Matematică · 12 min de citit

Patrulatere: paralelogram, dreptunghi, romb, pătrat, trapez

Proprietățile fiecărui patrulater și formulele de arie, plus linia mijlocie a trapezului — capitolul cu cele mai multe exerciții de geometrie plană din Evaluarea Națională.

Exerciții de examen pe această temă:Patrulatere (52)

1. Familia patrulaterelor — cine e caz particular al cui

Toate patrulaterele din programă se așază pe o singură ramură. Fiecare figură de mai jos moștenește TOATE proprietățile celei din stânga ei:

paralelogram → dreptunghi → pătrat și paralelogram → romb → pătrat

Paralelogram = laturile opuse paralele două câte două.
Dreptunghi = paralelogram cu un unghi drept.
Romb = paralelogram cu două laturi alăturate congruente.
Pătrat = și dreptunghi, și romb. Are absolut toate proprietățile.

Trapezul NU e paralelogram — el are doar o pereche de laturi paralele. E pe o ramură separată și nu moștenește nimic de la paralelogram.

De ce contează la examen: dacă un exercițiu spune „rombul ABCD", ai voie să folosești pe loc și că diagonalele se înjumătățesc (proprietate de paralelogram), și că sunt perpendiculare (proprietate de romb). Nu trebuie demonstrat nimic.

2. Paralelogramul — patru proprietăți care rezolvă majoritatea grilelor

În paralelogramul ABCD:

Laturile opuse sunt congruente: AB = CD și BC = AD.
Unghiurile opuse sunt congruente: ∢A = ∢C și ∢B = ∢D.
Unghiurile alăturate sunt suplementare: ∢A + ∢B = 180°.
Diagonalele se înjumătățesc: punctul lor de intersecție O este mijlocul fiecăreia (AO = OC, BO = OD).

Aria: A = b · h, unde h este înălțimea dusă la baza b. Atenție: h nu este latura alăturată, decât la dreptunghi.

Când se dă un unghi, aria se poate scrie și A = AB · AD · sin(∢A). Pentru unghiul de 60°, sin 60° = √3/2, iar pentru 30°, sin 30° = 1/2 — sunt singurele valori cerute în practică.

Diagonala împarte paralelogramul în două triunghiuri congruente, deci fiecare are aria egală cu jumătate din aria paralelogramului. Cele două diagonale îl împart în patru triunghiuri de arii egale.

exemplu rezolvat

În paralelogramul ABCD, m(∢A) = 110°. Cât este măsura unghiului ∢B?

∢A și ∢B sunt unghiuri alăturate, deci suplementare:
m(∢B) = 180° − 110° = 70°

Capcana: ∢A și ∢C sunt cele congruente (ambele 110°), nu ∢A și ∢B.

exemplu rezolvat

În paralelogramul ABCD aria este 96 cm². E și F sunt mijloacele laturilor AB, respectiv AD. Cât este aria triunghiului AEF?

Aria triunghiului ABD (jumătate din paralelogram) = 96 : 2 = 48 cm².

Triunghiul AEF are AE = AB/2 și AF = AD/2, cu același unghi ∢A. Aria unui triunghi cu două laturi înjumătățite scade de 2 · 2 = 4 ori:
A(AEF) = 48 : 4 = 12 cm²

exemplu rezolvat

Paralelogramul ABCD are AB = 10 cm, BC = 6 cm și m(∢ABC) = 60°. Calculează aria.

A = AB · BC · sin(60°) = 10 · 6 · (√3/2) = 30√3 cm²

3. Dreptunghi, romb, pătrat — ce aduce nou fiecare

Dreptunghiul adaugă un singur lucru față de paralelogram: diagonalele sunt congruente (AC = BD). Aria: A = L · l. Diagonala se află cu Pitagora: d = √(L² + l²).

Rombul adaugă două lucruri: diagonalele sunt perpendiculare și fiecare diagonală este bisectoarea unghiurilor din care pleacă. Aria are o formulă proprie:

A = (d₁ · d₂) / 2 — semiprodusul diagonalelor.

Rombul are și A = l · h (e paralelogram), deci alegi formula după ce ți se dă.

Pătratul le are pe toate: diagonale congruente, perpendiculare și bisectoare. Formule de memorat:

A = l²
d = l√2 (diagonala), deci l = d/√2 = d√2/2
A = d²/2 (aria din diagonală)

Capcana clasică: „diagonalele sunt perpendiculare" NU e adevărat la dreptunghi, iar „diagonalele sunt congruente" NU e adevărat la romb. Doar pătratul le are pe amândouă.

exemplu rezolvat

Un romb are diagonalele de 12 cm și 16 cm. Calculează aria și latura.

Aria: A = (12 · 16)/2 = 96 cm²

Latura: diagonalele sunt perpendiculare și se înjumătățesc, deci formează un triunghi dreptunghic cu catetele 6 și 8:
l = √(6² + 8²) = √100 = 10 cm

exemplu rezolvat

Diagonala unui pătrat are 8√2 cm. Cât este aria?

Din d = l√2 ⇒ l = d/√2 = 8√2/√2 = 8 cm.
A = 8² = 64 cm²

Mai scurt, direct: A = d²/2 = (8√2)²/2 = 128/2 = 64 cm².

4. Trapezul și linia mijlocie

În trapezul ABCD cu AB ∥ CD: AB și CD se numesc baze (AB baza mare, CD baza mică), iar AD și BC sunt laturile neparalele.

Linia mijlocie unește mijloacele laturilor neparalele. Ea este paralelă cu bazele și:

MN = (B + b) / 2 — semisuma bazelor.

Aria trapezului: A = ((B + b) / 2) · h, adică linia mijlocie înmulțită cu înălțimea.

Două cazuri particulare cerute la examen:

Trapez isoscel: laturile neparalele sunt congruente. Atunci unghiurile alăturate aceleiași baze sunt congruente, iar diagonalele sunt congruente.
Trapez dreptunghic: are un unghi drept (deci două) — o latură neparalelă este chiar înălțimea.

Nu confunda cu linia mijlocie a triunghiului, care unește mijloacele a două laturi și este jumătate din a treia (nu semisuma).

exemplu rezolvat

Trapezul ABCD are AB ∥ CD, AB = 10 cm și CD = 6 cm. Cât este linia mijlocie?

MN = (10 + 6)/2 = 16/2 = 8 cm

exemplu rezolvat

Aria unui trapez cu bazele de 8 cm și 12 cm și înălțimea de 5 cm este:

A = ((8 + 12)/2) · 5 = (20/2) · 5 = 10 · 5 = 50 cm²

5. Greșeli frecvente de evitat

Înălțimea nu e latura oblică. La paralelogram A = b · h, unde h e perpendiculara pe bază. Dacă ți se dă latura alăturată și un unghi, folosești sinusul.
Aria rombului nu e „diagonala ori diagonala". Este semiprodusul: se împarte la 2.
Linia mijlocie a trapezului = semisuma bazelor, a triunghiului = jumătate din latură. Sunt formule diferite.
Unghiurile opuse sunt congruente, cele alăturate sunt suplementare — se inversează foarte des la grilă.
Diagonala pătratului este l√2, nu 2l.
Trapezul nu e paralelogram: laturile neparalele nu sunt congruente decât dacă e isoscel, iar bazele nu sunt egale niciodată.

Ce trebuie să știi pe de rost

Cele 9 de idei din lecție, în formă scurtă. În cont le poți exersa ca flashcards, iar algoritmul ți le readuce exact înainte să le uiți.

Cele patru proprietăți ale paralelogramului?: Laturi opuse congruente; unghiuri opuse congruente; unghiuri alăturate suplementare; diagonalele se înjumătățesc.
Aria paralelogramului, cele două formule?: A = b · h, sau A = AB · AD · sin(∢A) când se dă unghiul.
Ce aduce în plus rombul față de paralelogram?: Diagonalele sunt perpendiculare și sunt bisectoarele unghiurilor.
Aria rombului din diagonale?: A = (d₁ · d₂) / 2 — semiprodusul, nu produsul.
Ce aduce în plus dreptunghiul față de paralelogram?: Diagonalele sunt congruente (dar NU perpendiculare).
Diagonala pătratului de latură l?: d = l√2. Invers: l = d√2/2. Aria din diagonală: A = d²/2.
Linia mijlocie a trapezului?: Unește mijloacele laturilor neparalele; MN = (B + b)/2, semisuma bazelor.
Aria trapezului?: A = ((B + b)/2) · h — adică linia mijlocie înmulțită cu înălțimea.
Ce are special trapezul isoscel?: Laturile neparalele congruente, unghiurile alăturate unei baze congruente, diagonalele congruente.

Teoria se uită. Flashcardurile nu te lasă.

În cont, cele 9 de cards intră într-un program de repetiție: cele grele revin mâine, cele ușoare peste câteva zile. Plus simulări corectate pe baremul oficial.

Exersează cu flashcards →

5 credite bonus la înregistrare. Fără card.