Geometrie analitică: puncte, distanțe și grafice

Reperul cartezian xOy e format din două axe perpendiculare: Ox (orizontală) și Oy (verticală), care se intersectează în originea O(0, 0).

Un punct A(x, y) are:

• x = abscisa — cât de departe e punctul pe orizontală (stânga/dreapta de O);
• y = ordonata — cât de departe e pe verticală (jos/sus de O).

Punctele de pe axa Ox au mereu y = 0 (de exemplu B(4, 0)), iar cele de pe axa Oy au mereu x = 0 (de exemplu C(0, 3)). Asta e tot ce trebuie citit dintr-un enunț ca „se consideră punctele A(3, 4) și O(0, 0)": nimic altceva decât două perechi de numere.

E formula pe care se sprijină cele mai multe cerințe din capitol. Pentru A(x_A, y_A) și B(x_B, y_B):

$AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$

Nu contează care punct e „primul" — diferența la pătrat iese la fel oricum ai scădea. Practic, ideea din spatele formulei e Pitagora: diferența de abscise și diferența de ordonate sunt catetele unui triunghi dreptunghic, iar AB e ipotenuza.

Cazul cel mai simplu e distanța de la un punct la origine, O(0, 0): formula se scurtează, fiindcă x_O = y_O = 0.

$OA=\sqrt{x_A^2+y_A^2}$

La o funcție de gradul I, f(x) = ax + b, graficul este o dreaptă. Ca să afli unde taie axele, pui pe rând câte o coordonată egală cu 0:

• Intersecția cu Ox: pui f(x) = 0 și rezolvi ecuația în x. Punctul obținut are forma (x, 0).
• Intersecția cu Oy: pui x = 0 și calculezi f(0). Punctul obținut are forma (0, f(0)) — de fapt (0, b), fiindcă f(0) = a·0 + b = b.

Cele două reguli nu se încurcă dacă ții minte ce coordonată e „necunoscuta" în fiecare caz: pe Ox cauți x, pe Oy cauți y.

Când o dreaptă taie ambele axe, ea formează împreună cu ele un triunghi care are un vârf chiar în originea O. Acest triunghi e întotdeauna dreptunghic în O, fiindcă Ox și Oy sunt perpendiculare — deci catetele lui sunt segmentele de pe cele două axe, iar aria e directă, fără formula distanței:

Aria = (OA · OB) / 2, unde A e intersecția cu Ox și B e intersecția cu Oy.

Singura grijă reală: lungimile catetelor sunt distanțe, deci pozitive, chiar dacă una dintre coordonate a ieșit negativă. Dacă B are ordonata −6, cateta OB are lungimea 6, nu −6.

Un punct A(x_A, y_A) aparține graficului lui f dacă, atunci când înlocuiești x cu x_A, obții exact y_A:

A ∈ graficul lui f ⇔ f(x_A) = y_A

E o simplă verificare prin calcul, nu o ecuație de rezolvat — nu cauți x, ci confirmi o egalitate.

Simetricul unui punct A(x, y) se obține schimbând semnul uneia sau ambelor coordonate, după ce ax e simetria:

• Față de Ox: se schimbă semnul ordonatei — (x, y) → (x, −y)
• Față de Oy: se schimbă semnul absciselor — (x, y) → (−x, y)
• Față de origine O: se schimbă semnul ambelor — (x, y) → (−x, −y)

Cel mai sigur mod de a nu le încurca: axa față de care faci simetria e cea care „rămâne pe loc" — coordonata ei nu-și schimbă semnul, cealaltă da.

Apare doar la cerințele mai grele de Subiectul III, când o dreaptă nu e dată direct prin ecuație. Pornești tot de la funcție, dar scrii ecuația sub forma ax + by + c = 0, apoi aplici:

$d(M,dreapta)=\frac{|a\cdot x_M+b\cdot y_M+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Pasul care se pierde cel mai des e transformarea din y = mx + n în forma ax + by + c = 0: se trece totul într-o singură parte, iar coeficientul lui y e −1 (nu 1), fiindcă pleci de la y = mx + n ⇒ mx − y + n = 0.

• AB nu este x_B − x_A + y_B − y_A. Diferențele se ridică la pătrat, se adună, apoi se extrage radicalul — nu se adună direct.
• Distanța „pe axe" (suma catetelor) nu e distanța directă. Pentru A(3,4) și O(0,0), 3+4=7 e o capcană; distanța reală e 5.
• Pe Ox cauți x (pui f(x) = 0), pe Oy cauți y (pui x = 0). Inversarea celor două dă punctul greșit.
• Catetele triunghiului format cu axele sunt lungimi, deci pozitive, chiar dacă o coordonată a ieșit negativă.
• „Aparține graficului" se verifică prin calcul (f(x_A) = y_A), nu se rezolvă ca ecuație.
• Simetria față de Ox schimbă y, față de Oy schimbă x, față de origine schimbă pe amândouă — axa „care rămâne pe loc" nu-și schimbă semnul.