Prisme, cuburi și paralelipipede: arii și volume

O prismă dreaptă are două baze paralele și congruente, iar muchiile laterale sunt perpendiculare pe baze. Muchia laterală este înălțimea corpului.

Indiferent ce poligon are la bază — triunghi, pătrat, hexagon — se folosesc aceleași trei formule:

• Aria laterală: $A_{\text{lat}}=P_{\text{baza}}\cdot h$ (perimetrul bazei × înălțimea)
• Aria totală: $A_{\text{tot}}=A_{\text{lat}}+2\cdot A_{\text{baza}}$
• Volumul: $V=A_{\text{baza}}\cdot h$

Tot ce se schimbă de la o prismă la alta este cum calculezi aria și perimetrul bazei. „Regulată" înseamnă că baza este un poligon regulat (toate laturile și unghiurile egale).

Ariile bazelor de care ai nevoie:

• triunghi echilateral de latură $l$: $A=\frac{l^2\sqrt{3}}{4}$
• pătrat de latură $l$: $A=l^2$
• hexagon regulat de latură $l$: $A=\frac{3l^2\sqrt{3}}{2}$ (adică 6 triunghiuri echilaterale)

Cubul de muchie $l$ are 6 fețe pătrate, 12 muchii și 8 vârfuri.

• Aria laterală: $A_{\text{lat}}=4l^2$ (doar cele 4 fețe laterale)
• Aria totală: $A_{\text{tot}}=6l^2$ (toate cele 6 fețe)
• Volumul: $V=l^3$
• Diagonala cubului: $d=l\sqrt{3}$
• Diagonala unei fețe: $l\sqrt{2}$

Cele două diagonale nu se confundă: diagonala feței este $l\sqrt{2}$ (e diagonala unui pătrat), diagonala cubului este $l\sqrt{3}$ (străbate corpul dintr-un vârf în cel opus).

Aproape toate grilele cu cub îți dau o mărime și cer alta. Drumul e mereu același: din datele problemei afli muchia, apoi din muchie afli ce ți se cere.

Paralelipipedul dreptunghic (cutia) are dimensiunile $L$, $l$, $h$. Toate fețele sunt dreptunghiuri.

• Volumul: $V=L\cdot l\cdot h$
• Aria totală: $A_{\text{tot}}=2(L\cdot l+L\cdot h+l\cdot h)$
• Aria laterală: $A_{\text{lat}}=2h(L+l)$, adică perimetrul bazei × înălțimea
• Diagonala: $d=\sqrt{L^2+l^2+h^2}$

Formula diagonalei e „Pitagora în spațiu" și se aplică identic la cub, unde $L=l=h=a$: $d=\sqrt{3a^2}=a\sqrt{3}$. E aceeași formulă, nu una nouă.

E singura care sperie, dar se rezolvă cu aceleași formule. Baza e un hexagon regulat de latură $l$, adică 6 triunghiuri echilaterale cu latura $l$ lipite în jurul centrului.

• $P_{\text{baza}}=6l$
• $A_{\text{baza}}=6\cdot \frac{l^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3l^2\sqrt{3}}{2}$
• $A_{\text{lat}}=6l\cdot h$
• $V=\frac{3l^2\sqrt{3}}{2}\cdot h$

De reținut și că latura hexagonului regulat este egală cu raza cercului circumscris — de aceea baza se descompune exact în triunghiuri echilaterale.

• Aria laterală vs aria totală. La cub: laterală $4l^2$, totală $6l^2$. Citește exact ce se cere.
• Radicalul înmulțit cu el însuși: $\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=3$, nu $\sqrt{9}$ lăsat ca radical, și nu 9. La fel, $(2\sqrt{3}{)}^2=4\cdot 3=12$.
• Diagonala feței nu e diagonala cubului: $l\sqrt{2}$ față de $l\sqrt{3}$.
• Unitățile de măsură: aria în cm², volumul în cm³. O grilă poate avea distractori identici ca număr, diferiți ca unitate.
• La prisma regulată, înălțimea este muchia laterală — nu o confunda cu înălțimea triunghiului de la bază.
• Aria bazei nu e perimetrul. În $A_{\text{lat}}$ intră perimetrul, în $V$ intră aria.