Matematică · 10 min de citit
Patru tipuri de întrebări acoperă tot capitolul, iar trei dintre ele sunt aceeași înmulțire citită în trei direcții. Plus capcana schimbărilor succesive, care nu se adună.
Exerciții de examen pe această temă:Procente (24)
p% dintr-un număr N înseamnă p/100 · N. Atât. Toate formulele capitolului sunt scrieri diferite ale acestei înmulțiri.
Procentele care apar cel mai des se pot calcula din cap, fără calculator:
La grilă, asta e de obicei tot ce trebuie: „Rezultatul calculului 25% din 240" se rezolvă în două secunde ca 240 : 4 = 60.
exemplu rezolvat
Rezultatul calculului 15% din 200 este egal cu:
15% din 200 = 15/100 · 200 = 15 · 2 = 30
Sau: 10% din 200 = 20, 5% din 200 = 10, deci 20 + 10 = 30.
exemplu rezolvat
Dintre cei 250 de elevi participanți la un concurs, 40% sunt băieți. Câți băieți sunt?
40% din 250 = 40/100 · 250 = 0,4 · 250 = 100 de băieți
Relația parte = p% · întreg are trei necunoscute posibile. Examenul le cere pe toate trei, cu formulări diferite.
a) Se cere partea — „Rezultatul calculului p% din N":
parte = p/100 · N
b) Se cere întregul — „Numărul 30 reprezintă 20% dintr-un număr. Acel număr este:":
întreg = parte : (p/100) = parte · 100 / p
Aici se greșește cel mai des: elevul calculează 20% din 30 (adică 6) în loc să împartă. Verifică mereu la final: 20% din 150 = 30 ✔
c) Se cere procentul — „Cât la sută din numărul 80 reprezintă numărul 32?":
p = parte / întreg · 100
Cuvântul „din" arată întotdeauna întregul. „Cât la sută din 80" înseamnă că 80 este întregul, iar 32 este partea — nu invers.
exemplu rezolvat
Numărul 60 reprezintă 75% din numărul N. Valoarea lui N este:
Din 75/100 · N = 60 ⇒ N = 60 · 100 / 75 = 6000/75 = 80
Verificare: 75% din 80 = 3/4 · 80 = 60 ✔
exemplu rezolvat
Cât la sută din numărul 80 reprezintă numărul 32?
p = 32/80 · 100 = 0,4 · 100 = 40%
Verificare: 40% din 80 = 32 ✔
exemplu rezolvat
Numărul 15 reprezintă din numărul 60 un procent egal cu:
p = 15/60 · 100 = 1/4 · 100 = 25%
Formularea e răsucită, dar „din numărul 60" spune care e întregul.
Aici apar cele mai multe probleme din variante. Două formule scurtcircuitează tot:
O reducere de 25% înseamnă că plătești 75% din preț; o scumpire cu 10% înseamnă că plătești 110%. Gândește direct în „cât rămâne de plătit" și scapi de o scădere.
Drumul invers (se dă prețul de după și se cere cel dinainte) este o împărțire, nu o adunare:
preț vechi = preț nou : (1 − p/100)
Capcana clasică: „După o reducere de 20%, prețul este 60 de lei." Prețul inițial nu e 60 + 20% din 60 = 72, ci 60 : 0,8 = 75. Verifică: 20% din 75 = 15, iar 75 − 15 = 60 ✔
exemplu rezolvat
Un produs costă 80 de lei. După o reducere de 25%, noul preț este:
Plătești 75% din 80: 0,75 · 80 = 60 de lei.
Sau pe pași: reducerea = 25% din 80 = 20 lei; 80 − 20 = 60 lei.
Atenție la distractor: 20 de lei este reducerea, nu prețul nou.
exemplu rezolvat
Un obiect costă 100 de lei. După o scumpire cu 10%, noul preț este:
100 · 1,1 = 110 lei
exemplu rezolvat
După o reducere de 20%, prețul unui produs este 60 de lei. Prețul inițial era:
60 : 0,8 = 75 de lei
Verificare: 75 − 20% din 75 = 75 − 15 = 60 ✔
Cea mai frecventă greșeală din tot capitolul: „+10%, apoi −20%" nu înseamnă −10%.
Motivul: al doilea procent se aplică pe prețul deja schimbat, nu pe cel inițial. Se înmulțesc factorii, în ordine:
preț final = preț inițial · (1 ± p₁/100) · (1 ± p₂/100) · …
Consecință utilă: o reducere de p% urmată de o scumpire cu p% nu te aduce înapoi. 100 → −10% → 90 → +10% → 99, nu 100.
exemplu rezolvat
Prețul unui produs este 50 de lei. Se majorează cu 10%, apoi se reduce cu 20%. Noul preț este:
50 · 1,1 = 55 lei; 55 · 0,8 = 44 de lei
Dacă ai fi adunat procentele (+10% − 20% = −10%), ai fi obținut 45 — un distractor care apare exact așa în variante.
exemplu rezolvat
Un produs costă 1000 lei. Prețul este majorat cu 50%, apoi redus cu 40%, apoi majorat cu 25%. Prețul final este:
1000 · 1,5 = 1500
1500 · 0,6 = 900
900 · 1,25 = 1125 lei
exemplu rezolvat
Un produs costă 250 lei. Se aplică o reducere de 20%, apoi alta de 10% asupra prețului redus.
250 · 0,8 = 200 lei; 200 · 0,9 = 180 lei
Reducerea totală e de 70 de lei, adică 28% — nu 30%, cât ar da adunarea procentelor.
Al doilea tipar de problemă rezolvată pe foaie (Subiectul al II-lea): se dă cât s-a consumat în procente și cât a rămas în lei.
Metoda: numește suma inițială x, scrie ce rămâne ca procent din x și rezolvă ecuația.
Dacă s-a cheltuit p%, atunci a rămas (100 − p)% din sumă.
exemplu rezolvat
Maria a cheltuit 40% din suma pe care o avea pentru o carte și i-au rămas 30 de lei. Ce sumă a avut?
A rămas 60% din sumă: 0,6 · x = 30 ⇒ x = 30 : 0,6 = 50 de lei.
Verificare: 40% din 50 = 20; 50 − 20 = 30 ✔
8 exerciții date la Evaluarea Națională, la acest capitol. Fiecare cu explicație pe toate variantele și cu link către rezolvarea întreagă.
exercițiul 1 din 8 · 0 corecte
Dintre cei 250 de elevi participanți la un concurs, 40% sunt băieți. Numărul băieților care participă la concurs este egal cu:
Cele 10 de idei din lecție, în formă scurtă. În cont le poți exersa ca flashcards, iar algoritmul ți le readuce exact înainte să le uiți.
Ce înseamnă p% dintr-un număr N?
p/100 · N. Toate formulele capitolului sunt scrieri ale acestei înmulțiri.
Cum afli întregul, dacă știi partea și procentul?
întreg = parte : (p/100). Se ÎMPARTE. Ex.: 30 e 20% din 30 : 0,2 = 150.
Cât la sută din N reprezintă a?
p = a/N · 100. Cuvântul „din" arată întregul (N).
Preț după o reducere de p%?
preț · (1 − p/100). O reducere de 25% înseamnă că plătești 75%.
Preț după o scumpire cu p%?
preț · (1 + p/100). O scumpire cu 10% înseamnă că plătești 110%.
Se dă prețul DUPĂ reducere. Cum afli prețul inițial?
preț nou : (1 − p/100). Ex.: după −20% costă 60 ⇒ 60 : 0,8 = 75.
Ce se întâmplă la două schimbări succesive de procent?
Se ÎNMULȚESC factorii, nu se adună procentele: +10% apoi −20% ⇒ ·1,1·0,8 = ·0,88.
100 lei, −10%, apoi +10%. Cât costă?
99 de lei, nu 100. Al doilea procent se aplică pe suma deja schimbată.
S-a cheltuit p% din sumă. Cât a rămas?
(100 − p)% din sumă. Scrii ecuația cu x = suma inițială.
Care e verificarea care elimină aproape toate variantele greșite?
Calculează p% din răspunsul găsit și vezi dacă îți dă înapoi datele problemei.
În cont, cele 10 de cards intră într-un program de repetiție: cele grele revin mâine, cele ușoare peste câteva zile. Plus simulări corectate pe baremul oficial.
Exersează cu flashcards →5 credite bonus la înregistrare. Fără card.