Prisme, cuburi și paralelipipede: arii și volume

O prismă dreaptă are două baze paralele și congruente, iar muchiile laterale sunt perpendiculare pe baze. Muchia laterală este înălțimea corpului.

Indiferent ce poligon are la bază — triunghi, pătrat, hexagon — se folosesc aceleași trei formule:

• Aria laterală: A_lat = P_bază · h (perimetrul bazei × înălțimea)
• Aria totală: A_tot = A_lat + 2 · A_bază
• Volumul: V = A_bază · h

Tot ce se schimbă de la o prismă la alta este cum calculezi aria și perimetrul bazei. „Regulată" înseamnă că baza este un poligon regulat (toate laturile și unghiurile egale).

Ariile bazelor de care ai nevoie:

• triunghi echilateral de latură l: A = l²√3 / 4
• pătrat de latură l: A = l²
• hexagon regulat de latură l: A = 3l²√3 / 2 (adică 6 triunghiuri echilaterale)

Cubul de muchie l are 6 fețe pătrate, 12 muchii și 8 vârfuri.

• Aria laterală: A_lat = 4l² (doar cele 4 fețe laterale)
• Aria totală: A_tot = 6l² (toate cele 6 fețe)
• Volumul: V = l³
• Diagonala cubului: d = l√3
• Diagonala unei fețe: l√2

Cele două diagonale nu se confundă: diagonala feței este l√2 (e diagonala unui pătrat), diagonala cubului este l√3 (străbate corpul dintr-un vârf în cel opus).

Aproape toate grilele cu cub îți dau o mărime și cer alta. Drumul e mereu același: din datele problemei afli muchia, apoi din muchie afli ce ți se cere.

Paralelipipedul dreptunghic (cutia) are dimensiunile L, l, h. Toate fețele sunt dreptunghiuri.

• Volumul: V = L · l · h
• Aria totală: A_tot = 2(L·l + L·h + l·h)
• Aria laterală: A_lat = 2h(L + l), adică perimetrul bazei × înălțimea
• Diagonala: d = √(L² + l² + h²)

Formula diagonalei e „Pitagora în spațiu" și se aplică identic la cub, unde L = l = h = a: d = √(3a²) = a√3. E aceeași formulă, nu una nouă.

E singura care sperie, dar se rezolvă cu aceleași formule. Baza e un hexagon regulat de latură l, adică 6 triunghiuri echilaterale cu latura l lipite în jurul centrului.

• P_bază = 6l
• A_bază = 6 · (l²√3/4) = 3l²√3 / 2
• A_lat = 6l · h
• V = (3l²√3/2) · h

De reținut și că latura hexagonului regulat este egală cu raza cercului circumscris — de aceea baza se descompune exact în triunghiuri echilaterale.

• Aria laterală vs aria totală. La cub: laterală 4l², totală 6l². Citește exact ce se cere.
• √3 · √3 = 3, nu √9 lăsat ca radical, și nu 9. La fel, (2√3)² = 4 · 3 = 12.
• Diagonala feței (l√2) ≠ diagonala cubului (l√3).
• Unitățile de măsură: aria în cm², volumul în cm³. O grilă poate avea distractori identici ca număr, diferiți ca unitate.
• La prisma regulată, înălțimea este muchia laterală — nu o confunda cu înălțimea triunghiului de la bază.
• Aria bazei nu e perimetrul. În A_lat intră perimetrul, în V intră aria.