Matematică — clasa VIII · 2026 · variantă de antrenament Era Lumis · nr. 9

Matematică · Variantă de antrenament Era Lumis nr. 9 (EN VIII, original)

A noua variantă originală de antrenament pentru EN VIII matematică, Era Lumis. Acoperă: inversul unei fracții, cardinalul unei mulțimi, precedența operațiilor cu paranteze, radicali, inecuație, probabilitate (zar), unghiuri opuse la vârf, triunghi echilateral, aria triunghiului cu bază/înălțime, romb prin diagonale, hexagon regulat (perimetru), sferă (aria suprafeței), raport vârste, diferență de pătrate, funcție liniară, triunghi dreptunghic (înălțime), pătrat cu segmente între mijloace, prismă patrulateră regulată.

Durată: 120 min
Exerciții: 18
Materie: Matematică
Sursă: Variantă originală Era Lumis

Rezolvă cronometrat cu AI →

Rezolvă în 2 ore, în condiții de examen. AI-ul îți corectează pe baremul oficial și îți explică, exercițiu cu exercițiu, unde te-ai încurcat — cu pași numerotați, ca un profesor de meditații.

Subiectul I — 6 exerciții grilă (algebră)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare răspuns corect = 5 puncte. Timp orientativ: 30 de minute.

Ex. 1Inversul (reciprocul) numărului \(\dfrac{2}{5}\) este:
1. A)\(\dfrac{2}{5}\)
2. B)\(-\dfrac{2}{5}\)
3. C)\(\dfrac{5}{2}\)
4. D)\(-\dfrac{5}{2}\)
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Inversul (reciprocul) lui \(\dfrac{a}{b}\) (cu \(a, b \neq 0\)) este \(\dfrac{b}{a}\). Deci inversul lui \(\dfrac{2}{5}\) este \(\dfrac{5}{2}\). Verificare: \(\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{5}{2} = 1\).
Ex. 2Numărul elementelor mulțimii \(A = \{x \in \mathbb{N} \mid 2 \leq x \leq 7\}\) este egal cu:
1. A)5
2. B)6
3. C)7
4. D)9
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Mulțimea conține toate numerele naturale de la 2 la 7 inclusiv: {2, 3, 4, 5, 6, 7}. Numărul de elemente = 7 − 2 + 1 = 6.
Ex. 3Rezultatul calculului \(-2^2 + (-2)^2\) este egal cu:
1. A)\(-8\)
2. B)\(-4\)
3. C)\(0\)
4. D)\(8\)
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Atenție la precedență: \(-2^2 = -(2^2) = -4\) (semnul minus se aplică DUPĂ ridicarea la pătrat). \((-2)^2 = 4\) (parantezele includ semnul). Suma: \(-4 + 4 = 0\).
Ex. 4Rezultatul calculului \(\sqrt{48}\) este egal cu:
1. A)\(2\sqrt{12}\)
2. B)\(3\sqrt{4}\)
3. C)\(4\sqrt{3}\)
4. D)\(6\sqrt{2}\)
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Caut cel mai mare pătrat perfect care divide 48: \(48 = 16 \cdot 3\). Atunci \(\sqrt{48} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}\).
Ex. 5Cel mai mare număr natural x care verifică inecuația \(x + 3 < 7\) este:
1. A)2
2. B)3
3. C)4
4. D)7
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Din \(x + 3 < 7\) rezultă \(x < 4\). În mulțimea numerelor naturale, cel mai mare \(x < 4\) este \(x = 3\).
Ex. 6Probabilitatea ca, la aruncarea unui zar (cu 6 fețe numerotate 1, 2, …, 6), să iasă un număr par este egală cu:
1. A)\(\dfrac{1}{6}\)
2. B)\(\dfrac{1}{3}\)
3. C)\(\dfrac{1}{2}\)
4. D)\(\dfrac{2}{3}\)
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Cazuri posibile: 6 (fețele 1−6). Cazuri favorabile (par): 2, 4, 6 ⇒ 3. P = 3/6 = 1/2.

Subiectul al II-lea — 6 exerciții grilă (geometrie)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare răspuns corect = 5 puncte. Timp orientativ: 30 de minute.

Ex. 1Două unghiuri sunt opuse la vârf. Dacă măsura unuia este 65°, atunci măsura celuilalt este:
1. A)25°
2. B)65°
3. C)115°
4. D)130°
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Două unghiuri opuse la vârf (formate de două drepte care se intersectează, în puncte opuse) sunt congruente. Deci m(unghi) = 65°.
Ex. 2Aria unui triunghi echilateral cu latura de 8 cm este egală cu:
1. A)\(4\sqrt{3}\) cm²
2. B)\(8\sqrt{3}\) cm²
3. C)\(16\sqrt{3}\) cm²
4. D)\(32\sqrt{3}\) cm²
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Aria triunghiului echilateral cu latura l este \(A = \dfrac{l^2 \sqrt{3}}{4}\). Pentru l = 8: \(A = \dfrac{64 \sqrt{3}}{4} = 16\sqrt{3}\) cm².
Ex. 3Aria unui triunghi cu baza de 10 cm și înălțimea corespunzătoare de 6 cm este egală cu:
1. A)16 cm²
2. B)30 cm²
3. C)32 cm²
4. D)60 cm²
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Aria triunghiului = \(\dfrac{\text{bază} \cdot \text{înălțime}}{2} = \dfrac{10 \cdot 6}{2} = 30\) cm².
Ex. 4Un romb are diagonalele cu lungimile de 12 cm și 16 cm. Perimetrul rombului este egal cu:
1. A)28 cm
2. B)40 cm
3. C)48 cm
4. D)96 cm
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Diagonalele rombului se taie perpendicular și se înjumătățesc ⇒ latura = \(\sqrt{(d_1/2)^2 + (d_2/2)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\) cm. Perimetru = 4·10 = 40 cm.
Ex. 5Perimetrul unui hexagon regulat cu latura de 5 cm este egal cu:
1. A)15 cm
2. B)20 cm
3. C)30 cm
4. D)60 cm
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Hexagonul regulat are 6 laturi egale. Perimetrul = 6·latura = 6·5 = 30 cm.
Ex. 6Aria suprafeței unei sfere de rază 3 cm este egală cu:
1. A)\(9\pi\) cm²
2. B)\(12\pi\) cm²
3. C)\(36\pi\) cm²
4. D)\(36\pi\) cm³
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Aria suprafeței sferei = \(4 \pi R^2\). Pentru \(R = 3\): \(4\pi \cdot 9 = 36\pi\) cm².

Subiectul al III-lea — 6 probleme cu rezolvare a/b

Scrie rezolvările complete. Fiecare subpunct (a) valorează 2 puncte, fiecare (b) valorează 3 puncte. Timp orientativ: 60 de minute.

Ex. 1Maria și Ana au împreună 24 de ani. Maria are vârsta de două ori mai mare decât Ana.
1. a) Calculează vârsta fiecăreia.
  Vezi pașii din barem
  1. Fie a = vârsta Anei. Atunci Maria = 2a. Suma: a + 2a = 3a = 24 ⇒ a = 8. (1 pct)
  2. Ana are 8 ani, Maria are 16 ani. (1 pct)
2. b) Peste câți ani Maria va avea triplul vârstei pe care o are Ana în prezent?
  Vezi pașii din barem
  1. Vârsta Anei acum = 8. Triplul = 24. Maria trebuie să ajungă la 24. (1 pct)
  2. Maria are 16 acum ⇒ trebuie să mai treacă 24 − 16 = 8 ani. (1 pct)
  3. Răspuns: peste 8 ani. (Verificare: Maria va avea 24, iar 24 = 3·8.) (1 pct)
Ex. 2Se consideră expresia \(E(x) = (x - 1)(x + 1) - x^2 + 5\), unde x este număr real.
1. a) Arată că \(E(x) = 4\), pentru orice număr real x.
  Vezi pașii din barem
  1. Folosesc diferența de pătrate: (x−1)(x+1) = x² − 1. (1 pct)
  2. E(x) = x² − 1 − x² + 5 = 4. ✓ (Termenii x² se reduc între ei.) (1 pct)
2. b) Demonstrează că E(x) este număr natural și calculează valoarea expresiei \(E(2025) + E(2026)\).
  Vezi pașii din barem
  1. Din a) E(x) = 4 pentru orice x real. 4 ∈ ℕ ⇒ E(x) este număr natural pentru orice x. (1 pct)
  2. E(2025) = 4 și E(2026) = 4 (valoarea este constantă, nu depinde de x). (1 pct)
  3. Suma: 4 + 4 = 8. (1 pct)
Ex. 3Se consideră funcția \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = 2x + 1\).
1. a) Calculează valoarea diferenței \(f(3) - f(1)\).
  Vezi pașii din barem
  1. f(3) = 2·3 + 1 = 7, f(1) = 2·1 + 1 = 3. (1 pct)
  2. f(3) − f(1) = 7 − 3 = 4. (1 pct)
2. b) Verifică dacă punctul \(A(2, 5)\) aparține reprezentării grafice a funcției f. Determină coordonatele punctului în care graficul intersectează axa Oy.
  Vezi pașii din barem
  1. Verificare A(2, 5): f(2) = 2·2 + 1 = 5. Deci 5 = f(2) ⇒ A aparține graficului. (1 pct)
  2. Intersecția cu Oy: x = 0 ⇒ f(0) = 1 ⇒ B(0, 1). (1 pct)
  3. Concluzie: A(2, 5) ∈ graficului; graficul taie Oy în B(0, 1). (1 pct)
Ex. 4În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC dreptunghic în A, cu AB = 9 cm și AC = 12 cm.
1. a) Calculează lungimea ipotenuzei BC și aria triunghiului ABC.
  Vezi pașii din barem
  1. Pitagora: BC² = AB² + AC² = 81 + 144 = 225 ⇒ BC = 15 cm. (3-4-5 multiplu de 3.) (1 pct)
  2. Aria = AB·AC/2 = 9·12/2 = 54 cm². (1 pct)
2. b) Calculează lungimea înălțimii din vârful A pe ipotenuza BC.
  Vezi pașii din barem
  1. Notăm AH înălțimea din A. Aria și cu BC ca bază: A = BC·AH/2. (1 pct)
  2. 54 = 15·AH/2 ⇒ AH = 108/15. (1 pct)
  3. AH = 36/5 = 7,2 cm. (1 pct)
Ex. 5În figura alăturată este reprezentat pătratul ABCD cu latura AB = 8 cm. M este mijlocul laturii AB, iar N este mijlocul laturii AD.
1. a) Calculează aria triunghiului AMN.
  Vezi pașii din barem
  1. AM = AB/2 = 4 cm, AN = AD/2 = 4 cm. m(∢A) = 90° (unghi al pătratului). (1 pct)
  2. Aria △AMN dreptunghic în A: A = AM·AN/2 = 4·4/2 = 8 cm². (1 pct)
2. b) Calculează lungimea segmentului MN.
  Vezi pașii din barem
  1. În △AMN dreptunghic în A: MN² = AM² + AN² = 16 + 16 = 32. (1 pct)
  2. MN = √32 = √(16·2) = 4√2 cm. (1 pct)
  3. Observație: MN este linia mijlocie a △ABD ⇒ MN = BD/2 = 8√2/2 = 4√2 ✓. (1 pct)
Ex. 6În figura alăturată este reprezentată prisma patrulateră regulată ABCDA'B'C'D' cu latura bazei AB = 3 cm și înălțimea AA' = 8 cm.
1. a) Calculează aria laterală a prismei.
  Vezi pașii din barem
  1. Perimetrul bazei (pătrat cu latura 3) = 4·3 = 12. (1 pct)
  2. A_lat = P_bază · înălțime = 12·8 = 96 cm². (1 pct)
2. b) Calculează volumul prismei.
  Vezi pașii din barem
  1. Aria bazei (pătrat) = 3² = 9 cm². (1 pct)
  2. V = A_bază · înălțime = 9·8. (1 pct)
  3. V = 72 cm³. (1 pct)

Ai citit baremul. Acum dă-l propriu-zis.

Rezolvă acest subiect cronometrat în cont. La final, AI-ul îți spune câte puncte ai luat pe fiecare item, pe baremul oficial, plus o explicație pas-cu-pas pentru fiecare greșeală.

Începe simularea cronometrată →

5 credite bonus la înregistrare. Fără card.