Matematică · 13 min de citit

Corpuri rotunde: cilindru, con și sferă

Cilindrul, conul și sfera au fiecare doar două-trei formule de reținut. Cea mai mare parte a punctelor se pierde nu la formulă, ci la generatoarea conului — un Pitagora ascuns în interiorul corpului.

Exerciții de examen pe această temă:Corpuri de rotație (19)

1. Cilindrul circular drept

Un cilindru e determinat de raza bazei R și înălțimea h. Desfășurat, învelișul lateral devine un dreptunghi: o latură e înălțimea h, cealaltă e chiar lungimea cercului bazei, $2 π R$ — de aici vine formula.

Aria laterală: $A_{lat} = 2 π R h$
Aria totală: $A_{t} = A_{lat} + 2 \cdot A_{baza} = 2 π R h + 2 π R^{2}$ (adaugi cele două discuri, de sus și de jos)
Volumul: $V = A_{baza} \cdot h = π R^{2} h$

exemplu rezolvat

Un cilindru circular drept are raza bazei R = 3 cm și înălțimea h = 5 cm. Calculează aria laterală și volumul.

$A_{lat} = 2 π R h = 2 π \cdot 3 \cdot 5 = 30 π$ cm²

$V = π R^{2} h = π \cdot 9 \cdot 5 = 45 π$ cm³

exemplu rezolvat

Un cilindru are raza bazei R = 5 cm și înălțimea h = 10 cm. Calculează aria totală.

$A_{lat} = 2 π \cdot 5 \cdot 10 = 100 π$ cm²
$A_{baza} = π \cdot 25 = 25 π$ cm²
$A_{t} = 100 π + 2 \cdot 25 π = 100 π + 50 π = 150 π$ cm²

Greșeala tipică: adunarea unui singur disc, nu a două — cilindrul are bază și capac.

2. Conul circular drept: generatoarea prin Pitagora

Un con e determinat de raza bazei R și înălțimea h. Spre deosebire de cilindru, mai apare un al treilea element: generatoarea g, segmentul de pe suprafața laterală, de la vârf la marginea bazei.

R, h și g formează un triunghi dreptunghic (înălțimea e perpendiculară pe bază), deci g se scoate mereu din Pitagora:

$g^{2} = R^{2} + h^{2}$

Cu g aflată, restul e direct — aria laterală a conului desfășurat e un sector de cerc de rază g:

Aria laterală: $A_{lat} = π R g$
Volumul: $V = \frac{1}{3} \cdot A_{baza} \cdot h = \frac{π R ^{2} h}{3}$ — o treime din volumul unui cilindru cu aceeași bază și înălțime.

exemplu rezolvat

Un con circular drept are raza bazei R = 3 cm și înălțimea h = 4 cm. Calculează generatoarea și aria laterală.

$g^{2} = R^{2} + h^{2} = 9 + 16 = 25 \Rightarrow g = 5$ cm

$A_{lat} = π R g = π \cdot 3 \cdot 5 = 15 π$ cm²

exemplu rezolvat

Același con (R = 3 cm, h = 4 cm). Calculează volumul.

$V = \frac{π R ^{2} h}{3} = \frac{π \cdot 9 \cdot 4}{3} = \frac{36 π}{3} = 12 π$ cm³

3. Secțiunea axială a conului

Secțiunea axială e triunghiul obținut tăind conul printr-un plan care trece prin vârf și prin centrul bazei — un triunghi isoscel cu bazele VA = VB = g (generatoarele) și AB = 2R (diametrul bazei).

Când enunțul spune că unghiul din vârf e drept, triunghiul VAB e dreptunghic în V, iar Pitagora leagă direct generatoarea de diametru:

$V A^{2} + V B^{2} = A B^{2} \Rightarrow 2 g^{2} = (2 R)^{2}$

exemplu rezolvat

Secțiunea axială VAB a unui con e triunghi dreptunghic în V, iar raza bazei este R = 4 cm. Află generatoarea.

AB = 2R = 8 cm (diametrul bazei). Cu unghiul drept în V: VA = VB = g.
$2 g^{2} = A B^{2} = 64 \Rightarrow g^{2} = 32 \Rightarrow g = 32 = 42$ cm

4. Trunchiul de con

Un trunchi de con are două raze — R (baza mare) și r (baza mică) — plus înălțimea h. Generatoarea nu mai iese direct din R și h, ci din diferența razelor:

$g = h^{2} + (R - r)^{2}$

Aria laterală adună cele două cercuri, prin semisuma lor:

$A_{lat} = π (R + r) g$

exemplu rezolvat

Un trunchi de con are R = 6 cm, r = 2 cm și h = 3 cm. Calculează aria laterală.

$g = h^{2} + (R - r)^{2} = 9 + 16 = 25 = 5$ cm

$A_{lat} = π (R + r) g = π \cdot 8 \cdot 5 = 40 π$ cm²

Greșeala frecventă: folosirea lui (R + r) în loc de (R − r) la generatoare, sau invers la aria laterală — reține care formulă cere sumă și care cere diferență.

5. Sfera

Sfera e cel mai simplu corp din capitol: un singur element, raza R, și două formule.

Aria suprafeței: $S = 4 π R^{2}$
Volumul: $V = \frac{4 π R ^{3}}{3}$

Când enunțul dă aria și cere raza, mergi invers: împarți S la $4 π$ și extragi radical.

exemplu rezolvat

O sferă are raza R = 3 cm. Calculează aria suprafeței și volumul.

$S = 4 π R^{2} = 4 π \cdot 9 = 36 π$ cm²

$V = \frac{4 π R ^{3}}{3} = \frac{4 π \cdot 27}{3} = 36 π$ cm³

Nu e o greșeală faptul că cele două valori numerice coincid (36π) — e o coincidență a lui R = 3, nu o regulă generală.

exemplu rezolvat

O sferă are aria suprafeței $36 π$ cm². Determină raza.

$4 π R^{2} = 36 π \Rightarrow R^{2} = 9 \Rightarrow R = 3$ cm

6. Sfera înscrisă și circumscrisă unui cub

Cea mai frecventă combinație dintre corpurile rotunde și cele poliedrice. Cheia e observarea corectă a segmentului care devine diametrul sferei:

Sfera înscrisă (tangentă la cele 6 fețe ale cubului): diametrul sferei = latura cubului. $2 R = l$
Sfera circumscrisă (trece prin cele 8 vârfuri): diametrul sferei = diagonala spațială a cubului. $2 R = l 3$

Diferența dintre cele două nu e o formulă de reținut separat — e diagonala cubului (vezi lecția de prisme și cuburi) recunoscută la locul potrivit.

exemplu rezolvat

Un cub are latura de 6 cm și o sferă înscrisă (tangentă la cele 6 fețe). Calculează volumul sferei.

Sfera înscrisă: $2 R = l = 6 \Rightarrow R = 3$ cm

$V = \frac{4 π R ^{3}}{3} = \frac{4 π \cdot 27}{3} = 36 π$ cm³

exemplu rezolvat

Un cub are latura de 4 cm și o sferă circumscrisă (trece prin cele 8 vârfuri). Arată că raza sferei este $R = 23$ cm.

Diagonala cubului = diametrul sferei: $d_{cub} = l 3 = 43$ cm

$2 R = 43 \Rightarrow R = 23$ cm

7. Greșeli care costă puncte

Generatoarea conului nu e dată direct — se scoate din Pitagora, $g^{2} = R^{2} + h^{2}$ , aproape de fiecare dată.
Aria totală a cilindrului adaugă DOUĂ discuri, nu unul — bază și capac.
Volumul conului e o treime din cel al unui cilindru cu aceeași bază și înălțime — factorul 1/3 se uită des.
La trunchiul de con, generatoarea folosește diferența razelor (R − r), dar aria laterală folosește suma lor (R + r) — nu se încurcă, dar se confundă des.
Sfera înscrisă în cub: diametrul = latura. Sfera circumscrisă: diametrul = diagonala spațială (l√3) — cu cele două ușor de inversat.
Nu aproxima π la grilă; variantele de răspuns sunt scrise cu π, nu cu 3,14.

Antrenament pe subiecte oficiale

8 exerciții date la Evaluarea Națională, la acest capitol. Fiecare cu explicație pe toate variantele și cu link către rezolvarea întreagă.

exercițiul 1 din 8 · 0 corecte

Un trunchi de con circular drept are razele bazelor R = 6 cm și r = 2 cm, iar înălțimea h = 3 cm. Aria laterală a trunchiului este:

Ce trebuie să știi pe de rost

Cele 10 de idei din lecție, în formă scurtă. În cont le poți exersa ca flashcards, iar algoritmul ți le readuce exact înainte să le uiți.

Formula ariei laterale a cilindrului?: $A_{lat} = 2 π R h$ — desfășurat, e un dreptunghi cu laturile $2 π R$ (cercul bazei) și h.
Cum calculezi aria totală a cilindrului?: $A_{t} = A_{lat} + 2 \cdot A_{baza}$ — se adaugă DOUĂ discuri, nu unul.
Formula volumului cilindrului?: $V = π R^{2} h$ , adică aria bazei ori înălțimea.
Cum afli generatoarea g a unui con din R și h?: Din Pitagora: $g^{2} = R^{2} + h^{2}$ (R, h și g formează un triunghi dreptunghic în interiorul conului).
Formula ariei laterale a conului?: $A_{lat} = π R g$ , unde g e generatoarea (nu înălțimea!).
Formula volumului conului?: $V = \frac{π R ^{2} h}{3}$ — o treime din volumul unui cilindru cu aceeași bază și înălțime.
Formulele generatoarei și ariei laterale la trunchiul de con (raze R și r)?: $g = h^{2} + (R - r)^{2}$ — diferența razelor. $A_{lat} = π (R + r) g$ — suma razelor.
Formulele ariei și volumului sferei de rază R?: $S = 4 π R^{2}$ . $V = \frac{4 π R ^{3}}{3}$ .
Sferă înscrisă într-un cub cu latura l — cât e raza?: Diametrul sferei = latura cubului: $2 R = l$ .
Sferă circumscrisă unui cub cu latura l — cât e raza?: Diametrul sferei = diagonala spațială a cubului: $2 R = l 3$ .

Teoria se uită. Flashcardurile nu te lasă.

În cont, cele 10 de cards intră într-un program de repetiție: cele grele revin mâine, cele ușoare peste câteva zile. Plus simulări corectate pe baremul oficial.

Exersează cu flashcards →

5 credite bonus la înregistrare. Fără card.