Matematică · 11 min de citit

Funcții: evaluare, sumă de valori și parametrul necunoscut

O funcție f(x) = ax + b se „folosește" înlocuind x cu numărul cerut. Restul capitolului e aritmetică pe rezultatele obținute — sume, diferențe, sau găsirea unui parametru necunoscut dintr-o condiție dată.

Exerciții de examen pe această temă:Funcții (4)

1. Ce înseamnă să evaluezi o funcție

O funcție de gradul I are forma $f (x) = a x + b$ , cu $a$ și $b$ numere reale fixate. „A calcula f(k)" înseamnă un singur lucru: înlocuiești x cu k în formulă și faci calculul.

Nu e nimic conceptual complicat aici — toată dificultatea reală a exercițiilor stă în calculul corect după substituție, mai ales când $k$ e negativ.

exemplu rezolvat

Pentru $f (x) = 2 x - 3$ , calculează $f (0)$ , $f (1)$ și $f (2)$ .

$f (0) = 2 \cdot 0 - 3 = - 3$
$f (1) = 2 \cdot 1 - 3 = - 1$
$f (2) = 2 \cdot 2 - 3 = 1$

2. Suma și diferența mai multor valori ale funcției

Cel mai frecvent tip de cerință din capitol: calculezi funcția în mai multe puncte, apoi aduni sau scazi rezultatele. Fiecare valoare se calculează separat, prin substituție — nu există o scurtătură care sare peste pasul ăsta.

Atenție la semne atunci când x e negativ: $f (- 2)$ nu înseamnă „scazi 2", înseamnă „pui −2 în locul lui x", cu toate parantezele care rezultă.

exemplu rezolvat

Pentru $f (x) = - x + 4$ , arată că $f (- 2) + f (0) + f (2) = 12$ .

$f (- 2) = - (- 2) + 4 = 2 + 4 = 6$
$f (0) = - 0 + 4 = 4$
$f (2) = - 2 + 4 = 2$

Suma: $6 + 4 + 2 = 12$ ✓

exemplu rezolvat

Pentru $f (x) = x - 2$ , arată că $f (3) - f (- 3) = 6$ .

$f (3) = 3 - 2 = 1$
$f (- 3) = - 3 - 2 = - 5$

$f (3) - f (- 3) = 1 - (- 5) = 1 + 5 = 6$ ✓

Scăderea unei valori negative devine adunare — capcana clasică de semn.

3. Determinarea unui parametru necunoscut

Uneori funcția are un parametru literă (de obicei $m$ ) în locul unui coeficient, iar enunțul dă o condiție — de exemplu, că graficul trece printr-un punct dat. Metoda:

Scrii condiția ca ecuație: înlocuiești x cu valoarea dată și pui rezultatul egal cu valoarea cerută.
Rezolvi ecuația rezultată — necunoscuta e $m$ , nu $x$ .
Verifici, dacă vrei, înlocuind $m$ înapoi în funcție.

exemplu rezolvat

Pentru $f (x) = (m - 1) x + 3$ , determină $m$ pentru care graficul trece prin punctul A(2, 7).

Condiția „A e pe grafic" înseamnă $f (2) = 7$ :
$(m - 1) \cdot 2 + 3 = 7$
$2 m - 2 + 3 = 7 \Rightarrow 2 m + 1 = 7 \Rightarrow 2 m = 6 \Rightarrow m = 3$

exemplu rezolvat

Cu $m = 3$ găsit mai sus (deci $f (x) = 2 x + 3$ ), calculează $f (0) + f (5)$ .

$f (0) = 3$ , $f (5) = 2 \cdot 5 + 3 = 13$

$f (0) + f (5) = 3 + 13 = 16$

Subpunctul refolosește parametrul găsit la a) — nu se rezolvă din nou ecuația.

4. Verificarea unui punct și intersecția cu axele

Aceleași metode ca la geometria analitică (vezi lecția „Geometrie analitică", unde sunt tratate pe larg):

Un punct A(x, y) aparține graficului ⇔ $f (x) = y$ — calculezi f la abscisa dată și compari cu ordonata.
Intersecția cu Ox: pui $f (x) = 0$ , rezolvi în x. Intersecția cu Oy: pui $x = 0$ , calculezi $f (0)$ .
Distanța dintre două puncte de pe grafic: le afli coordonatele (calculând f în cele două abscise date), apoi aplici formula distanței.

exemplu rezolvat

Pentru $f (x) = 4 - x$ , verifică dacă A(2, 2) aparține graficului.

$f (2) = 4 - 2 = 2$

Cum $f (2) = 2 = y_{A}$ , rezultă că A aparține graficului.

5. Greșeli care costă puncte

f(−k) nu e −f(k). Se substituie −k direct în formulă, nu se schimbă doar semnul rezultatului lui f(k).
La determinarea parametrului, necunoscuta ecuației e m, nu x — x rămâne valoarea dată în condiție.
Subpunctele următoare refolosesc parametrul găsit, nu repornesc calculul de la o funcție cu m necunoscut.
f(x) = y înseamnă că x e valoarea de intrare, nu invers — la verificarea apartenenței unui punct, substitui abscisa, nu ordonata.
Atenție la paranteze cu numere negative — cea mai frecventă sursă de greșeli de calcul din tot capitolul.

Ce trebuie să știi pe de rost

Cele 6 de idei din lecție, în formă scurtă. În cont le poți exersa ca flashcards, iar algoritmul ți le readuce exact înainte să le uiți.

Ce înseamnă „calculează f(k)" pentru $f (x) = a x + b$ ?: Înlocuiești x cu k în formulă: f(k) = a·k + b.
Cum calculezi f(a) + f(b) + f(c)?: Calculezi fiecare valoare separat, prin substituție, apoi aduni rezultatele.
De ce f(−2) nu e același lucru cu −f(2)?: f(−2) înlocuiește x cu −2 în formulă. −f(2) calculează f(2) și schimbă semnul rezultatului — sunt operații diferite, cu rezultate diferite.
Cum afli parametrul m dintr-o condiție ca „graficul trece prin A(2, 7)"?: Pui f(2) = 7 (condiția devine ecuație în m) și rezolvi ecuația.
Cum verifici dacă A(x, y) aparține graficului lui f?: Calculezi f(x) și verifici dacă rezultatul e egal cu y.
Cum afli intersecțiile graficului cu axele?: Cu Ox: pui f(x) = 0, rezolvi în x. Cu Oy: pui x = 0, calculezi f(0).

Teoria se uită. Flashcardurile nu te lasă.

În cont, cele 6 de cards intră într-un program de repetiție: cele grele revin mâine, cele ușoare peste câteva zile. Plus simulări corectate pe baremul oficial.

Exersează cu flashcards →

5 credite bonus la înregistrare. Fără card.