Matematică · 9 min de citit

Probabilități: cazuri favorabile și cazuri posibile

O singură formulă rezolvă tot capitolul: probabilitatea e raportul dintre cazurile favorabile și cazurile posibile. Toată dificultatea reală stă în numărarea corectă a celor două.

Exerciții de examen pe această temă:Probabilități (6)

1. Formula de bază

Probabilitatea ca un eveniment să se producă, la o extragere/alegere la întâmplare:

$P = \frac{num a ˘ rul de cazuri favorabile}{num a ˘ rul de cazuri posibile}$

Cazurile posibile = toate rezultatele care pot ieși (total de bile, total de fețe ale zarului, total de elemente ale mulțimii).

Cazurile favorabile = doar acelea care îndeplinesc condiția cerută. Rezultatul se lasă, ca orice fracție, în formă ireductibilă.

exemplu rezolvat

Într-o cutie sunt 10 bile, dintre care 4 roșii. Care e probabilitatea ca o bilă extrasă la întâmplare să fie roșie?

Cazuri posibile = 10 (total bile). Cazuri favorabile = 4 (bile roșii).

$P = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

exemplu rezolvat

La aruncarea unui zar cu 6 fețe, care e probabilitatea să iasă un număr par?

Cazuri posibile = 6 (fețele 1–6). Cazuri favorabile (numere pare) = 2, 4, 6 ⇒ 3.

$P = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

2. Când cazurile favorabile se numără printr-o proprietate

Uneori cazurile favorabile nu sunt date direct (ca „bile roșii"), ci printr-o proprietate matematică — divizibilitate, paritate, „număr prim". Le numeri exact ca la capitolul de divizibilitate, apoi aplici formula la fel.

exemplu rezolvat

Se alege la întâmplare un număr din {1, 2, ..., 50}. Care e probabilitatea să fie divizibil cu 5?

Cazuri posibile = 50. Multipli de 5 din interval: 5, 10, 15, ..., 50 — sunt $50 : 5 = 10$ numere.

$P = \frac{10}{50} = \frac{1}{5}$

exemplu rezolvat

La aruncarea unui zar cu fețele 1–6, care e probabilitatea să iasă un număr prim?

Numere prime din 1–6: 2, 3, 5 (1 nu e prim) ⇒ 3 cazuri favorabile.

$P = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

3. Evenimentul „A sau B": adunarea cazurilor favorabile

Când condiția cere una dintre două categorii diferite (de exemplu „roșie SAU verde"), cazurile favorabile se adună — atâta timp cât cele două categorii nu se suprapun (o bilă nu poate fi și roșie, și verde în același timp).

exemplu rezolvat

Într-o pungă sunt 4 bile roșii, 3 albastre și 3 verzi. Care e probabilitatea ca bila extrasă să fie roșie sau verde?

Total bile = $4 + 3 + 3 = 10$ . Cazuri favorabile (roșie SAU verde) = $4 + 3 = 7$ .

$P = \frac{7}{10}$

4. Greșeli care costă puncte

Cazurile posibile sunt TOTALUL elementelor, nu doar cele dintr-o categorie — se uită des la probleme cu mai multe categorii (roșii, albastre, verzi).
1 nu e număr prim — la numărarea cazurilor favorabile prin „număr prim", nu-l include.
„A sau B" înseamnă adunarea cazurilor favorabile, nu produsul lor.
Rezultatul se lasă sub formă de fracție ireductibilă, dacă enunțul nu cere altă formă (procent, zecimal).
Verifică suma cazurilor: dacă adaugi toate categoriile disjuncte, trebuie să obții exact totalul cazurilor posibile.

Antrenament pe subiecte oficiale

6 exerciții date la Evaluarea Națională, la acest capitol. Fiecare cu explicație pe toate variantele și cu link către rezolvarea întreagă.

exercițiul 1 din 6 · 0 corecte

Într-un coș sunt 12 cărți: 3 roșii, 4 verzi și 5 albastre. Se extrage la întâmplare o carte. Probabilitatea ca aceasta să fie roșie este:

Ce trebuie să știi pe de rost

Cele 4 de idei din lecție, în formă scurtă. În cont le poți exersa ca flashcards, iar algoritmul ți le readuce exact înainte să le uiți.

Formula de bază a probabilității?: P = (cazuri favorabile) / (cazuri posibile).
Ce reprezintă „cazurile posibile"?: Totalul rezultatelor care pot ieși — toate bilele, toate fețele zarului, toate elementele mulțimii.
La numărarea cazurilor favorabile „număr prim", ce nu se include?: 1 — nu e număr prim.
Cum calculezi P(roșie SAU verde)?: Aduni cazurile favorabile ale celor două categorii (dacă sunt disjuncte), apoi împarți la total.

Teoria se uită. Flashcardurile nu te lasă.

În cont, cele 4 de cards intră într-un program de repetiție: cele grele revin mâine, cele ușoare peste câteva zile. Plus simulări corectate pe baremul oficial.

Exersează cu flashcards →

5 credite bonus la înregistrare. Fără card.