Matematică · 11 min de citit

Puteri: semnul rezultatului și regulile de calcul

Puterea e o înmulțire repetată, dar jumătate din greșelile capitolului nu vin de-acolo — vin din paranteze: −2² și (−2)² nu sunt același număr, iar diferența decide tot restul calculului.

Exerciții de examen pe această temă:Puteri (11)

1. Ce înseamnă puterea unui număr

O putere $a^{n}$ înseamnă „a înmulțit cu el însuși, de n ori":

$a^{n} = n factori a \cdot a \cdot \dots \cdot a$

a se numește bază, iar n se numește exponent. Nu e nimic mai mult decât o prescurtare pentru o înmulțire repetată — atât timp cât ții minte asta, orice regulă din capitol se poate reconstrui de la zero dacă o uiți.

exemplu rezolvat

Cât este $2^{3} + 3^{2}$ ?

$2^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$
$3^{2} = 3 \cdot 3 = 9$

Suma: $8 + 9 = 17$

Nu confunda $2^{3}$ (2 la puterea a treia) cu $3^{2}$ (3 la puterea a doua) — bazele și exponenții sunt diferite, deși cifrele „2" și „3" apar în amândouă.

2. Semnul rezultatului la bază negativă

Când baza e negativă, semnul rezultatului depinde doar de paritatea exponentului:

Exponent par ⇒ rezultat pozitiv (minusurile se anulează în perechi).
Exponent impar ⇒ rezultat negativ (rămâne un minus neanulat).

$(- 2)^{2} = (- 2) (- 2) = 4$ — pozitiv (exponent par)
$(- 2)^{3} = (- 2) (- 2) (- 2) = - 8$ — negativ (exponent impar)

exemplu rezolvat

Cât este $(- 2)^{3} + (- 1)^{4}$ ?

$(- 2)^{3} = - 8$ (exponent impar ⇒ semn păstrat)
$(- 1)^{4} = 1$ (exponent par ⇒ rezultat pozitiv)

Suma: $- 8 + 1 = - 7$

exemplu rezolvat

Cât este $(- 3)^{2} - (- 3)$ ?

$(- 3)^{2} = 9$ (un număr negativ ridicat la o putere pară devine pozitiv)
$- (- 3) = + 3$ (minus-minus = plus)

Rezultat: $9 + 3 = 12$

3. Capcana cea mai frecventă: minusul din față, cu sau fără paranteză

E singura greșeală care apare de două ori în arhivă, sub forme diferite — merită tratată separat de restul semnelor.

$- a^{n}$ nu are paranteză: se ridică întâi $a$ la puterea $n$ , apoi se aplică minusul din față. Minusul NU face parte din bază.
$(- a)^{n}$ are paranteză: minusul face parte din bază, deci contează paritatea exponentului (cap. 2).

$- 2^{2} = - (2^{2}) = - 4$ (minusul rămâne în afară, se aplică ultimul)
$(- 2)^{2} = (- 2) (- 2) = 4$ (minusul intră în calcul, de două ori)

exemplu rezolvat

Cât este $- 2^{2} + (- 2)^{2}$ ?

$- 2^{2} = - (2^{2}) = - 4$ (semnul minus se aplică DUPĂ ridicarea la pătrat)
$(- 2)^{2} = 4$ (paranteza include semnul, exponent par ⇒ pozitiv)

Suma: $- 4 + 4 = 0$

Cele două rezultate ( $- 4$ și $4$ ) au semne opuse, deși cifrele din enunț sunt identice — toată diferența stă în paranteză.

exemplu rezolvat

Cât este $- 2^{4} + (- 2)^{4}$ ?

$- 2^{4} = - (2^{4}) = - 16$ (minusul rămâne afară)
$(- 2)^{4} = 16$ (exponent par, minusul e în bază)

Suma: $- 16 + 16 = 0$

4. Înmulțirea și împărțirea puterilor cu aceeași bază

Când două puteri au aceeași bază, înmulțirea și împărțirea se fac direct pe exponenți, fără să calculezi fiecare putere separat:

Înmulțire: $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ — exponenții se adună.
Împărțire: $a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$ — exponenții se scad.

Regula funcționează la fel și când baza e o fracție sau un număr negativ — important e doar ca baza să fie identică.

exemplu rezolvat

Cât este $2^{3} \cdot 2^{2}$ ?

Aceeași bază (2), deci adun exponenții: $2^{3} \cdot 2^{2} = 2^{3 + 2} = 2^{5} = 32$

exemplu rezolvat

Arată că $a = 4$ , pentru $a = (- \frac{1}{3})^{32} : (- \frac{1}{3})^{30} \cdot (- 6)^{2}$ .

Aceeași bază la primii doi factori, deci scad exponenții:
$(- \frac{1}{3})^{32} : (- \frac{1}{3})^{30} = (- \frac{1}{3})^{32 - 30} = (- \frac{1}{3})^{2} = \frac{1}{9}$

$a = \frac{1}{9} \cdot (- 6)^{2} = \frac{1}{9} \cdot 36 = 4$

5. Greșeli care costă puncte

$- a^{n}$ nu e același lucru cu $(- a)^{n}$ — cea mai frecventă și mai costisitoare confuzie a capitolului. Verifică mereu dacă minusul e sau nu în paranteză.
La bază negativă, doar paritatea exponentului contează pentru semn — par ⇒ pozitiv, impar ⇒ negativ.
$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ , nu $a^{m \cdot n}$ — exponenții se adună la înmulțire, nu se înmulțesc.
Regula bazei comune funcționează doar dacă bazele sunt IDENTICE — $2^{3} \cdot 3^{2}$ nu se simplifică prin adunarea exponenților.
O putere cu exponent 0 este 1 (pentru orice bază nenulă) — regulă des uitată, deși nu apare direct în cele 10 exerciții, e folosită implicit la simplificări.

Antrenament pe subiecte oficiale

8 exerciții date la Evaluarea Națională, la acest capitol. Fiecare cu explicație pe toate variantele și cu link către rezolvarea întreagă.

exercițiul 1 din 8 · 0 corecte

Rezultatul calculului $(- 3)^{2} - (- 3)$ este egal cu:

Ce trebuie să știi pe de rost

Cele 6 de idei din lecție, în formă scurtă. În cont le poți exersa ca flashcards, iar algoritmul ți le readuce exact înainte să le uiți.

Ce înseamnă $a^{n}$ ?: $a$ înmulțit cu el însuși, de $n$ ori. $a$ e baza, $n$ e exponentul.
Când e negativ rezultatul unei puteri cu bază negativă?: Doar când exponentul e impar. Exponent par ⇒ rezultat pozitiv.
Diferența dintre $- 2^{2}$ și $(- 2)^{2}$ ?: $- 2^{2} = - (2^{2}) = - 4$ (minusul se aplică ultimul, e în afara puterii). $(- 2)^{2} = 4$ (minusul e în bază, exponent par ⇒ pozitiv).
Cum înmulțești $a^{m} \cdot a^{n}$ ?: Aduni exponenții: $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ — funcționează doar dacă bazele sunt identice.
Cum împarți $a^{m} : a^{n}$ ?: Scazi exponenții: $a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$ — tot cu baze identice.
Cât este $a^{0}$ , pentru $a \neq = 0$ ?: 1, indiferent de bază (cât timp baza nu e zero).

Teoria se uită. Flashcardurile nu te lasă.

În cont, cele 6 de cards intră într-un program de repetiție: cele grele revin mâine, cele ușoare peste câteva zile. Plus simulări corectate pe baremul oficial.

Exersează cu flashcards →

5 credite bonus la înregistrare. Fără card.