Matematică · 8 min de citit

Ecuații de gradul I cu o necunoscută

Cum aduci necunoscuta în stânga, numerele în dreapta și împărți ca să afli x. Cu cazuri speciale (0 = 0, 0 = 5).

Exerciții de examen pe această temă:Ecuații (25)

1. Ce înseamnă „ecuație de gradul I"

O ecuație de gradul I cu o necunoscută are forma generală a·x + b = 0, unde a și b sunt numere reale, iar a ≠ 0.

Necunoscuta este, de obicei, x. „Gradul I" înseamnă că x apare doar la puterea 1 — nu apare x², nici √x, nici 1/x.

A rezolva ecuația = a găsi acea valoare a lui x care, înlocuită, face egalitatea adevărată. Această valoare se numește soluție sau rădăcină.

2. Algoritmul de rezolvare — 4 pași

Pasul 1. Desfaci parantezele (dacă există). Atenție la semnul minus din fața parantezei: schimbă semnele tuturor termenilor.

Pasul 2. Aduni toate „x"-urile în membrul stâng și toate numerele libere în membrul drept. Când treci un termen dintr-un membru în altul, îi schimbi semnul.

Pasul 3. Reduci termenii asemenea: aduni coeficienții lui x în stânga, aduni numerele în dreapta.

Pasul 4. Împarți ambii membri la coeficientul lui x.

Verificarea (opțională, dar utilă): înlocuiești soluția găsită în ecuația inițială. Dacă obții o egalitate adevărată, soluția e corectă.

exemplu rezolvat

Rezolvă: 3(x − 2) = 2x + 5

Pasul 1. Desfac paranteza: 3x − 6 = 2x + 5
Pasul 2. Mut 2x în stânga (devine −2x) și −6 în dreapta (devine +6):
3x − 2x = 5 + 6
Pasul 3. Reduc: x = 11
Verificare: 3(11 − 2) = 3·9 = 27 și 2·11 + 5 = 27. ✓

exemplu rezolvat

Rezolvă: 5x + 4 = 2x − 11

Mut 2x în stânga și +4 în dreapta:
5x − 2x = −11 − 4
3x = −15
x = −15 : 3 = −5

3. Ecuații cu fracții — aducerea la același numitor

Când ecuația conține fracții, înmulțești ambii membri cu cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.) al numitorilor. Așa scapi de toate fracțiile.

Atenție: înmulțești fiecare termen (nu doar fracțiile), iar numărătorul fiecărei fracții trebuie pus în paranteză dacă are mai mulți termeni.

exemplu rezolvat

Rezolvă: x/2 + (x − 3)/3 = 5

C.m.m.m.c. al numitorilor 2 și 3 este 6. Înmulțesc toți termenii cu 6:
6 · x/2 + 6 · (x − 3)/3 = 6 · 5
3x + 2(x − 3) = 30
3x + 2x − 6 = 30
5x = 36
x = 36/5

4. Cazuri speciale: ecuație imposibilă vs ecuație nedeterminată

După ce reduci totul, e posibil să dispară x. Atunci ai 3 situații:

Dacă obții o egalitate adevărată (ex: 0 = 0, 5 = 5), ecuația are o infinitate de soluții — orice număr real x verifică ecuația. Spunem că e nedeterminată sau identitate.
Dacă obții o egalitate falsă (ex: 0 = 5, 3 = 7), ecuația nu are soluții — niciun x nu o satisface. Spunem că e imposibilă.
Dacă rămâne o ecuație de forma ax = b cu a ≠ 0, atunci soluția unică este x = b/a.

De ce contează? Pe subiect, dacă pe parcursul rezolvării „dispare" x-ul, NU înseamnă că ai greșit. Verifici dacă egalitatea rămasă e adevărată sau falsă și răspunzi în consecință.

exemplu rezolvat

Rezolvă: 2(x + 3) = 2x + 6

2x + 6 = 2x + 6
2x − 2x = 6 − 6
0 = 0 — egalitate adevărată ⇒ orice x ∈ ℝ este soluție.

exemplu rezolvat

Rezolvă: 3x + 1 = 3x + 5

3x − 3x = 5 − 1
0 = 4 — egalitate falsă ⇒ ecuația nu are soluții.

5. Greșeli frecvente de evitat

Semnul minus în fața parantezei: −(x − 3) = −x + 3, nu −x − 3.
Trecerea peste egal: când muți un termen, schimbi semnul. +5 devine −5, −3x devine +3x.
Împărțirea la coeficient negativ: dacă ajungi la −2x = 6, atunci x = 6/(−2) = −3, NU x = 3.
Fracțiile: când înmulțești cu c.m.m.m.c., fiecare termen este înmulțit, inclusiv constanta din membrul drept.
„x dispare": nu înseamnă „nu am soluție". Înseamnă verifici egalitatea rămasă.

Ce trebuie să știi pe de rost

Cele 8 de idei din lecție, în formă scurtă. În cont le poți exersa ca flashcards, iar algoritmul ți le readuce exact înainte să le uiți.

Care este forma generală a unei ecuații de gradul I?: a·x + b = 0, cu a, b ∈ ℝ și a ≠ 0.
Care sunt cei 4 pași ai algoritmului?: Desfaci paranteze. 2) Aduni x-urile stânga, numerele dreapta (schimbă semnul). 3) Reduci asemenea. 4) Împarți la coeficientul lui x.
Când treci un termen peste semnul „=", ce se întâmplă cu semnul lui?: Se schimbă: + devine −, − devine +.
Cum elimini fracțiile dintr-o ecuație?: Înmulțești ambii membri cu c.m.m.m.c. al numitorilor; fiecare termen, nu doar fracțiile.
Dacă după reducere obții 0 = 5, ce înseamnă?: Ecuația este imposibilă — nu are soluții.
Dacă după reducere obții 0 = 0, ce înseamnă?: Ecuația este nedeterminată (identitate) — orice x ∈ ℝ este soluție.
Desfă paranteza: −(2x − 5): −2x + 5 (semnul minus schimbă fiecare semn din paranteză)
Rezolvă: −3x = 12: x = 12 / (−3) = −4

Teoria se uită. Flashcardurile nu te lasă.

În cont, cele 8 de cards intră într-un program de repetiție: cele grele revin mâine, cele ușoare peste câteva zile. Plus simulări corectate pe baremul oficial.

Exersează cu flashcards →

5 credite bonus la înregistrare. Fără card.