Cercul: lungime, arie, unghiuri și tangente

Pentru un cerc de rază R (diametru d = 2R):

• Lungimea cercului: L = 2πR = πd
• Aria discului: A = πR²

Cercul e linia; discul e suprafața dinăuntru. Enunțurile spun „lungimea cercului" și „aria discului mărginit de cerc" tocmai ca să nu le confunzi.

La grilă, rezultatele se lasă în funcție de π: 4 cm rază ⇒ L = 8π cm, A = 16π cm². Nu înlocui π cu 3,14 decât dacă ți se cere explicit — variantele de răspuns sunt aproape mereu scrise cu π.

Capcana cea mai frecventă: ți se dă diametrul, nu raza. „Un cerc cu diametrul de 6 cm" ⇒ R = 3, deci A = 9π, nu 36π.

Un sector circular e „felia" de disc cuprinsă între două raze, cu unghiul la centru de u°. Din tot discul iei fracția u/360:

• Aria sectorului: A = u/360 · πR²
• Lungimea arcului: l = u/360 · 2πR

Cazurile rotunde merită știute pe de rost: 90° = un sfert din disc, 180° = jumătate, 60° = a șasea parte, 120° = o treime.

O coroană circulară e regiunea dintre două cercuri concentrice (același centru), de raze R (mare) și r (mic):

• Aria coroanei: A = πR² − πr² = π(R² − r²)

Se scade aria discului mic din a celui mare — nu se scad razele înainte de a le ridica la pătrat: π(5² − 3²) = 16π, nu π(5 − 3)² = 4π.

Măsura unui arc este, prin definiție, măsura unghiului la centru care îl cuprinde. De aici, o singură regulă acoperă toate exercițiile cu unghiuri:

Unghiul înscris în cerc (cu vârful pe cerc) are măsura egală cu jumătate din arcul cuprins între laturile lui.

• unghi la centru = măsura arcului
• unghi înscris = arcul / 2

Trei consecințe pe care se construiesc majoritatea grilelor:

• Unghiul înscris care „vede" un diametru are 90° (arcul e semicercul, 180°). De aceea un triunghi înscris într-un cerc cu o latură diametru este dreptunghic.
• Unghiuri înscrise care cuprind același arc sunt congruente.
• Într-un patrulater inscriptibil (cu toate vârfurile pe cerc), unghiurile opuse sunt suplementare: suma lor este 180°.

Cercul întreg are 360°, deci arcele complementare se deduc prin scădere.

Perpendiculara dusă din centru pe o coardă cade exact în mijlocul ei. Asta transformă orice problemă cu coardă într-un triunghi dreptunghic cu:

• ipotenuza = R (raza dusă la un capăt al coardei),
• o catetă = distanța d de la centru la coardă,
• cealaltă catetă = jumătate din coardă.

Deci: (coarda/2)² + d² = R²

De aici se află orice mărime lipsă, cu Pitagora. Cu cât coarda e mai aproape de centru, cu atât e mai lungă; diametrul e cea mai lungă coardă.

Tangenta este perpendiculară pe raza dusă în punctul de tangență. Din nou un triunghi dreptunghic, de data asta cu:

• ipotenuza = distanța OP de la centru la punctul exterior,
• catete = raza R și segmentul de tangentă PT.

PT² = OP² − R²

Din același punct exterior se pot duce două tangente, iar segmentele sunt congruente: PA = PB.

Un cerc înscris într-un poligon este tangent la toate laturile lui; un cerc circumscris trece prin toate vârfurile. Pentru un pătrat de latură l: cercul înscris are R = l/2, iar cel circumscris are R = l√2/2.

Într-un hexagon regulat înscris într-un cerc, latura este egală cu raza: l = R. De aceea hexagonul se descompune în 6 triunghiuri echilaterale, iar aria lui este 6 · l²√3/4 = 3l²√3/2.

Pentru un triunghi echilateral de latură l: raza cercului circumscris este R = l√3/3, iar cea a cercului înscris r = l√3/6 (adică R/2).

Pentru un triunghi dreptunghic, centrul cercului circumscris este mijlocul ipotenuzei, deci R = ipotenuza/2 — relația care apare cel mai des în variante.

• Diametrul în locul razei. Citește de două ori ce ți se dă; jumătate din distractori se bazează pe asta.
• Cerc vs disc. Lungime ⇒ 2πR; arie ⇒ πR².
• Unghiul înscris e jumătate din arc, nu egal cu el.
• La coroană se scad ariile, nu razele: π(R² − r²).
• π nu se aproximează decât dacă ți se cere; variantele sunt scrise cu π.
• Unitățile: lungimi în cm, arii în cm².