Matematică · 12 min de citit

Proporții: rapoarte, direct și invers proporționale

O proporție se rezolvă mereu cu aceeași regulă — produsul extremilor egal cu produsul mezilor. Restul capitolului e despre citirea corectă a raportului din enunț: împărțit direct, sau invers proporțional.

Exerciții de examen pe această temă:Rapoarte și proporții (7)

1. Proporția: produsul extremilor = produsul mezilor

O proporție e o egalitate de două rapoarte: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ . Regula de aur pentru a afla un termen necunoscut:

$a \cdot d = b \cdot c$ — produsul extremilor (a și d, termenii din capete) e egal cu produsul mezilor (b și c, termenii din mijloc).

Din această singură egalitate, orice termen necunoscut se află printr-o împărțire.

exemplu rezolvat

Dacă $\frac{3}{x} = \frac{6}{8}$ , atunci x este egal cu:

Produsul extremilor = produsul mezilor: $3 \cdot 8 = 6 \cdot x$

$24 = 6 x \Rightarrow x = 4$

exemplu rezolvat

Dacă $\frac{a}{4} = \frac{5}{2}$ , atunci rezultatul calculului $2 a + 10$ este egal cu:

Din proporție: $a \cdot 2 = 4 \cdot 5 \Rightarrow a = 10$

$2 a + 10 = 2 \cdot 10 + 10 = 30$

2. Împărțirea unui număr în părți, după un raport dat

Când un total se împarte după un raport (de exemplu 3 : 5), metoda are trei pași:

Aduni numărul de părți din raport (3 + 5 = 8).
Împarți totalul la numărul de părți, ca să afli valoarea unei părți.
Înmulțești fiecare termen al raportului cu valoarea unei părți.

Metoda funcționează la fel pentru un raport cu 3 sau mai mulți termeni — doar suma de la pasul 1 are mai mulți termeni.

exemplu rezolvat

La un eveniment participă 64 de elevi. Raportul dintre fete și băieți este 3 : 5. Câți băieți sunt?

Total părți = 3 + 5 = 8. O parte = 64 : 8 = 8 elevi.

Băieți = 5 părți = 5 · 8 = 40

Verificare: fete = 3 · 8 = 24, iar 24 + 40 = 64 ✓

exemplu rezolvat

Trei frați împart 84 de lei în raport 1 : 2 : 4. Cât primește fiecare?

Total părți = 1 + 2 + 4 = 7. O parte = 84 : 7 = 12 lei.

Cel mic: 1 · 12 = 12 lei. Cel mijlociu: 2 · 12 = 24 lei. Cel mare: 4 · 12 = 48 lei.

Verificare: 12 + 24 + 48 = 84 ✓

3. Numere direct proporționale

Numerele $a$ și $b$ sunt direct proporționale cu $m$ și $n$ dacă rapoartele lor cu $m$ , respectiv $n$ , sunt egale — și le notezi cu aceeași constantă $k$ :

$\frac{a}{m} = \frac{b}{n} = k \Rightarrow a = mk, b = nk$

Când mai știi o condiție suplimentară (suma, diferența), o scrii în funcție de $k$ , afli $k$ , apoi calculezi $a$ și $b$ direct. Metoda se extinde natural la trei sau mai multe numere.

exemplu rezolvat

Numerele naturale a și b sunt direct proporționale cu 2 și 5, iar suma lor este 35. Determină a și b.

$\frac{a}{2} = \frac{b}{5} = k \Rightarrow a = 2 k, b = 5 k$

Suma: $a + b = 7 k = 35 \Rightarrow k = 5$

$a = 10$ , $b = 25$

exemplu rezolvat

Numerele naturale a, b, c sunt direct proporționale cu 3, 4 și 5, iar suma lor este 24. Determină numerele.

$\frac{a}{3} = \frac{b}{4} = \frac{c}{5} = k \Rightarrow a = 3 k, b = 4 k, c = 5 k$

Suma: $12 k = 24 \Rightarrow k = 2$

$a = 6$ , $b = 8$ , $c = 10$

4. Numere invers proporționale

Numerele $a$ și $b$ sunt invers proporționale cu $m$ și $n$ dacă produsele lor cu $m$ , respectiv $n$ , sunt egale (nu rapoartele):

$a \cdot m = b \cdot n = k \Rightarrow a = \frac{k}{m}, b = \frac{k}{n}$

Diferența față de direct proporționale e exact aici: la invers proporționale, numărul mai mic din pereche (m sau n) corespunde termenului mai mare (a sau b) — relația se inversează, de-aici și numele.

exemplu rezolvat

Numerele naturale a și b sunt invers proporționale cu 2 și 3, iar suma lor este 25. Determină diferența a − b.

$a \cdot 2 = b \cdot 3 = k \Rightarrow a = \frac{k}{2}, b = \frac{k}{3}$

Suma: $\frac{k}{2} + \frac{k}{3} = \frac{5 k}{6} = 25 \Rightarrow k = 30$

$a = 15$ , $b = 10$ , deci $a - b = 5$

Observă: 2 < 3, dar a > b — la invers proporționale, numărul mai mic corespunde termenului mai mare.

5. Greșeli care costă puncte

La direct proporționale, rapoartele sunt egale: a/m = b/n. La invers proporționale, produsele sunt egale: a·m = b·n. Nu le încurca.
La împărțirea în părți, valoarea unei părți vine din totalul dat, nu dintr-un termen izolat al raportului.
Constanta k nu e răspunsul final — după ce o afli, trebuie să calculezi înapoi fiecare termen cerut (a, b, c...).
Verifică mereu suma/produsul termenilor găsiți cu valoarea dată în enunț — o eroare la k se propagă la toate valorile.
La invers proporționale, numărul mai mic din raport dă termenul mai mare — o sursă frecventă de confuzie dacă nu verifici la final.

Antrenament pe subiecte oficiale

3 exerciții date la Evaluarea Națională, la acest capitol. Fiecare cu explicație pe toate variantele și cu link către rezolvarea întreagă.

exercițiul 1 din 3 · 0 corecte

Dacă $\frac{a}{4} = \frac{5}{2}$ , atunci rezultatul calculului 2a + 10 este egal cu:

Ce trebuie să știi pe de rost

Cele 5 de idei din lecție, în formă scurtă. În cont le poți exersa ca flashcards, iar algoritmul ți le readuce exact înainte să le uiți.

Regula de bază a unei proporții a/b = c/d?: Produsul extremilor egal cu produsul mezilor: a·d = b·c.
Cum împarți un total în raport 3 : 5?: Aduni părțile (3+5=8), împarți totalul la 8 ca să afli o parte, apoi înmulțești fiecare termen al raportului cu acea valoare.
Ce înseamnă „a și b sunt direct proporționale cu m și n"?: a/m = b/n = k, deci a = mk și b = nk.
Ce înseamnă „a și b sunt invers proporționale cu m și n"?: a·m = b·n = k, deci a = k/m și b = k/n — produsele sunt egale, nu rapoartele.
Diferența cheie dintre direct și invers proporțional?: Direct: rapoartele sunt egale (a/m=b/n). Invers: produsele sunt egale (a·m=b·n) — la invers, numărul mai mic din pereche dă termenul mai mare.

Teoria se uită. Flashcardurile nu te lasă.

În cont, cele 5 de cards intră într-un program de repetiție: cele grele revin mâine, cele ușoare peste câteva zile. Plus simulări corectate pe baremul oficial.

Exersează cu flashcards →

5 credite bonus la înregistrare. Fără card.