Matematică · 12 min de citit

Numere raționale: fracții, zecimale și operații

Fracțiile se adună doar cu același numitor, se înmulțesc direct, iar la comparat numerele negative, cu cât fracția e mai mică ca valoare absolută, cu atât numărul e mai mare. Trei reguli simple, aplicate cu grijă.

Exerciții de examen pe această temă:Numere raționale (13)

1. Adunarea și scăderea fracțiilor: numitorul comun

Fracțiile se adună sau se scad direct doar dacă au același numitor. Dacă nu au, primul pas e mereu aducerea la un numitor comun — de obicei cel mai mic multiplu comun al numitorilor.

Odată numitorii egali, se adună/scad doar numărătorii; numitorul comun rămâne neschimbat.

exemplu rezolvat

Rezultatul calculului $\frac{2}{3} + \frac{1}{6}$ este:

Numitor comun = 6 (multiplu al lui 3 și 6). $\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$

$\frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$

exemplu rezolvat

Rezultatul calculului $\frac{2}{3} + \frac{1}{4}$ este egal cu:

Numitor comun = 12 (cel mai mic multiplu comun al lui 3 și 4).
$\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$ , $\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$

Suma: $\frac{8 + 3}{12} = \frac{11}{12}$

2. Înmulțirea fracțiilor

Spre deosebire de adunare, înmulțirea nu cere numitor comun — se face direct:

$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$

Numărătorii se înmulțesc între ei, numitorii se înmulțesc între ei. La final, se simplifică fracția rezultată, dacă se poate.

exemplu rezolvat

Rezultatul calculului $\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{9}$ este:

$\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{9} = \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 9} = \frac{6}{36}$

Simplific cu 6: $\frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ (formă ireductibilă)

3. Fracția inversă (reciprocă)

Inversul (reciprocul) fracției $\frac{a}{b}$ (cu $a, b \neq = 0$ ) este $\frac{b}{a}$ — pur și simplu numărătorul și numitorul își schimbă locul.

Verificarea e directă: o fracție înmulțită cu inversul ei dă mereu 1 — $\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = 1$ .

exemplu rezolvat

Inversul (reciprocul) numărului $\frac{2}{5}$ este:

Numărătorul și numitorul își schimbă locul: inversul e $\frac{5}{2}$ .

Verificare: $\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2} = 1$ ✓

Nu confunda inversul cu opusul — opusul lui $\frac{2}{5}$ este $- \frac{2}{5}$ (schimbă doar semnul).

4. Numărul zecimal scris ca fracție

Un număr zecimal se scrie ca fracție citind cifrele de după virgulă ca numărător, iar numitorul e 1 urmat de atâtea zerouri câte cifre sunt după virgulă. Apoi se simplifică.

0,4 → $\frac{4}{10}$ → simplific cu 2 → $\frac{2}{5}$

0,25 → $\frac{25}{100}$ → simplific cu 25 → $\frac{1}{4}$

exemplu rezolvat

Numărul 0,25 scris sub formă de fracție ireductibilă este:

0,25 = $\frac{25}{100}$ . Simplific cu 25: $\frac{25}{100} = \frac{1}{4}$

Verificare: $\frac{1}{4} = 0, 25$ ✓

exemplu rezolvat

Fracția egală cu numărul 0,4 este:

0,4 = $\frac{4}{10}$ . Simplific cu 2: $\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

Verificare: $\frac{2}{5} = 0, 4$ ✓

5. Adunarea numerelor zecimale

Se aliniază virgulele unele sub altele (ca la adunarea în coloană) și se completează cu zerouri acolo unde un număr are mai puține zecimale, ca să aibă amândouă același număr de cifre după virgulă.

1,50
+ 0,75
——————
2,25

exemplu rezolvat

Rezultatul calculului $1, 5 + 0, 75$ este egal cu:

Aliniez virgulele: 1,50 + 0,75 = 2,25

Echivalent, pe fracții: $\frac{3}{2} + \frac{3}{4} = \frac{6}{4} + \frac{3}{4} = \frac{9}{4} = 2, 25$

6. Compararea numerelor raționale negative

La numere pozitive, cu cât o fracție e mai mare ca valoare, cu atât numărul e mai mare — regula obișnuită. La numere negative, regula se inversează:

Cu cât valoarea absolută a unui număr negativ e mai mică, cu atât numărul e mai mare (mai aproape de 0, deci „mai sus" pe axă).

Practic: compari mai întâi valorile absolute, apoi inversezi ordinea pentru numerele negative.

exemplu rezolvat

Cel mai mare dintre numerele $- \frac{1}{2}$ , $- \frac{1}{3}$ , $- \frac{2}{3}$ și $- 1$ este:

Valorile absolute: 1/2, 1/3, 2/3, 1. Cea mai mică valoare absolută e 1/3.

La numere negative, valoarea absolută cea mai mică dă numărul cel mai mare ⇒ $- \frac{1}{3}$ e cel mai aproape de 0, deci cel mai mare dintre cele patru.

7. Fracția dintr-un număr: probleme cu text

Când enunțul spune „ $\frac{a}{b}$ din N", calculezi direct $\frac{a}{b} \cdot N$ — fracția înmulțește numărul întreg, la fel ca la înmulțirea a două fracții (N = N/1).

Restul problemei e aritmetică simplă: ce rămâne dintr-un total, sau ce diferență trebuie completată.

exemplu rezolvat

La un concurs participă 36 de elevi, dintre care 2/3 sunt fete. Calculează numărul fetelor și al băieților.

Fete = $\frac{2}{3} \cdot 36 = 24$

Băieți = 36 − 24 = 12

exemplu rezolvat

Din problema anterioară (24 fete, 12 băieți din 36 elevi): câți băieți ar trebui să mai vină ca fetele și băieții să fie în număr egal?

Pentru ca băieții să ajungă la fel de mulți ca fetele (24), trebuie: 24 − 12 = 12 băieți în plus

Verificare: total nou = 24 + 24 = 48 elevi, jumătate fete, jumătate băieți ✓

8. Greșeli care costă puncte

Fracțiile se adună/scad doar cu același numitor — niciodată numărător cu numărător și numitor cu numitor direct, ca la înmulțire.
Înmulțirea fracțiilor nu cere numitor comun — se face direct, numărător cu numărător, numitor cu numitor.
Inversul schimbă locul numărătorului cu numitorul; opusul schimbă doar semnul — sunt operații diferite, ușor de confundat.
La numere negative, comparația se inversează față de cele pozitive: valoarea absolută mai mică ⇒ numărul mai mare.
„Fracția dintr-un număr" înseamnă înmulțire, nu împărțire — 2/3 din 36 e $\frac{2}{3} \cdot 36$ , nu $36 : \frac{2}{3}$ .
Rezultatul unei fracții se lasă mereu simplificat (formă ireductibilă), dacă enunțul nu cere altă formă explicit.

Antrenament pe subiecte oficiale

8 exerciții date la Evaluarea Națională, la acest capitol. Fiecare cu explicație pe toate variantele și cu link către rezolvarea întreagă.

exercițiul 1 din 8 · 0 corecte

Rezultatul calculului $\frac{2}{3} + \frac{1}{6}$ este:

Ce trebuie să știi pe de rost

Cele 7 de idei din lecție, în formă scurtă. În cont le poți exersa ca flashcards, iar algoritmul ți le readuce exact înainte să le uiți.

Cum aduni două fracții cu numitori diferiți?: Le aduci la un numitor comun (de obicei cmmmc al numitorilor), apoi aduni doar numărătorii.
Cum înmulțești $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}$ ?: Direct, fără numitor comun: $\frac{a \cdot c}{b \cdot d}$ .
Ce e inversul (reciprocul) fracției $\frac{a}{b}$ ?: $\frac{b}{a}$ — numărătorul și numitorul își schimbă locul. Produsul unei fracții cu inversul ei e mereu 1.
Diferența dintre inversul și opusul unui număr?: Inversul schimbă locul numărătorului cu numitorul (2/5 → 5/2). Opusul schimbă doar semnul (2/5 → −2/5).
Cum scrii 0,25 ca fracție ireductibilă?: 0,25 = 25/100, simplificat cu 25 = 1/4.
Cum compari două numere negative, ca −1/2 și −1/3?: Compari valorile absolute, apoi inversezi ordinea: valoarea absolută mai mică dă numărul mai mare. −1/3 > −1/2.
Cum calculezi „2/3 dintr-un număr N"?: Înmulțești: (2/3) · N.

Teoria se uită. Flashcardurile nu te lasă.

În cont, cele 7 de cards intră într-un program de repetiție: cele grele revin mâine, cele ușoare peste câteva zile. Plus simulări corectate pe baremul oficial.

Exersează cu flashcards →

5 credite bonus la înregistrare. Fără card.