Matematică · 10 min de citit

Inecuații de gradul I

O inecuație se rezolvă exact ca o ecuație, cu o singură regulă în plus: semnul se inversează dacă înmulțești sau împarți cu un număr negativ. Restul e despre cum scrii răspunsul — interval sau mulțime, după cine sunt soluțiile.

Exerciții de examen pe această temă:Inecuații (6)

1. Rezolvarea unei inecuații de gradul I

O inecuație de gradul I se rezolvă cu aceiași pași ca o ecuație — muți termenii cu necunoscuta într-o parte, restul în cealaltă, apoi împarți prin coeficientul lui x. Singura regulă nouă:

Dacă înmulțești sau împarți ambele părți ale inecuației cu un număr negativ, semnul inegalității se inversează (< devine >, ≤ devine ≥).

În exercițiile cele mai frecvente, coeficientul lui x rămâne pozitiv, deci regula asta nu intervine direct — dar merită știută, fiindcă o inecuație cu coeficient negativ o cere.

exemplu rezolvat

Rezolvă inecuația $3 x + 1 \geq 7$ .

$3 x + 1 \geq 7 \Rightarrow 3 x \geq 6 \Rightarrow x \geq 2$

exemplu rezolvat

Rezolvă inecuația $2 x - 1 \leq 9$ .

$2 x - 1 \leq 9 \Rightarrow 2 x \leq 10 \Rightarrow x \leq 5$

2. Cel mai mic sau cel mai mare număr natural care verifică inecuația

După ce ai rezolvat inecuația (x ≥ k sau x ≤ k), cerința te întoarce adesea la un singur număr natural, cel mai mic sau cel mai mare posibil:

Pentru x ≥ k, cel mai mic număr natural e chiar k, dacă k e natural — altfel primul natural de deasupra lui k.
Pentru x ≤ k, cel mai mare număr natural e chiar k, dacă k e natural — altfel primul natural de sub k.

exemplu rezolvat

Cel mai mic număr natural x care verifică $3 x + 1 \geq 7$ ?

Din exemplul anterior: $x \geq 2$ .

Cel mai mic număr natural care satisface $x \geq 2$ este 2.

exemplu rezolvat

Cel mai mare număr natural x pentru care $x + 3 < 7$ ?

$x + 3 < 7 \Rightarrow x < 4$

Inegalitatea e strictă — 4 nu e soluție. Cel mai mare natural strict mai mic decât 4 este 3.

3. Scrierea mulțimii soluțiilor

Forma răspunsului depinde de mulțimea în care lucrezi:

Pentru x număr real, soluțiile formează un interval: $x \geq k$ se scrie $[k, + \infty)$ , $x \leq k$ se scrie $(- \infty, k]$ . Paranteza pătrată include capătul (inegalitate nestrictă), paranteza rotundă îl exclude.
Pentru x număr natural, soluțiile formează o mulțime finită, scrisă prin enumerare (dacă inecuația mărginește x de sus).

exemplu rezolvat

Scrie mulțimea soluțiilor reale ale inecuației $2 x + 2 \geq 4$ .

$2 x + 2 \geq 4 \Rightarrow 2 x \geq 2 \Rightarrow x \geq 1$

Mulțimea soluțiilor: $[1, + \infty)$

exemplu rezolvat

Determină mulțimea numerelor naturale x care satisfac $2 x - 3 < 5$ .

$2 x - 3 < 5 \Rightarrow 2 x < 8 \Rightarrow x < 4$

Numerele naturale strict mai mici decât 4: {0, 1, 2, 3}

4. Numărul de elemente al unei mulțimi definite printr-o dublă inegalitate

Când o mulțime e definită prin $a \leq x \leq b$ (ambele inegalități nestricte, capetele incluse), numărul de elemente naturale din interval e:

$b - a + 1$

(„+1" fiindcă ambele capete se numără — dacă ai scădea direct b − a, ai pierde un element.)

exemplu rezolvat

Câte elemente are mulțimea $A = {x \in N ∣ 7 \leq x \leq 12}$ ?

$12 - 7 + 1 = 6$

Verificare prin listă: 7, 8, 9, 10, 11, 12 — 6 elemente

5. Greșeli care costă puncte

Semnul se inversează doar la înmulțire/împărțire cu un număr negativ — nu la adunare sau scădere, oricât de mare ar fi numărul.
Inegalitatea strictă (< sau >) exclude capătul — „cel mai mare x cu x < 4" e 3, nu 4.
La numărarea elementelor unei mulțimi $a \leq x \leq b$ , formula e b − a + 1, nu b − a — ambele capete se numără.
Paranteza pătrată [ ] pentru capăt inclus, rotundă ( ) pentru capăt exclus — la infinit se folosește mereu paranteza rotundă.
Verifică soluția prin înlocuire — pui valoarea limită înapoi în inecuația inițială, ca să confirmi sensul corect al inegalității.

Antrenament pe subiecte oficiale

5 exerciții date la Evaluarea Națională, la acest capitol. Fiecare cu explicație pe toate variantele și cu link către rezolvarea întreagă.

exercițiul 1 din 5 · 0 corecte

Cel mai mare număr natural x pentru care $2 x - 1 \leq 9$ este:

Ce trebuie să știi pe de rost

Cele 5 de idei din lecție, în formă scurtă. În cont le poți exersa ca flashcards, iar algoritmul ți le readuce exact înainte să le uiți.

Cum rezolvi o inecuație de gradul I?: La fel ca o ecuație — muți termenii, împarți prin coeficient. Diferența: semnul se inversează dacă înmulțești/împarți cu un număr negativ.
Cum afli cel mai mic număr natural care verifică x ≥ 2?: 2 însuși, dacă e natural — altfel primul natural de deasupra limitei.
Cum scrii mulțimea soluțiilor reale pentru x ≥ 1?: [1, +∞) — paranteza pătrată include capătul 1, rotundă la infinit.
Cum scrii soluțiile naturale ale lui x < 4?: Prin enumerare: {0, 1, 2, 3} — 4 nu intră, fiindcă inegalitatea e strictă.
Câte numere naturale x satisfac 7 ≤ x ≤ 12?: 12 − 7 + 1 = 6 (ambele capete se numără).

Teoria se uită. Flashcardurile nu te lasă.

În cont, cele 5 de cards intră într-un program de repetiție: cele grele revin mâine, cele ușoare peste câteva zile. Plus simulări corectate pe baremul oficial.

Exersează cu flashcards →

5 credite bonus la înregistrare. Fără card.