Piramide și tetraedri: arii, volume și cele trei triunghiuri

O piramidă regulată are baza un poligon regulat, iar vârful V se proiectează exact în centrul bazei (punctul O). Toate muchiile laterale sunt egale, toate fețele laterale sunt triunghiuri isoscele congruente.

Patru mărimi diferite, ușor de confundat:

• $h$ = înălțimea piramidei (VO): de la vârf perpendicular pe planul bazei, în centrul bazei;
• $a_p$ = apotema piramidei (VM): înălțimea unei fețe laterale, dusă din V pe mijlocul unei laturi a bazei;
• $a_b$ = apotema bazei (OM): distanța de la centrul bazei la mijlocul unei laturi;
• $m$ = muchia laterală (VA): de la vârf la un vârf al bazei.

„Apotema piramidei" ≠ „înălțimea piramidei". Enunțurile o spun explicit („apotema piramidei, adică înălțimea unei fețe laterale, dusă din vârf") tocmai pentru că aici se pierd puncte.

Pentru baza pătrat de latură $l$: $a_b=\frac{l}{2}$, iar semidiagonala este $\frac{l\sqrt{2}}{2}$.
Pentru baza triunghi echilateral de latură $l$: $a_b=\frac{l\sqrt{3}}{6}$, iar raza cercului circumscris (de la centru la vârf) este $\frac{l\sqrt{3}}{3}$.

Pentru orice piramidă regulată:

• Aria laterală: $A_{\text{lat}}=\frac{P_{\text{baza}}\cdot a_p}{2}$ (perimetrul bazei × apotema piramidei, împărțit la 2)
• Aria totală: $A_{\text{tot}}=A_{\text{lat}}+A_{\text{baza}}$
• Volumul: $V=\frac{A_{\text{baza}}\cdot h}{3}$

Două lucruri de reținut, fiindcă sunt exact diferențele față de prismă:

• la piramidă se adună o singură bază (prisma are două);
• volumul are împărțirea la 3 — o piramidă cu aceeași bază și înălțime ca o prismă are o treime din volumul ei.

În aria laterală intră apotema piramidei, nu înălțimea. Formula vine din aria unei fețe (bază × înălțime / 2), adunată pentru toate fețele.

Aproape orice exercițiu îți dă două mărimi și cere o a treia. Toate legăturile vin din trei triunghiuri dreptunghice cu vârful în O (centrul bazei):

a) Triunghiul VOM (înălțime, apotema bazei, apotema piramidei):
$a_p^2=h^2+a_b^2$

b) Triunghiul VOA (înălțime, semidiagonală/rază, muchie laterală):
$m^2=h^2+R_{\text{baza}}^2$, unde $R_{\text{baza}}$ e distanța de la centru la un vârf al bazei

c) Triunghiul VMA (în fața laterală: apotema piramidei, jumătate de latură, muchie laterală):
$m^2=a_p^2+{\left(\frac{l}{2}\right)}^2$

Desenează triunghiul potrivit și pune Pitagora. Nu există exercițiu de piramidă regulată în variante care să nu se rezolve așa.

Tetraedrul regulat e piramida triunghiulară cu toate cele patru fețe triunghiuri echilaterale de latură $l$. Cele patru fețe fiind identice:

• Aria totală: $A_{\text{tot}}=4\cdot \frac{l^2\sqrt{3}}{4}=l^2\sqrt{3}$
• Aria laterală: $A_{\text{lat}}=3\cdot \frac{l^2\sqrt{3}}{4}$
• Înălțimea: $h=\frac{l\sqrt{6}}{3}$
• Volumul: $V=\frac{l^3\sqrt{2}}{12}$

Dacă nu ții minte înălțimea, o deduci: $h^2=l^2-{\left(\frac{l\sqrt{3}}{3}\right)}^2$, adică muchia laterală la pătrat minus raza cercului circumscris bazei la pătrat.

Apare mai rar, dar când apare merge tot pe apotemă. Trunchiul de piramidă regulat are două baze paralele, asemenea: una mare (latura $L$) și una mică (latura $l$).

• Aria laterală: $A_{\text{lat}}=\frac{(P_{\text{mare}}+P_{\text{mic}})\cdot a_t}{2}$, unde $a_t$ e apotema trunchiului (înălțimea unei fețe laterale, care e un trapez isoscel)
• Aria totală: $A_{\text{lat}}+A_{\text{mare}}+A_{\text{mic}}$ (ambele baze)
• Volumul: $V=\frac{h}{3}\cdot \left(A_{\text{mare}}+A_{\text{mic}}+\sqrt{A_{\text{mare}}\cdot A_{\text{mic}}}\right)$

Legătura utilă: $a_t^2=h^2+{\left(\frac{L-l}{2}\right)}^2$ la trunchiul patrulater regulat — din nou un triunghi dreptunghic, format cu diferența apotemelor bazelor.

• Apotema piramidei confundată cu înălțimea. Prima e pe fața laterală, a doua în interiorul corpului. În $A_{\text{lat}}$ intră apotema.
• Împărțirea la 3 uitată la volum.
• Două baze în loc de una la aria totală (asta e la prismă).
• Semidiagonala confundată cu jumătatea laturii: la baza pătrat $a_b=\frac{l}{2}$, dar distanța centru–vârf este $\frac{l\sqrt{2}}{2}$.
• Radicalul înmulțit cu el însuși: $\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=3$. La fel, ${\left(\frac{l\sqrt{3}}{3}\right)}^2=\frac{l^2}{3}$.
• Unitățile: arie în cm², volum în cm³.