Matematică · 13 min de citit

Divizibilitate: CMMDC, CMMMC și criterii

Aproape tot capitolul pornește din același loc: descompunerea unui număr în factori primi. Odată descompuse, CMMDC și CMMMC se citesc direct, iar criteriile de divizibilitate scurtează calculul pentru cazurile simple.

Exerciții de examen pe această temă:Divizibilitate (20)

1. Divizor, multiplu, număr prim

a este divizor al lui b dacă b se împarte exact la a (fără rest). Echivalent, b este multiplu al lui a.

Mulțimea divizorilor unui număr se găsește descompunându-l în factori primi și combinând factorii — dar pentru numere mici, e mai rapid să încerci direct fiecare candidat.

Un număr prim are exact doi divizori naturali: 1 și el însuși. 1 NU este număr prim (are un singur divizor). Primele numere prime: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19... — 2 e singurul număr prim par.

exemplu rezolvat

Mulțimea divizorilor naturali ai numărului 18 are câte elemente?

Descompunere: 18 = 2 · 3². Numărul de divizori = (1+1)·(2+1) = 6.

Lista directă: 1, 2, 3, 6, 9, 18 — 6 elemente.

exemplu rezolvat

Cel mai mic număr prim mai mare decât 10 este:

Verific pe rând: 11 are doar divizorii 1 și 11 ⇒ e prim.

Răspuns: 11

2. Descompunerea în factori primi

Orice număr natural mai mare ca 1 se scrie, într-un singur fel, ca produs de numere prime (eventual repetate). Metoda: împarți succesiv la cel mai mic număr prim care se potrivește, până ajungi la 1.

Această descompunere e temelia pentru CMMDC, CMMMC și pentru numărul de divizori — merită făcută corect și verificată prin înmulțire înapoi.

exemplu rezolvat

Descompune 60 în factori primi.

60 : 2 = 30
30 : 2 = 15
15 : 3 = 5
5 : 5 = 1

$60 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5$ — verificare: $4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$ ✓

3. Cel mai mare divizor comun (CMMDC)

CMMDC a două numere se află descompunându-le în factori primi și luând factorii primi comuni, fiecare la puterea cea mai mică dintre cele două apariții.

Un factor care apare într-un singur număr nu intră în CMMDC — trebuie să fie comun.

exemplu rezolvat

CMMDC al numerelor 60 și 84 este:

$60 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5$ , $84 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 7$

Factori comuni: $2$ (puterea minimă $2^{2}$ ) și $3$ (puterea minimă $3^{1}$ ). 5 și 7 nu sunt comuni.

CMMDC = $2^{2} \cdot 3 = 12$

4. Cel mai mic multiplu comun (CMMMC)

CMMMC a două numere se află descompunându-le în factori primi și luând toți factorii primi care apar (comuni sau nu), fiecare la puterea cea mai mare dintre cele două apariții.

Spre deosebire de CMMDC, aici intră și factorii care apar într-un singur număr.

exemplu rezolvat

CMMMC al numerelor 12 și 18 este:

$12 = 2^{2} \cdot 3$ , $18 = 2 \cdot 3^{2}$

Toți factorii, la puterea cea mai mare: $2^{2}$ (din 12) și $3^{2}$ (din 18).

CMMMC = $2^{2} \cdot 3^{2} = 4 \cdot 9 = 36$

Verificare: $36 : 12 = 3$ , $36 : 18 = 2$ ✓ (ambele împărțiri ies exact)

5. Împărțirea cu rest

Pentru orice două numere naturale, deîmpărțitul = împărțitorul × câtul + restul, cu condiția esențială: restul e mereu mai mic decât împărțitorul.

$D = \hat{I} \cdot C + R$ , unde $0 \leq R < \hat{I}$

exemplu rezolvat

Restul împărțirii numărului 27 la 4 este:

27 : 4 = 6 rest 3 (fiindcă $4 \cdot 6 = 24$ , iar $27 - 24 = 3$ )

Verificare: $4 \cdot 6 + 3 = 27$ ✓, iar restul 3 e mai mic decât împărțitorul 4 ✓

6. Criteriile de divizibilitate

Pentru numerele mici, criteriile evită descompunerea completă:

Divizibil cu 2: ultima cifră e pară (0, 2, 4, 6, 8).
Divizibil cu 5: ultima cifră e 0 sau 5.
Divizibil cu 10: ultima cifră e 0 (e simultan divizibil cu 2 și cu 5).
Divizibil cu 9: suma cifrelor e divizibilă cu 9.
Divizibil cu 3: suma cifrelor e divizibilă cu 3 (aceeași idee ca la 9, prag diferit).

Când o cifră e necunoscută, scrii condiția criteriului ca o ecuație (sau o listă de valori posibile de la 0 la 9) și alegi cifrele care o îndeplinesc.

exemplu rezolvat

Numărul $\overline{17 x}$ e divizibil cu 10. Care e numărul?

Divizibil cu 10 ⇒ ultima cifră e 0 ⇒ x = 0.

Numărul este 170.

exemplu rezolvat

Cifra nenulă a din numărul $\overline{2 a 54}$ pentru care numărul e divizibil cu 9?

Suma cifrelor: $2 + a + 5 + 4 = 11 + a$ , trebuie divizibilă cu 9.

Cel mai apropiat multiplu de 9 ≥ 11 e 18 ⇒ $11 + a = 18 \Rightarrow a = 7$

Verificare: $2754 : 9 = 306$ ✓

7. Numărul cu același rest la mai multe împărțiri

Un tip de problemă mai avansat: un număr $n$ dă același rest r la împărțirea cu mai multe numere diferite. Cheia: dacă $n$ dă restul $r$ la fiecare împărțire, atunci $n - r$ e multiplu comun al tuturor acelor numere — deci multiplu al CMMMC-ului lor.

$n - r = k \cdot CMMMC$ , pentru un $k$ natural — apoi alegi $k$ după condiția suplimentară din enunț (de exemplu, „cel mai mic număr de trei cifre").

exemplu rezolvat

Un număr de cărți, grupat câte 8, câte 12 sau câte 18, dă mereu restul 5. Care e cel mai mic număr de trei cifre cu această proprietate?

Notez $n$ numărul de cărți: $n - 5$ e divizibil cu 8, 12 și 18 ⇒ $n - 5$ e multiplu de CMMMC(8, 12, 18).

CMMMC(8, 12, 18) = 72 (verifică prin descompunere: $8 = 2^{3}$ , $12 = 2^{2} \cdot 3$ , $18 = 2 \cdot 3^{2}$ ⇒ $2^{3} \cdot 3^{2} = 72$ ).

$n = 72 k + 5$ . Pentru $k = 1$ : $n = 77$ (două cifre). Pentru $k = 2$ : $n = 149$ (trei cifre) ✓

Răspuns: 149

8. Greșeli care costă puncte

1 nu este număr prim — are un singur divizor, nu doi.
CMMDC ia doar factorii comuni, la puterea minimă. CMMMC ia toți factorii, la puterea maximă — ușor de inversat sub presiune de timp.
Restul e mereu mai mic decât împărțitorul — un „rest" mai mare sau egal cu împărțitorul înseamnă o greșeală de calcul.
Criteriul cu 9 și cu 3 se bazează pe suma cifrelor, nu pe ultima cifră — nu le confunda cu criteriul de 2/5/10.
La „același rest la mai multe împărțiri", răspunsul se construiește din CMMMC, nu din CMMDC.
Verifică mereu descompunerea în factori primi înmulțind înapoi — o cifră greșită la un pas strică tot rezultatul final.

Antrenament pe subiecte oficiale

8 exerciții date la Evaluarea Națională, la acest capitol. Fiecare cu explicație pe toate variantele și cu link către rezolvarea întreagă.

exercițiul 1 din 8 · 0 corecte

Cel mai mare număr natural divizibil cu 5 din intervalul [3, 20) este:

Ce trebuie să știi pe de rost

Cele 7 de idei din lecție, în formă scurtă. În cont le poți exersa ca flashcards, iar algoritmul ți le readuce exact înainte să le uiți.

Ce este un număr prim? E 1 număr prim?: Un număr cu exact doi divizori naturali: 1 și el însuși. 1 NU e prim (are un singur divizor).
Cum calculezi CMMDC a două numere din descompunerea lor?: Iei factorii primi COMUNI, fiecare la puterea cea mai MICĂ dintre cele două apariții.
Cum calculezi CMMMC a două numere din descompunerea lor?: Iei TOȚI factorii primi (comuni sau nu), fiecare la puterea cea mai MARE dintre cele două apariții.
Relația dintre deîmpărțit, împărțitor, cât și rest?: D = Î · C + R, cu 0 ≤ R < Î — restul e mereu mai mic decât împărțitorul.
Criteriul de divizibilitate cu 9?: Suma cifrelor numărului e divizibilă cu 9.
Criteriul de divizibilitate cu 10?: Ultima cifră e 0.
Un număr n dă restul r la împărțirea cu mai multe numere. Ce reprezintă n − r?: Un multiplu comun al tuturor acelor numere — deci n − r = k · CMMMC, pentru un k natural.

Teoria se uită. Flashcardurile nu te lasă.

În cont, cele 7 de cards intră într-un program de repetiție: cele grele revin mâine, cele ușoare peste câteva zile. Plus simulări corectate pe baremul oficial.

Exersează cu flashcards →

5 credite bonus la înregistrare. Fără card.