Matematică — clasa VIII · 2026 · variantă de antrenament Era Lumis · nr. 9

Matematică · Variantă de antrenament Era Lumis nr. 9 (EN VIII, original)

A noua variantă originală de antrenament pentru EN VIII matematică, Era Lumis. Acoperă: inversul unei fracții, cardinalul unei mulțimi, precedența operațiilor cu paranteze, radicali, inecuație, probabilitate (zar), unghiuri opuse la vârf, triunghi echilateral, aria triunghiului cu bază/înălțime, romb prin diagonale, hexagon regulat (perimetru), sferă (aria suprafeței), raport vârste, diferență de pătrate, funcție liniară, triunghi dreptunghic (înălțime), pătrat cu segmente între mijloace, prismă patrulateră regulată.

Durată: 120 min
Exerciții: 18
Materie: Matematică
Sursă: Variantă originală Era Lumis

Rezolvă cronometrat cu AI →

Rezolvă în 2 ore, în condiții de examen. AI-ul îți corectează pe baremul oficial și îți explică, exercițiu cu exercițiu, unde te-ai încurcat — cu pași numerotați, ca un profesor de meditații.

Subiectul I — 6 exerciții grilă (algebră)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare răspuns corect = 5 puncte. Timp orientativ: 15 minute — Subiectele I și II, împreună, sub 30 de minute.

Ex. 1Inversul (reciprocul) numărului $\frac{2}{5}$ este:
1. A) $\frac{2}{5}$
2. B) $- \frac{2}{5}$
3. C) $\frac{5}{2}$
4. D) $- \frac{5}{2}$
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Inversul (reciprocul) lui $\frac{a}{b}$ (cu $a, b \neq = 0$ ) este $\frac{b}{a}$ . Deci inversul lui $\frac{2}{5}$ este $\frac{5}{2}$ . Verificare: $\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2} = 1$ .
Rezolvare completă
Ex. 2Numărul elementelor mulțimii $A = {x \in N ∣ 2 \leq x \leq 7}$ este egal cu:
1. A)5
2. B)6
3. C)7
4. D)9
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Mulțimea conține toate numerele naturale de la 2 la 7 inclusiv: {2, 3, 4, 5, 6, 7}. Numărul de elemente = 7 − 2 + 1 = 6.
Rezolvare completă
Ex. 3Rezultatul calculului $- 2^{2} + (- 2)^{2}$ este egal cu:
1. A) $- 8$
2. B) $- 4$
3. C) $0$
4. D) $8$
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Atenție la precedență: $- 2^{2} = - (2^{2}) = - 4$ (semnul minus se aplică DUPĂ ridicarea la pătrat). $(- 2)^{2} = 4$ (parantezele includ semnul). Suma: $- 4 + 4 = 0$ .
Rezolvare completă
Ex. 4Rezultatul calculului $48$ este egal cu:
1. A) $412$
2. B) $34$
3. C) $43$
4. D) $62$
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Caut cel mai mare pătrat perfect care divide 48: $48 = 16 \cdot 3$ . Atunci $48 = 16 \cdot 3 = 43$ .
Rezolvare completă
Ex. 5Cel mai mare număr natural x care verifică inecuația $x + 3 < 7$ este:
1. A)2
2. B)3
3. C)4
4. D)7
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Din $x + 3 < 7$ rezultă $x < 4$ . În mulțimea numerelor naturale, cel mai mare $x < 4$ este $x = 3$ .
Rezolvare completă
Ex. 6Probabilitatea ca, la aruncarea unui zar (cu 6 fețe numerotate 1, 2, …, 6), să iasă un număr par este egală cu:
1. A) $\frac{1}{6}$
2. B) $\frac{1}{3}$
3. C) $\frac{1}{2}$
4. D) $\frac{2}{3}$
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Cazuri posibile: 6 (fețele 1−6). Cazuri favorabile (par): 2, 4, 6 ⇒ 3. P = 3/6 = 1/2.
Rezolvare completă

Subiectul al II-lea — 6 exerciții grilă (geometrie)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare răspuns corect = 5 puncte. Timp orientativ: 15 minute — Subiectele I și II, împreună, sub 30 de minute.

Ex. 1Două unghiuri sunt opuse la vârf. Dacă măsura unuia este 65°, atunci măsura celuilalt este:
1. A)25°
2. B)65°
3. C)115°
4. D)130°
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Două unghiuri opuse la vârf (formate de două drepte care se intersectează, în puncte opuse) sunt congruente. Deci m(unghi) = 65°.
Rezolvare completă
Ex. 2Aria unui triunghi echilateral cu latura de 8 cm este egală cu:
1. A) $43$ cm²
2. B) $83$ cm²
3. C) $163$ cm²
4. D) $323$ cm²
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Aria triunghiului echilateral cu latura l este $A = \frac{l ^{2} 3}{4}$ . Pentru l = 8: $A = \frac{64 3}{4} = 163$ cm².
Rezolvare completă
Ex. 3Aria unui triunghi cu baza de 10 cm și înălțimea corespunzătoare de 6 cm este egală cu:
1. A)16 cm²
2. B)30 cm²
3. C)32 cm²
4. D)60 cm²
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Aria triunghiului = $\frac{baz a ˘ \cdot ı ˆ n a ˘ l ț ime}{2} = \frac{10 \cdot 6}{2} = 30$ cm².
Rezolvare completă
Ex. 4Un romb are diagonalele cu lungimile de 12 cm și 16 cm. Perimetrul rombului este egal cu:
1. A)28 cm
2. B)40 cm
3. C)48 cm
4. D)96 cm
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Diagonalele rombului se taie perpendicular și se înjumătățesc ⇒ latura = $(d_{1} /2)^{2} + (d_{2} /2)^{2} = 36 + 64 = 100 = 10$ cm. Perimetru = 4·10 = 40 cm.
Rezolvare completă
Ex. 5Perimetrul unui hexagon regulat cu latura de 5 cm este egal cu:
1. A)15 cm
2. B)20 cm
3. C)30 cm
4. D)60 cm
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Hexagonul regulat are 6 laturi egale. Perimetrul = 6·latura = 6·5 = 30 cm.
Rezolvare completă
Ex. 6Aria suprafeței unei sfere de rază 3 cm este egală cu:
1. A) $9 π$ cm²
2. B) $12 π$ cm²
3. C) $36 π$ cm²
4. D) $36 π$ cm³
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Aria suprafeței sferei = $4 π R^{2}$ . Pentru $R = 3$ : $4 π \cdot 9 = 36 π$ cm².
Rezolvare completă

Subiectul al III-lea — 6 probleme cu rezolvare a/b

Scrie rezolvările complete. Fiecare subpunct (a) valorează 2 puncte, fiecare (b) valorează 3 puncte. Timp orientativ: 90 de minute — cât îți rămâne după Subiectele I și II.

Ex. 1Maria și Ana au împreună 24 de ani. Maria are vârsta de două ori mai mare decât Ana.
1. a) Calculează vârsta fiecăreia.
  Vezi pașii din barem
  1. Fie a = vârsta Anei. Atunci Maria = 2a. Suma: a + 2a = 3a = 24 ⇒ a = 8. (1 pct)
  2. Ana are 8 ani, Maria are 16 ani. (1 pct)
2. b) Peste câți ani Maria va avea triplul vârstei pe care o are Ana în prezent?
  Vezi pașii din barem
  1. Vârsta Anei acum = 8. Triplul = 24. Maria trebuie să ajungă la 24. (1 pct)
  2. Maria are 16 acum ⇒ trebuie să mai treacă 24 − 16 = 8 ani. (1 pct)
  3. Răspuns: peste 8 ani. (Verificare: Maria va avea 24, iar 24 = 3·8.) (1 pct)
Rezolvare completă
Ex. 2Se consideră expresia $E (x) = (x - 1) (x + 1) - x^{2} + 5$ , unde x este număr real.
1. a) Arată că $E (x) = 4$ , pentru orice număr real x.
  Vezi pașii din barem
  1. Folosesc diferența de pătrate: (x−1)(x+1) = x² − 1. (1 pct)
  2. E(x) = x² − 1 − x² + 5 = 4. ✓ (Termenii x² se reduc între ei.) (1 pct)
2. b) Demonstrează că E(x) este număr natural și calculează valoarea expresiei $E (2025) + E (2026)$ .
  Vezi pașii din barem
  1. Din a) E(x) = 4 pentru orice x real. 4 ∈ ℕ ⇒ E(x) este număr natural pentru orice x. (1 pct)
  2. E(2025) = 4 și E(2026) = 4 (valoarea este constantă, nu depinde de x). (1 pct)
  3. Suma: 4 + 4 = 8. (1 pct)
Rezolvare completă
Ex. 3Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 2 x + 1$ .
1. a) Calculează valoarea diferenței $f (3) - f (1)$ .
  Vezi pașii din barem
  1. f(3) = 2·3 + 1 = 7, f(1) = 2·1 + 1 = 3. (1 pct)
  2. f(3) − f(1) = 7 − 3 = 4. (1 pct)
2. b) Verifică dacă punctul $A (2, 5)$ aparține reprezentării grafice a funcției f. Determină coordonatele punctului în care graficul intersectează axa Oy.
  Vezi pașii din barem
  1. Verificare A(2, 5): f(2) = 2·2 + 1 = 5. Deci 5 = f(2) ⇒ A aparține graficului. (1 pct)
  2. Intersecția cu Oy: x = 0 ⇒ f(0) = 1 ⇒ B(0, 1). (1 pct)
  3. Concluzie: A(2, 5) ∈ graficului; graficul taie Oy în B(0, 1). (1 pct)
Rezolvare completă
Ex. 4În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC dreptunghic în A, cu AB = 9 cm și AC = 12 cm.
1. a) Calculează lungimea ipotenuzei BC și aria triunghiului ABC.
  Vezi pașii din barem
  1. Pitagora: BC² = AB² + AC² = 81 + 144 = 225 ⇒ BC = 15 cm. (3-4-5 multiplu de 3.) (1 pct)
  2. Aria = AB·AC/2 = 9·12/2 = 54 cm². (1 pct)
2. b) Calculează lungimea înălțimii din vârful A pe ipotenuza BC.
  Vezi pașii din barem
  1. Notăm AH înălțimea din A. Aria și cu BC ca bază: A = BC·AH/2. (1 pct)
  2. 54 = 15·AH/2 ⇒ AH = 108/15. (1 pct)
  3. AH = 36/5 = 7,2 cm. (1 pct)
Rezolvare completă
Ex. 5În figura alăturată este reprezentat pătratul ABCD cu latura AB = 8 cm. M este mijlocul laturii AB, iar N este mijlocul laturii AD.
1. a) Calculează aria triunghiului AMN.
  Vezi pașii din barem
  1. AM = AB/2 = 4 cm, AN = AD/2 = 4 cm. m(∢A) = 90° (unghi al pătratului). (1 pct)
  2. Aria △AMN dreptunghic în A: A = AM·AN/2 = 4·4/2 = 8 cm². (1 pct)
2. b) Calculează lungimea segmentului MN.
  Vezi pașii din barem
  1. În △AMN dreptunghic în A: MN² = AM² + AN² = 16 + 16 = 32. (1 pct)
  2. MN = √32 = √(16·2) = 4√2 cm. (1 pct)
  3. Observație: MN este linia mijlocie a △ABD ⇒ MN = BD/2 = 8√2/2 = 4√2 ✓. (1 pct)
Rezolvare completă
Ex. 6În figura alăturată este reprezentată prisma patrulateră regulată ABCDA'B'C'D' cu latura bazei AB = 3 cm și înălțimea AA' = 8 cm.
1. a) Calculează aria laterală a prismei.
  Vezi pașii din barem
  1. Perimetrul bazei (pătrat cu latura 3) = 4·3 = 12. (1 pct)
  2. $A_{lat} = P_{baza} \cdot$ înălțime $= 12 \cdot 8 = 96$ cm². (1 pct)
2. b) Calculează volumul prismei.
  Vezi pașii din barem
  1. Aria bazei (pătrat) = 3² = 9 cm². (1 pct)
  2. $V = A_{baza} \cdot$ înălțime $= 9 \cdot 8$ . (1 pct)
  3. V = 72 cm³. (1 pct)
Rezolvare completă

Ai citit baremul. Acum dă-l propriu-zis.

Rezolvă acest subiect cronometrat în cont. La final, AI-ul îți spune câte puncte ai luat pe fiecare item, pe baremul oficial, plus o explicație pas-cu-pas pentru fiecare greșeală.

Începe simularea cronometrată →

5 credite bonus la înregistrare. Fără card.