Matematică · 10 min de citit

Triunghiul dreptunghic — Pitagora și sin/cos/tg

Cum recunoști catetele și ipotenuza, teorema lui Pitagora, definițiile sin/cos/tg și valorile pentru 30°, 45°, 60°.

Exerciții de examen pe această temă:Triunghiuri (50)

1. Elementele triunghiului dreptunghic

Un triunghi dreptunghic este un triunghi care are un unghi de 90° (numit unghi drept). Latura opusă unghiului drept se numește ipotenuză și este întotdeauna cea mai mare latură.

Celelalte două laturi (cele care formează unghiul drept) se numesc catete. Pentru fiecare unghi ascuțit al triunghiului:

  • cateta opusă = cateta din fața unghiului
  • cateta alăturată = cateta care formează unghiul (împreună cu ipotenuza)

Atenție! Catetele „opusă" și „alăturată" se schimbă în funcție de unghiul de referință. Pentru același triunghi, dacă privești unghiul A, cateta opusă e BC; dacă privești unghiul B, cateta opusă e AC.

2. Teorema lui Pitagora

Într-un triunghi dreptunghic, suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei:

a² + b² = c²

unde a și b sunt catetele, iar c este ipotenuza.

Reciproca lui Pitagora este și ea adevărată: dacă într-un triunghi pătratul unei laturi este egal cu suma pătratelor celorlalte două, atunci triunghiul este dreptunghic, iar unghiul drept este opus laturii celei mai mari.

exemplu rezolvat

Un triunghi dreptunghic are catetele de 6 cm și 8 cm. Cât este ipotenuza?

c² = a² + b² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100
c = √100 = 10 cm

exemplu rezolvat

Ipotenuza unui triunghi dreptunghic este 13 cm, iar o catetă este 5 cm. Cât este cealaltă catetă?

b² = c² − a² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144
b = √144 = 12 cm

3. Funcțiile trigonometrice: sin, cos, tg

Pentru un unghi ascuțit dintr-un triunghi dreptunghic, definim trei rapoarte:

  • sin(α) = cateta opusă / ipotenuză
  • cos(α) = cateta alăturată / ipotenuză
  • tg(α) = cateta opusă / cateta alăturată

Mnemonic: SOH-CAH-TOA — Sin = Opusă/Hypotenuză, Cos = Alăturată/Hypotenuză, Tan = Opusă/Alăturată.

Aceste rapoarte depind doar de unghi, nu de mărimea triunghiului. Două triunghiuri dreptunghice cu aceleași unghiuri sunt asemenea și au aceleași valori pentru sin/cos/tg.

4. Valorile pentru unghiurile speciale: 30°, 45°, 60°

Trebuie să cunoști pe de rost tabelul:

| unghi | 30° | 45° | 60° |
|---|---|---|---|
| sin | 1/2 | √2/2 | √3/2 |
| cos | √3/2 | √2/2 | 1/2 |
| tg | √3/3 | 1 | √3 |

Observații utile:

  • sin și cos sunt complementare: sin(30°) = cos(60°), sin(60°) = cos(30°). În general, sin(α) = cos(90° − α).
  • tg(45°) = 1 (în triunghiul dreptunghic isoscel catetele sunt egale).
  • Valorile sin și cos sunt mereu între 0 și 1 pentru unghiuri ascuțite.

exemplu rezolvat

Într-un triunghi dreptunghic, unghiul B = 60° și ipotenuza este 10 cm. Calculează catetele.

Cateta opusă unghiului B: sin(60°) = b/10 ⇒ b = 10 · √3/2 = 5√3 cm
Cateta alăturată unghiului B: cos(60°) = a/10 ⇒ a = 10 · 1/2 = 5 cm

5. Greșeli frecvente

  • Confunzi catetele: opusa și alăturata depind de unghiul ales — verifică ÎNAINTE să scrii raportul.
  • Pitagora aplicat greșit: numai în triunghi dreptunghic, și mereu cu ipotenuza la pătrat în membrul mai mare.
  • Uiți să extragi radical: c² = 100 ⇒ c = 10, nu c = 100.
  • Tg = sin/cos: dacă uiți tg, îl poți reconstrui din tg(α) = sin(α)/cos(α).
  • sin și cos > 1: e imposibil pentru unghiuri ascuțite — dacă obții asta, ai greșit raportul.

Ce trebuie să știi pe de rost

Cele 13 de idei din lecție, în formă scurtă. În cont le poți exersa ca flashcards, iar algoritmul ți le readuce exact înainte să le uiți.

Ce este ipotenuza?

Latura opusă unghiului drept; cea mai mare latură a triunghiului dreptunghic.

Enunță teorema lui Pitagora.

În triunghi dreptunghic: a² + b² = c², unde a și b sunt catete, c ipotenuza.

Ce spune reciproca lui Pitagora?

Dacă într-un triunghi pătratul unei laturi = suma pătratelor celorlalte, triunghiul e dreptunghic; unghiul drept e opus laturii mari.

Definește sin(α) într-un triunghi dreptunghic.

sin(α) = cateta opusă / ipotenuză

Definește cos(α).

cos(α) = cateta alăturată / ipotenuză

Definește tg(α).

tg(α) = cateta opusă / cateta alăturată = sin(α) / cos(α)

sin 30° = ?

1/2

cos 30° = ?

√3/2

sin 45° = cos 45° = ?

√2/2

tg 45° = ?

1

tg 60° = ?

√3

Cum se leagă sin(α) și cos(90° − α)?

sin(α) = cos(90° − α). De ex: sin 30° = cos 60° = 1/2.

Ce înseamnă mnemonica SOH-CAH-TOA?

Sin = Opusă/Hipotenuză, Cos = Alăturată/Hipotenuză, Tan = Opusă/Alăturată.

Teoria se uită. Flashcardurile nu te lasă.

În cont, cele 13 de cards intră într-un program de repetiție: cele grele revin mâine, cele ușoare peste câteva zile. Plus simulări corectate pe baremul oficial.

Exersează cu flashcards →

5 credite bonus la înregistrare. Fără card.