Matematică — clasa VIII · 2026 · variantă de antrenament Era Lumis · nr. 8

Matematică · Variantă de antrenament Era Lumis nr. 8 (EN VIII, original)

A opta variantă originală de antrenament pentru EN VIII matematică, Era Lumis. Acoperă: c.m.m.m.c., produs fracții, procente, radicali, ecuație cu fracții, mediană (statistică), bisectoarea unghiului, reciproca lui Pitagora (7-24-25), lungimea cercului, aria dreptunghiului, linia mijlocie a trapezului, aria laterală a paralelipipedului, împărțire în raport, identitatea (a+b)², funcție liniară (intersecție axe), triunghi isoscel (13-13-10), trapez dreptunghic, con circular drept.

Durată: 120 min
Exerciții: 18
Materie: Matematică
Sursă: Variantă originală Era Lumis

Rezolvă cronometrat cu AI →

Rezolvă în 2 ore, în condiții de examen. AI-ul îți corectează pe baremul oficial și îți explică, exercițiu cu exercițiu, unde te-ai încurcat — cu pași numerotați, ca un profesor de meditații.

Subiectul I — 6 exerciții grilă (algebră)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare răspuns corect = 5 puncte. Timp orientativ: 30 de minute.

Ex. 1Cel mai mic număr natural diferit de zero care se împarte exact și la 6, și la 10 este:
1. A)16
2. B)20
3. C)30
4. D)60
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Descompun: \(6 = 2 \cdot 3\), \(10 = 2 \cdot 5\). C.m.m.m.c. = produsul tuturor factorilor (la puterea cea mai mare) = \(2 \cdot 3 \cdot 5 = 30\).
Ex. 2Rezultatul calculului \(\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{2}{9}\) este:
1. A)\(\dfrac{5}{13}\)
2. B)\(\dfrac{6}{36}\)
3. C)\(\dfrac{1}{6}\)
4. D)\(\dfrac{2}{3}\)
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: \(\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{2}{9} = \dfrac{3 \cdot 2}{4 \cdot 9} = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}\) (formă ireductibilă).
Ex. 3Rezultatul calculului \(12\%\) din 50 este egal cu:
1. A)5
2. B)6
3. C)12
4. D)24
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: 12% din 50 = \(\dfrac{12}{100} \cdot 50 = \dfrac{12}{2} = 6\).
Ex. 4Rezultatul calculului \(\sqrt{45}\) este egal cu:
1. A)\(3\sqrt{5}\)
2. B)\(5\sqrt{3}\)
3. C)\(9\sqrt{5}\)
4. D)\(\sqrt{9} \cdot \sqrt{5}\) cm
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: A
Rezolvare: Caut cel mai mare pătrat perfect care divide pe 45: \(45 = 9 \cdot 5\). Atunci \(\sqrt{45} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{5} = 3\sqrt{5}\).
Ex. 5Soluția ecuației \(\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} = 5\) este:
1. A)x = 3
2. B)x = 5
3. C)x = 6
4. D)x = 10
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Numitor comun 6: \(\dfrac{3x}{6} + \dfrac{2x}{6} = \dfrac{5x}{6} = 5\). Înmulțesc cu 6: \(5x = 30 \Rightarrow x = 6\).
Ex. 6Mediana șirului de date (ordonate crescător) 4, 7, 9, 12, 15 este egală cu:
1. A)7
2. B)9
3. C)9,4
4. D)12
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Mediana = valoarea aflată exact la mijloc într-un șir ordonat. Pentru 5 valori ordonate, mediana este a 3-a valoare ⇒ 9.

Subiectul al II-lea — 6 exerciții grilă (geometrie)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare răspuns corect = 5 puncte. Timp orientativ: 30 de minute.

Ex. 1Bisectoarea unghiului ∢AOB cu m(∢AOB) = 80° îl împarte în două unghiuri congruente. Măsura fiecăruia dintre aceste unghiuri este:
1. A)20°
2. B)40°
3. C)60°
4. D)160°
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Prin definiție, bisectoarea împarte unghiul în două unghiuri congruente. Așadar fiecare are măsura \(80° / 2 = 40°\).
Ex. 2Un triunghi are laturile cu lungimile 7 cm, 24 cm și 25 cm. Acest triunghi este:
1. A)echilateral
2. B)isoscel
3. C)dreptunghic
4. D)obtuzunghic
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Aplic reciproca teoremei lui Pitagora: dacă pătratul celei mai mari laturi = suma pătratelor celorlalte două, triunghiul e dreptunghic. \(25^2 = 625 = 49 + 576 = 7^2 + 24^2\) ⇒ dreptunghic.
Ex. 3Lungimea cercului cu raza de 5 cm este egală cu:
1. A)\(5\pi\) cm
2. B)\(10\pi\) cm
3. C)\(25\pi\) cm
4. D)\(50\pi\) cm
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Lungimea cercului = \(2 \pi R = 2 \pi \cdot 5 = 10 \pi\) cm.
Ex. 4Aria unui dreptunghi cu lungimea de 8 cm și lățimea de 5 cm este egală cu:
1. A)13 cm²
2. B)26 cm²
3. C)40 cm²
4. D)80 cm²
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Aria dreptunghiului = lungime × lățime = 8 · 5 = 40 cm².
Ex. 5Într-un trapez, bazele au lungimile 14 cm și 6 cm. Lungimea liniei mijlocii a trapezului este egală cu:
1. A)4 cm
2. B)8 cm
3. C)10 cm
4. D)20 cm
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Linia mijlocie a trapezului unește mijloacele laturilor neparalele și are lungimea egală cu semisuma bazelor: \((B + b)/2 = (14 + 6)/2 = 10\) cm.
Ex. 6Aria laterală a unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile bazei 2 cm și 3 cm și înălțimea de 5 cm este egală cu:
1. A)25 cm²
2. B)30 cm²
3. C)50 cm²
4. D)62 cm²
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Aria laterală a paralelipipedului dreptunghic = perimetrul bazei × înălțime = \(2(L+l) \cdot h = 2(2+3) \cdot 5 = 10 \cdot 5 = 50\) cm².

Subiectul al III-lea — 6 probleme cu rezolvare a/b

Scrie rezolvările complete. Fiecare subpunct (a) valorează 2 puncte, fiecare (b) valorează 3 puncte. Timp orientativ: 60 de minute.

Ex. 1Trei frați au împreună 84 de lei și își împart suma în raport de 1 : 2 : 4 (cel mai mic primește 1 parte, cel mijlociu 2 părți, cel mare 4 părți).
1. a) Calculează ce sumă primește fiecare dintre cei trei frați.
  Vezi pașii din barem
  1. Numărul total de părți = 1 + 2 + 4 = 7. O parte = 84/7 = 12 lei. (1 pct)
  2. Cel mic primește 12 lei, mijlociul 2·12 = 24 lei, cel mare 4·12 = 48 lei. (Verificare: 12+24+48 = 84 ✓.) (1 pct)
2. b) Calculează cu cât primește mai mult fratele cel mai mare decât fratele cel mai mic.
  Vezi pașii din barem
  1. Folosesc valorile de la a): cel mare = 48 lei, cel mic = 12 lei. (1 pct)
  2. Diferența = 48 − 12 = 36 lei. (1 pct)
  3. Verificare alternativă: 4 părți − 1 parte = 3 părți = 3·12 = 36 lei ✓. (1 pct)
Ex. 2Se consideră expresia \(E(x) = (x + 1)^2 - 2x\), unde x este număr real.
1. a) Arată că \(E(x) = x^2 + 1\), pentru orice număr real x.
  Vezi pașii din barem
  1. Dezvolt pătratul: \((x+1)^2 = x^2 + 2x + 1\). (1 pct)
  2. \(E(x) = x^2 + 2x + 1 - 2x = x^2 + 1\). ✓ (1 pct)
2. b) Calculează valoarea sumei \(E(-1) + E(0) + E(1)\).
  Vezi pașii din barem
  1. Folosesc forma simplificată: E(x) = x²+1. (1 pct)
  2. E(−1) = 1+1 = 2, E(0) = 0+1 = 1, E(1) = 1+1 = 2. (1 pct)
  3. Suma = 2 + 1 + 2 = 5. (1 pct)
Ex. 3Se consideră funcția \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = 3x - 6\).
1. a) Determină coordonatele punctelor în care reprezentarea grafică a funcției intersectează axele de coordonate.
  Vezi pașii din barem
  1. Intersecția cu Oy (x = 0): f(0) = −6 ⇒ punctul A(0, −6). (1 pct)
  2. Intersecția cu Ox (f(x) = 0): 3x − 6 = 0 ⇒ x = 2 ⇒ punctul B(2, 0). (1 pct)
2. b) Calculează lungimea segmentului AB, unde A și B sunt punctele determinate la subpunctul a).
  Vezi pașii din barem
  1. A(0, −6) și B(2, 0). AB² = (2−0)² + (0−(−6))² = 4 + 36 = 40. (1 pct)
  2. AB = √40 = √(4·10) = 2√10. (1 pct)
  3. Aria triunghiului format cu axele = (1/2)·|−6|·2 = 6 (verificare suplimentară). (1 pct)
Ex. 4În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel ABC, cu AB = AC = 13 cm și BC = 10 cm. M este mijlocul laturii BC.
1. a) Arată că AM este perpendiculară pe BC și calculează lungimea AM.
  Vezi pașii din barem
  1. În triunghi isoscel, mediana corespunzătoare bazei este și înălțime ⇒ AM ⊥ BC. (1 pct)
  2. BM = BC/2 = 5. Pitagora în △AMB dreptunghic în M: AM² = AB² − BM² = 169 − 25 = 144 ⇒ AM = 12 cm. (1 pct)
2. b) Calculează aria triunghiului ABC.
  Vezi pașii din barem
  1. Aria = (bază · înălțime)/2; baza este BC = 10, înălțimea este AM = 12 (din a). (1 pct)
  2. A = 10·12/2 = 60 cm². (1 pct)
  3. Verificare cu formula lui Heron (semip. = 18, A = √(18·5·5·8) = √3600 = 60) ✓. (1 pct)
Ex. 5În figura alăturată este reprezentat trapezul dreptunghic ABCD cu AB ∥ CD, AB = 10 cm, CD = 4 cm, AD ⊥ AB și AD = 8 cm.
1. a) Calculează lungimea laturii BC.
  Vezi pașii din barem
  1. Coborând perpendiculara din C pe AB, fie E piciorul. Atunci CE = AD = 8 (laturi paralele între paralele) și AE = CD = 4 ⇒ EB = AB − AE = 10 − 4 = 6. (1 pct)
  2. În △BEC dreptunghic în E: BC² = EB² + CE² = 36 + 64 = 100 ⇒ BC = 10 cm. (1 pct)
2. b) Calculează aria trapezului ABCD.
  Vezi pașii din barem
  1. Înălțimea trapezului = AD = 8 cm (latura perpendiculară pe baze). (1 pct)
  2. Aria = (B+b)·h/2 = (10+4)·8/2 = 14·4. (1 pct)
  3. Aria = 56 cm². (1 pct)
Ex. 6În figura alăturată este reprezentat un con circular drept cu raza bazei R = 3 cm și înălțimea h = 4 cm. Notăm cu g generatoarea conului.
1. a) Calculează lungimea generatoarei g și aria laterală a conului.
  Vezi pașii din barem
  1. Generatoarea: g² = R² + h² = 9 + 16 = 25 ⇒ g = 5 cm. (1 pct)
  2. A_lat = πRg = π·3·5 = 15π cm². (1 pct)
2. b) Calculează volumul conului.
  Vezi pașii din barem
  1. Aria bazei: A_b = πR² = 9π cm². (1 pct)
  2. V = (1/3)·A_b·h = (1/3)·9π·4. (1 pct)
  3. V = 12π cm³. (1 pct)

Ai citit baremul. Acum dă-l propriu-zis.

Rezolvă acest subiect cronometrat în cont. La final, AI-ul îți spune câte puncte ai luat pe fiecare item, pe baremul oficial, plus o explicație pas-cu-pas pentru fiecare greșeală.

Începe simularea cronometrată →

5 credite bonus la înregistrare. Fără card.