)
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: \(32 = 16 \cdot 2 \Rightarrow \sqrt{32} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2}\).
Ex. 5Soluția sistemului \(\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x + y = 5 \end{cases}\) are valoarea lui x egală cu:
1. A)x = 1
2. B)x = 2
3. C)x = 3
4. D)x = 5
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Scădem a doua ecuație din prima: \((2x+y) - (x+y) = 7 - 5 \Rightarrow x = 2\). Apoi y = 5 − 2 = 3.
Ex. 6Media aritmetică a patru numere este 7. Suma celor patru numere este egală cu:
1. A)11
2. B)21
3. C)28
4. D)32
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Media aritmetică = suma / numărul de termeni ⇒ suma = media × numărul de termeni = 7·4 = 28.

Subiectul al II-lea — 6 exerciții grilă (geometrie)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare răspuns corect = 5 puncte. Timp orientativ: 30 de minute.

Ex. 1În figura alăturată sunt reprezentate unghiurile suplementare ∢AOB și ∢BOC. Dacă m(∢AOB) = 70°, măsura unghiului ∢BOC este egală cu:
1. A)20°
2. B)90°
3. C)110°
4. D)290°
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Unghiurile suplementare au suma 180° ⇒ m(∢BOC) = 180° − 70° = 110°.
Ex. 2Un triunghi are unghiurile cu măsurile 40°, 60° și 80°. Acest triunghi este:
1. A)dreptunghic
2. B)echilateral
3. C)isoscel
4. D)scalen (oarecare)
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: D
Rezolvare: Suma 40+60+80 = 180° ✓. Toate trei unghiurile sunt diferite ⇒ toate laturile sunt diferite ⇒ triunghi scalen (oarecare).
Ex. 3Aria unui paralelogram cu baza de 8 cm și înălțimea corespunzătoare bazei de 5 cm este egală cu:
1. A)13 cm²
2. B)26 cm²
3. C)40 cm²
4. D)80 cm²
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Aria paralelogramului = bază × înălțime corespunzătoare = 8·5 = 40 cm².
Ex. 4Aria unui trapez cu bazele de 10 cm și 6 cm, având înălțimea de 4 cm, este egală cu:
1. A)16 cm²
2. B)24 cm²
3. C)32 cm²
4. D)64 cm²
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Aria trapezului = \(\dfrac{(B + b) \cdot h}{2} = \dfrac{(10 + 6) \cdot 4}{2} = 32\) cm².
Ex. 5Volumul unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile 2 cm, 3 cm și 5 cm este egal cu:
1. A)10 cm³
2. B)15 cm³
3. C)25 cm³
4. D)30 cm³
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: D
Rezolvare: Volumul paralelipipedului dreptunghic = produsul celor trei dimensiuni = 2·3·5 = 30 cm³.
Ex. 6Apotema unui hexagon regulat cu latura de 6 cm (distanța de la centrul hexagonului la mijlocul unei laturi) este egală cu:
1. A)3 cm
2. B)\(3\sqrt{2}\) cm
3. C)\(3\sqrt{3}\) cm
4. D)6 cm
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Hexagonul regulat este compus din 6 triunghiuri echilaterale cu latura egală cu raza. Apotema = înălțimea unui astfel de triunghi = \(\dfrac{l\sqrt{3}}{2} = \dfrac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\) cm.

Subiectul al III-lea — 6 probleme cu rezolvare a/b

Scrie rezolvările complete. Fiecare subpunct (a) valorează 2 puncte, fiecare (b) valorează 3 puncte. Timp orientativ: 60 de minute.

Ex. 1Un container plin cu apă are 60 de litri.
1. a) Se golește 1/3 din volumul de apă. Calculează câți litri rămân în container.
  Vezi pașii din barem
  1. Apa scoasă = (1/3)·60 = 20 litri. (1 pct)
  2. Apa rămasă = 60 − 20 = 40 litri. (1 pct)
2. b) În continuare, se mai scoate un volum de apă astfel încât în container să rămână 12 litri. Calculează câți litri de apă au fost scoși la a doua golire.
  Vezi pașii din barem
  1. Înainte de a doua golire: 40 litri (rezultatul de la a)). După: 12 litri. (1 pct)
  2. Apa scoasă la a doua golire = 40 − 12 = 28 litri. (1 pct)
  3. Verificare: total scos = 20 + 28 = 48 litri; 60 − 48 = 12 ✓. (1 pct)
Ex. 2Se consideră expresia \(E(x) = (x + 3)^2 + (x - 3)^2\), unde x este număr real.
1. a) Arată că \(E(x) = 2x^2 + 18\), pentru orice număr real x.
  Vezi pașii din barem
  1. Dezvolt pătratele: \((x+3)^2 = x^2 + 6x + 9\) și \((x-3)^2 = x^2 - 6x + 9\). (1 pct)
  2. Suma: \(E(x) = (x^2 + 6x + 9) + (x^2 - 6x + 9) = 2x^2 + 18\). ✓ (1 pct)
2. b) Demonstrează că \(E(x) \geq 18\), pentru orice număr real x, și determină când are loc egalitatea.
  Vezi pașii din barem
  1. Pentru orice x ∈ ℝ, \(x^2 \geq 0\) ⇒ \(2x^2 \geq 0\). (1 pct)
  2. Așadar \(E(x) = 2x^2 + 18 \geq 0 + 18 = 18\). (1 pct)
  3. Egalitate \(E(x) = 18\) ⇔ \(2x^2 = 0\) ⇔ \(x = 0\). Verificare: E(0) = 9 + 9 = 18. ✓ (1 pct)
Ex. 3Se consideră funcția \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = -2x + 6\).
1. a) Calculează suma \(f(1) + f(2) + f(3)\).
  Vezi pașii din barem
  1. \(f(1) = -2 + 6 = 4\), \(f(2) = -4 + 6 = 2\), \(f(3) = -6 + 6 = 0\). (1 pct)
  2. Suma = 4 + 2 + 0 = 6. (1 pct)
2. b) În sistemul de axe ortogonale xOy, punctele \(A(0,\ f(0))\) și \(B(3,\ f(3))\) aparțin reprezentării grafice a funcției f. Calculează lungimea segmentului AB.
  Vezi pașii din barem
  1. f(0) = 6 ⇒ A(0, 6). f(3) = 0 ⇒ B(3, 0). (1 pct)
  2. AB = √((0−3)² + (6−0)²) = √(9 + 36) = √45. (1 pct)
  3. √45 = √(9·5) = 3√5. (1 pct)
Ex. 4În figura alăturată este reprezentat triunghiul dreptunghic ABC cu m(∢A) = 90°, AB = 6 cm și AC = 8 cm. Bisectoarea unghiului ∢ABC intersectează latura AC în punctul D.
1. a) Calculează lungimea ipotenuzei BC.
  Vezi pașii din barem
  1. Pitagora: BC² = AB² + AC² = 36 + 64 = 100. (1 pct)
  2. BC = 10 cm. (1 pct)
2. b) Calculează lungimea segmentului AD.
  Vezi pașii din barem
  1. Teorema bisectoarei: BD bisectoarea lui ∢B ⇒ AD/DC = AB/BC = 6/10 = 3/5. (1 pct)
  2. AD + DC = AC = 8 ⇒ AD/(AD+DC) = 3/(3+5) = 3/8. (1 pct)
  3. AD = 8·3/8 = 3 cm. (1 pct)
Ex. 5În figura alăturată este reprezentat rombul ABCD cu latura AB = 4 cm și m(∢DAB) = 60°.
1. a) Arată că diagonala mai mică (BD) are lungimea de 4 cm.
  Vezi pașii din barem
  1. În rombul ABCD, AB = AD = 4 (laturi egale) și m(∢DAB) = 60°. (1 pct)
  2. △ABD este isoscel cu un unghi de 60° ⇒ △ABD echilateral ⇒ BD = AB = 4 cm. (1 pct)
2. b) Calculează aria rombului ABCD.
  Vezi pașii din barem
  1. Diagonala mare AC: în triunghiul AOB cu O centrul rombului (diagonalele se taie perpendicular și se înjumătățesc) OB = 2 și OA² = AB² − OB² = 16 − 4 = 12 ⇒ OA = 2√3. AC = 4√3. (1 pct)
  2. A = (d₁·d₂)/2 = (4·4√3)/2 = 8√3 cm². (1 pct)
  3. Alternativ A = l²·sin(60°) = 16·√3/2 = 8√3 cm². ✓ (1 pct)
Ex. 6În figura alăturată este reprezentată piramida patrulateră regulată VABCD cu latura bazei AB = 6 cm și apotema piramidei VM = 5 cm (M este mijlocul laturii AB).
1. a) Calculează înălțimea VO a piramidei, unde O este centrul bazei.
  Vezi pașii din barem
  1. OM este distanța de la centrul pătratului bazei la mijlocul unei laturi = AB/2 = 3 cm. (1 pct)
  2. △VOM dreptunghic în O: VO² = VM² − OM² = 25 − 9 = 16 ⇒ VO = 4 cm. (1 pct)
2. b) Calculează volumul piramidei.
  Vezi pașii din barem
  1. A_bază = AB² = 6² = 36 cm² (pătratul). (1 pct)
  2. V = (1/3)·A_bază·h = (1/3)·36·4. (1 pct)
  3. V = 48 cm³. (1 pct)

Ai citit baremul. Acum dă-l propriu-zis.

Rezolvă acest subiect cronometrat în cont. La final, AI-ul îți spune câte puncte ai luat pe fiecare item, pe baremul oficial, plus o explicație pas-cu-pas pentru fiecare greșeală.

Începe simularea cronometrată →

5 credite bonus la înregistrare. Fără card.