Matematică — clasa VIII · 2026 · variantă de antrenament Era Lumis · nr. 7

Matematică · Variantă de antrenament Era Lumis nr. 7 (EN VIII, original)

A șaptea variantă originală de antrenament pentru EN VIII matematică, Era Lumis. Acoperă: c.m.m.d.c., fracție din zecimală, procente, radicali, ecuație liniară, probabilități, drepte paralele tăiate de secantă, Pitagora 5-12-13, aria discului, diagonala pătratului, linia mijlocie, aria totală a cubului, procente compuse, identitatea (a-b)(a+b), funcție liniară, triunghi echilateral, triunghi dreptunghic (mediană și înălțime), cilindru circular drept.

Durată: 120 min
Exerciții: 18
Materie: Matematică
Sursă: Variantă originală Era Lumis

Rezolvă cronometrat cu AI →

Rezolvă în 2 ore, în condiții de examen. AI-ul îți corectează pe baremul oficial și îți explică, exercițiu cu exercițiu, unde te-ai încurcat — cu pași numerotați, ca un profesor de meditații.

Subiectul I — 6 exerciții grilă (algebră)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare răspuns corect = 5 puncte. Timp orientativ: 30 de minute.

Ex. 1Cel mai mare divizor comun al numerelor 24 și 36 este egal cu:
1. A)4
2. B)6
3. C)12
4. D)72
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Descompun: \(24 = 2^3 \cdot 3\) și \(36 = 2^2 \cdot 3^2\). C.m.m.d.c. = produsul factorilor comuni la puterea cea mai mică = \(2^2 \cdot 3 = 12\).
Ex. 2Numărul 0,25 scris sub formă de fracție ireductibilă este:
1. A)\(\dfrac{1}{4}\)
2. B)\(\dfrac{2}{5}\)
3. C)\(\dfrac{25}{10}\)
4. D)\(\dfrac{1}{25}\)
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: A
Rezolvare: 0,25 = 25/100. Simplific cu 25 ⇒ 1/4. Verificare: 1/4 = 0,25 ✓.
Ex. 3Rezultatul calculului \(15\%\) din 200 este egal cu:
1. A)15
2. B)20
3. C)25
4. D)30
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: D
Rezolvare: 15% din 200 = \(\dfrac{15}{100} \cdot 200 = 15 \cdot 2 = 30\).
Ex. 4Rezultatul calculului \((\sqrt{5})^2 + (\sqrt{3})^2\) este egal cu:
1. A)\(\sqrt{8}\)
2. B)8
3. C)\(\sqrt{15}\)
4. D)\(2\sqrt{15}\)
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Aplic identitatea \((\sqrt{a})^2 = a\) pentru \(a \geq 0\): \((\sqrt{5})^2 + (\sqrt{3})^2 = 5 + 3 = 8\).
Ex. 5Soluția ecuației \(3x - 4 = 11\) este:
1. A)x = 3
2. B)x = 4
3. C)x = 5
4. D)x = 7
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Adun 4 în ambele părți: \(3x = 15\). Împart la 3: \(x = 5\).
Ex. 6Într-o cutie sunt 10 bile, dintre care 4 sunt roșii. Probabilitatea ca o bilă extrasă la întâmplare să fie roșie este:
1. A)\(\dfrac{1}{4}\)
2. B)\(\dfrac{2}{5}\)
3. C)\(\dfrac{3}{5}\)
4. D)\(\dfrac{4}{10}\)
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Probabilitate = nr. cazuri favorabile / nr. cazuri posibile = \(\dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}\) (fracție ireductibilă).

Subiectul al II-lea — 6 exerciții grilă (geometrie)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare răspuns corect = 5 puncte. Timp orientativ: 30 de minute.

Ex. 1Două drepte paralele a și b sunt tăiate de o secantă. Dintre unghiurile formate, două sunt situate de aceeași parte a secantei și sunt interne (numite conjugate interne). Dacă unul dintre ele are măsura de 110°, atunci celălalt are măsura:
1. A)55°
2. B)70°
3. C)110°
4. D)180°
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Două drepte paralele tăiate de o secantă formează unghiuri conjugate interne suplementare (sumă 180°). Așadar celălalt unghi are 180° − 110° = 70°.
Ex. 2Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza are lungimea 13 cm și una dintre catete are lungimea 5 cm. Cealaltă catetă are lungimea:
1. A)8 cm
2. B)12 cm
3. C)\(\sqrt{169 + 25}\) cm
4. D)18 cm
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Tripletul pitagoreic 5-12-13: \(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2\). Așadar cealaltă catetă are 12 cm.
Ex. 3Aria unui disc (cerc) cu raza de 4 cm este egală cu:
1. A)\(4\pi\) cm²
2. B)\(8\pi\) cm²
3. C)\(16\pi\) cm²
4. D)\(32\pi\) cm²
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Aria discului = \(\pi R^2 = \pi \cdot 4^2 = 16\pi\) cm².
Ex. 4Lungimea diagonalei unui pătrat cu latura de 5 cm este egală cu:
1. A)5 cm
2. B)10 cm
3. C)\(5\sqrt{2}\) cm
4. D)\(5\sqrt{3}\) cm
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: În triunghiul format de două laturi consecutive și diagonală: \(d^2 = l^2 + l^2 = 2l^2 \Rightarrow d = l\sqrt{2} = 5\sqrt{2}\) cm.
Ex. 5În triunghiul ABC, M este mijlocul laturii AB și N este mijlocul laturii AC. Dacă BC = 14 cm, atunci lungimea segmentului MN este:
1. A)3,5 cm
2. B)7 cm
3. C)14 cm
4. D)28 cm
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: MN unește mijloacele a două laturi ale triunghiului ⇒ MN este linie mijlocie, deci MN ∥ BC și MN = BC/2 = 7 cm.
Ex. 6Aria totală a unui cub cu muchia de 3 cm este egală cu:
1. A)9 cm²
2. B)27 cm²
3. C)36 cm²
4. D)54 cm²
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: D
Rezolvare: Cubul are 6 fețe, fiecare un pătrat cu latura egală cu muchia. \(A_t = 6 \cdot l^2 = 6 \cdot 3^2 = 54\) cm².

Subiectul al III-lea — 6 probleme cu rezolvare a/b

Scrie rezolvările complete. Fiecare subpunct (a) valorează 2 puncte, fiecare (b) valorează 3 puncte. Timp orientativ: 60 de minute.

Ex. 1Un produs costă inițial 200 de lei.
1. a) Prețul produsului crește cu 10%. Calculează noul preț.
  Vezi pașii din barem
  1. Creșterea = 10%·200 = 20 lei. (1 pct)
  2. Prețul nou = 200 + 20 = 220 lei. (1 pct)
2. b) După scumpire, prețul de 220 de lei se reduce cu 10%. Arată că prețul final NU este egal cu prețul inițial de 200 de lei și calculează diferența față de prețul inițial.
  Vezi pașii din barem
  1. Reducerea = 10%·220 = 22 lei (procentul se calculează din prețul curent, nu cel original). (1 pct)
  2. Prețul final = 220 − 22 = 198 lei. (1 pct)
  3. Diferența față de prețul inițial: 200 − 198 = 2 lei (final mai mic cu 2 lei). (1 pct)
Ex. 2Se consideră expresia \(E(x) = (x - 2)(x + 2) + 4\), unde x este număr real.
1. a) Arată că \(E(x) = x^2\), pentru orice număr real x.
  Vezi pașii din barem
  1. Folosesc formula diferenței de pătrate: \((x-2)(x+2) = x^2 - 4\). (1 pct)
  2. Deci \(E(x) = x^2 - 4 + 4 = x^2\). ✓ (1 pct)
2. b) Calculează valoarea expresiei \(E(5) - E(-3)\).
  Vezi pașii din barem
  1. Folosind a): E(5) = 5² = 25 și E(−3) = (−3)² = 9. (1 pct)
  2. E(5) − E(−3) = 25 − 9 = 16. (1 pct)
  3. Verificare directă: (5−2)(5+2)+4 = 21+4 = 25 ✓; (−3−2)(−3+2)+4 = (−5)(−1)+4 = 9 ✓. (1 pct)
Ex. 3Se consideră funcția \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x + 2\).
1. a) Calculează suma \(f(-1) + f(0) + f(1)\).
  Vezi pașii din barem
  1. \(f(-1) = -1 + 2 = 1\), \(f(0) = 0 + 2 = 2\), \(f(1) = 1 + 2 = 3\). (1 pct)
  2. Suma = 1 + 2 + 3 = 6. (1 pct)
2. b) În sistemul de axe ortogonale xOy, punctele \(A(0,\ f(0))\) și \(B(2,\ f(2))\) aparțin reprezentării grafice a funcției f. Calculează lungimea segmentului AB.
  Vezi pașii din barem
  1. f(0) = 2 ⇒ A(0, 2). f(2) = 4 ⇒ B(2, 4). (1 pct)
  2. AB = √((2−0)² + (4−2)²) = √(4 + 4) = √8. (1 pct)
  3. √8 = √(4·2) = 2√2. (1 pct)
Ex. 4În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral ABC cu latura AB = 6 cm. AM este înălțimea din A (M este mijlocul laturii BC).
1. a) Calculează lungimea înălțimii AM.
  Vezi pașii din barem
  1. În triunghiul echilateral, înălțimea = \(\dfrac{l\sqrt{3}}{2}\). (1 pct)
  2. AM = 6·√3/2 = 3√3 cm. (1 pct)
2. b) Calculează aria triunghiului ABC.
  Vezi pașii din barem
  1. Folosesc formula directă pentru triunghi echilateral: \(A = \dfrac{l^2\sqrt{3}}{4}\). (1 pct)
  2. A = 36·√3/4 = 9√3 cm². (1 pct)
  3. Verificare cu A = bază·înălțime/2 = 6·3√3/2 = 9√3 ✓. (1 pct)
Ex. 5În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC dreptunghic în A, cu AB = 3 cm și AC = 4 cm. M este mijlocul ipotenuzei BC, iar AH este înălțimea din A (H aparține lui BC).
1. a) Calculează lungimea ipotenuzei BC și a medianei AM (mediana din unghiul drept).
  Vezi pașii din barem
  1. Pitagora: BC² = AB² + AC² = 9 + 16 = 25 ⇒ BC = 5 cm. (1 pct)
  2. Mediana din unghiul drept = jumătatea ipotenuzei ⇒ AM = BC/2 = 2,5 cm. (1 pct)
2. b) Calculează lungimea înălțimii AH (înălțimea din vârful unghiului drept pe ipotenuză).
  Vezi pașii din barem
  1. Aria triunghiului ABC = AB·AC/2 = 3·4/2 = 6 cm². (1 pct)
  2. Aria și cu ipotenuza ca bază: A = BC·AH/2 ⇒ 6 = 5·AH/2. (1 pct)
  3. AH = 12/5 = 2,4 cm. (1 pct)
Ex. 6În figura alăturată este reprezentat un cilindru circular drept cu raza bazei R = 3 cm și înălțimea h = 5 cm.
1. a) Calculează aria laterală a cilindrului.
  Vezi pașii din barem
  1. Formula: \(A_{lat} = 2\pi R \cdot h\). (1 pct)
  2. \(A_{lat} = 2\pi \cdot 3 \cdot 5 = 30\pi\) cm². (1 pct)
2. b) Calculează volumul cilindrului.
  Vezi pașii din barem
  1. Aria bazei (disc): \(A_b = \pi R^2 = 9\pi\) cm². (1 pct)
  2. Volumul cilindrului: \(V = A_b \cdot h = 9\pi \cdot 5\). (1 pct)
  3. \(V = 45\pi\) cm³. (1 pct)

Ai citit baremul. Acum dă-l propriu-zis.

Rezolvă acest subiect cronometrat în cont. La final, AI-ul îți spune câte puncte ai luat pe fiecare item, pe baremul oficial, plus o explicație pas-cu-pas pentru fiecare greșeală.

Începe simularea cronometrată →

5 credite bonus la înregistrare. Fără card.