Matematică · 10 min de citit

Asemănarea triunghiurilor

Două triunghiuri asemenea au unghiurile respectiv congruente și laturile omoloage proporționale. Din acest raport de asemănare se scot direct laturi necunoscute, perimetre și — la pătrat — raportul ariilor.

Exerciții de examen pe această temă:Asemănare (3)

1. Ce înseamnă triunghiuri asemenea. Cazul U.U.

Două triunghiuri sunt asemenea dacă au unghiurile respectiv congruente, iar laturile omoloage (care se corespund) sunt proporționale.

Cel mai folosit criteriu de recunoaștere e cazul U.U. (unghi-unghi): dacă două unghiuri ale unui triunghi sunt congruente cu două unghiuri ale altui triunghi, cele două triunghiuri sunt asemenea — al treilea unghi rezultă automat egal (suma unghiurilor unui triunghi e mereu 180°).

La scrierea asemănării, ordinea literelor contează — $△ A B C \sim △ D E F$ înseamnă A corespunde lui D, B lui E, C lui F, exact în ordinea asta.

exemplu rezolvat

În triunghiul ABC, punctul D e pe AC astfel încât ∢DBC ≡ ∢BAC. Arată că △DBC ~ △BAC.

Unghiul C e comun ambelor triunghiuri: ∢DCB = ∢ACB (același unghi).

Din ipoteză: ∢DBC = ∢BAC.

Două unghiuri respectiv congruente ⇒ △DBC ~ △BAC (cazul U.U., cu corespondența D↔B, B↔A, C↔C).

2. Raportul de asemănare aplicat laturilor

Odată stabilită asemănarea și corespondența dintre vârfuri, laturile omoloage sunt proporționale cu același raport — numit raportul de asemănare, k. Dintr-o singură pereche de laturi cunoscute afli k, apoi îl aplici la orice altă latură a triunghiului.

exemplu rezolvat

Din △DBC ~ △BAC (D↔B, B↔A, C↔C), cu BC = 10 cm și AC = 20 cm, calculează DC.

Latura DC din primul triunghi corespunde laturii BC din al doilea (D↔B, C↔C): $\frac{D C}{B C} = \frac{B C}{A C}$

$\frac{D C}{10} = \frac{10}{20} \Rightarrow D C = \frac{100}{20} = 5$ cm

exemplu rezolvat

În triunghiul echilateral ABC (AB=3), M pe AB cu AM=1. Paralela prin M la AC intersectează BC în P. Arată că perimetrul △BMP este 6 cm.

MP ∥ AC ⇒ △BMP ~ △BAC (corespondență B↔B, M↔A, P↔C).

BM = AB − AM = 3 − 1 = 2. Raportul de asemănare: $k = \frac{B M}{B A} = \frac{2}{3}$

MP = k · AC = 2, BP = k · BC = 2. Perimetru = BM + MP + BP = 2 + 2 + 2 = 6 cm

3. Raportul ariilor: pătratul raportului de asemănare

Pentru două figuri asemenea (nu doar triunghiuri), raportul ariilor nu e egal cu raportul laturilor — e pătratul lui:

$\frac{A _{1}}{A _{2}} = (\frac{l _{1}}{l _{2}})^{2}$

Are sens intuitiv: aria se calculează din produsul a două lungimi, deci se „dublează" efectul raportului de asemănare.

exemplu rezolvat

Două triunghiuri asemenea au raportul laturilor omoloage 2:5. Care e raportul ariilor?

$\frac{A _{1}}{A _{2}} = (\frac{2}{5})^{2} = \frac{4}{25}$

Raportul ariilor este 4 : 25, nu 2 : 5 — capcana cea mai frecventă a capitolului.

4. Greșeli care costă puncte

Raportul ariilor e pătratul raportului laturilor, nu raportul direct — 2:5 devine 4:25, nu rămâne 2:5.
Ordinea literelor în △ABC ~ △DEF fixează corespondența — schimbarea ordinii schimbă ce laturi/unghiuri se corespund.
Cazul U.U. cere doar DOUĂ perechi de unghiuri congruente — al treilea rezultă automat, nu trebuie demonstrat separat.
Raportul de asemănare se aplică fiecărei laturi omoloage la fel — nu doar celei pentru care ai date inițiale.

Ce trebuie să știi pe de rost

Cele 4 de idei din lecție, în formă scurtă. În cont le poți exersa ca flashcards, iar algoritmul ți le readuce exact înainte să le uiți.

Ce spune cazul U.U. de asemănare a triunghiurilor?: Dacă două unghiuri ale unui triunghi sunt congruente cu două unghiuri ale altui triunghi, cele două triunghiuri sunt asemenea.
Ce relație au laturile omoloage a două triunghiuri asemenea?: Sunt proporționale, cu același raport de asemănare k pentru toate perechile.
Cum se leagă raportul ariilor de raportul laturilor, la figuri asemenea?: Raportul ariilor e pătratul raportului laturilor: A₁/A₂ = (l₁/l₂)².
De ce contează ordinea literelor în △ABC ~ △DEF?: Fixează corespondența: A↔D, B↔E, C↔F — decide ce laturi și unghiuri se corespund.

Teoria se uită. Flashcardurile nu te lasă.

În cont, cele 4 de cards intră într-un program de repetiție: cele grele revin mâine, cele ușoare peste câteva zile. Plus simulări corectate pe baremul oficial.

Exersează cu flashcards →

5 credite bonus la înregistrare. Fără card.