Matematică · 12 min de citit
Aproape tot capitolul stă pe un singur gest: descompui numărul de sub radical într-un pătrat perfect ori altceva. După ce toți radicalii arată la fel, adunarea și scăderea devin o simplă dare în factor comun.
Exerciții de examen pe această temă:Radicali (16)
√a este numărul pozitiv al cărui pătrat este a. Atât. Din definiție ies imediat două egalități pe care se sprijină jumătate din exerciții:
Radicalul „iese" frumos doar din pătrate perfecte. Merită știute pe de rost, fiindcă toată descompunerea de la punctul următor le caută:
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400
Restul radicalilor rămân radicali: √2, √3, √5 nu se pot scrie ca fracții și nu se aproximează la grilă — variantele de răspuns sunt scrise tot cu radical.
exemplu rezolvat
Rezultatul calculului (√5)² + (√3)² este egal cu:
(√a)² = a, deci (√5)² = 5 și (√3)² = 3.
Suma: 8
Distractorul obișnuit este √8 — ridicarea la pătrat se face pe fiecare termen separat, nu pe suma de sub radicali.
E gestul cel mai des cerut din tot capitolul. Regula pe care se bazează:
√(a · b) = √a · √b
Deci, ca să simplifici √n, cauți cel mai mare pătrat perfect care ÎL DIVIDE pe n, îl scoți afară ca rădăcină, iar restul rămâne sub radical:
Trei capcane, toate cu distractor propriu în variante:
Gestul invers e la fel de util, mai ales la comparări: a√b = √(a² · b). Așa, 4√3 = √(16 · 3) = √48.
exemplu rezolvat
Rezultatul calculului √72 este egal cu:
Cel mai mare pătrat perfect care divide 72 este 36 (72 = 36 · 2).
√72 = √36 · √2 = 6√2
exemplu rezolvat
Rezultatul calculului √48 este egal cu:
48 = 16 · 3 ⇒ √48 = √16 · √3 = 4√3
Dacă ai scris 4√12, ai scos √16 = 4 dar ai împărțit 48 la 4 în loc de 16.
Radicalii nu se adună și nu se scad sub semn. √50 − √8 nu este √42, iar √80 + √20 nu este √100.
Se adună doar radicali care au exact același număr sub radical — la fel ca termenii asemenea de la calcul algebric. Atunci radicalul se dă în factor comun și se lucrează doar cu coeficienții:
a√c + b√c = (a + b)√c
De aici, metoda completă are doi pași, în ordinea asta:
Fără pasul 1 exercițiul pare imposibil; cu el, e o adunare de clasa a V-a.
exemplu rezolvat
Rezultatul calculului √200 − √50 este egal cu:
√200 = √(100 · 2) = 10√2
√50 = √(25 · 2) = 5√2
Amândoi au √2, deci: (10 − 5)√2 = 5√2
exemplu rezolvat
Rezultatul calculului √27 + √48 − √12 este egal cu:
√27 = 3√3, √48 = 4√3, √12 = 2√3 — toți au √3.
(3 + 4 − 2)√3 = 5√3
exemplu rezolvat
Rezultatul calculului 2√2 − 6√2 + 3√2 este egal cu:
Toți termenii au deja √2, deci se dă factor comun direct:
(2 − 6 + 3)√2 = −1 · √2 = −√2
Coeficientul 1 nu se scrie, dar semnul minus rămâne.
Aici, spre deosebire de adunare, radicalii chiar se combină sub semn:
Când radicalii au și coeficienți, se înmulțesc separat coeficienții și separat radicalii:
a√b · c√d = (a · c) · √(b · d)
Cazul care apare cel mai des: √c · √c = c. Din el, 4√3 · 2√3 = 8 · 3 = 24 — un număr întreg, fără niciun radical.
Uneori produsul de sub radical e chiar un pătrat perfect, și atunci rezultatul iese întreg: √(2 · 18) = √36 = 6.
exemplu rezolvat
Rezultatul calculului 4√3 · 2√3 este egal cu:
(4 · 2) · (√3 · √3) = 8 · 3 = 24
Greșeala tipică e 8√6: √3 · √3 nu este √6, ci 3.
exemplu rezolvat
Rezultatul calculului √(2 · 18) este egal cu:
√(2 · 18) = √36 = 6
Sau pe drumul lung: √2 · √18 = √2 · 3√2 = 3 · (√2)² = 3 · 2 = 6.
Formulele învățate la calcul algebric funcționează identic când în loc de literă apare un radical:
Singurul lucru nou e că a² dispare ca radical: (√3)² = 3. De aceea rezultatul are mereu o parte întreagă și una cu radical.
Ultima formulă e cea mai utilă: (√5 − √3)(√5 + √3) = 5 − 3 = 2 — un număr întreg, deși ambele paranteze au radicali.
exemplu rezolvat
Rezultatul calculului (√3 + 1)² este egal cu:
(√3)² + 2 · √3 · 1 + 1² = 3 + 2√3 + 1 = 4 + 2√3
Cele două greșeli obișnuite: uitarea termenului din mijloc (rezultat 4) și scrierea lui ca √3 în loc de 2√3.
Nu compari un întreg cu un radical „din ochi". Îi aduci pe amândoi la aceeași formă, folosind a√b = √(a² · b), și compari ce e sub radical:
Aceeași metodă spune și între ce numere întregi se află un radical: √50 e între 7 și 8, fiindcă 49 < 50 < 64.
Compararea nu e un capitol separat — apare ca pas ascuns înăuntrul altor exerciții, mai ales la modul.
exemplu rezolvat
Afirmația „Numărul 4 este mai mare decât numărul 2√5" este:
4 = √16 și 2√5 = √20.
16 < 20 ⇒ 4 < 2√5, deci afirmația este falsă.
|x| = x dacă x ≥ 0, și |x| = −x dacă x < 0. Cu radicali, singura dificultate e să afli ce semn are expresia dinăuntru — și pentru asta se compară, ca la punctul anterior.
Metoda, în doi pași:
Exemplu: |2 − 4√3|. Cum 4√3 = √48 ≈ 6,93 > 2, expresia dinăuntru e negativă, deci modulul o schimbă de semn: |2 − 4√3| = 4√3 − 2.
Greșeala care costă cel mai des e ștergerea modulului fără să te uiți la semn — atunci rezultatul iese 2 − 4√3, adică un număr negativ scris ca și cum ar fi un modul.
exemplu rezolvat
Determină a = |2 − 4√3| + 2(√12 + 1).
4√3 = √48 > 2 ⇒ |2 − 4√3| = 4√3 − 2
√12 = 2√3 ⇒ 2(√12 + 1) = 4√3 + 2
a = (4√3 − 2) + (4√3 + 2) = 8√3
Cei doi termeni liberi se anulează; dacă nu ai scos corect modulul, nu se anulează nimic.
Un rezultat nu se lasă cu radical la numitor. Se amplifică fracția cu acel radical:
1/√2 = (1 · √2)/(√2 · √2) = √2/2
Merge la fel când numitorul are și coeficient — se amplifică tot cu radicalul, nu cu tot numitorul:
3/(2√3) = 3√3/(2 · 3) = √3/2
Ideea e mereu aceeași: √c · √c = c, deci radicalul de la numitor dispare.
exemplu rezolvat
Scrie numărul 6/√3 fără radical la numitor.
6/√3 = 6√3/(√3 · √3) = 6√3/3 = 2√3
8 exerciții date la Evaluarea Națională, la acest capitol. Fiecare cu explicație pe toate variantele și cu link către rezolvarea întreagă.
exercițiul 1 din 8 · 0 corecte
Numărul este egal cu:
Cele 12 de idei din lecție, în formă scurtă. În cont le poți exersa ca flashcards, iar algoritmul ți le readuce exact înainte să le uiți.
Cât este (√a)² și cât este √(a²)?
(√a)² = a, pentru a ≥ 0. √(a²) = |a| — valoarea fără semn.
Cum scoți factorii de sub radical?
Cauți cel mai mare pătrat perfect care DIVIDE numărul, îi scoți rădăcina afară, restul rămâne sub radical: √72 = √(36·2) = 6√2.
De ce nu merge √72 = 8√2, cu 64 ca pătrat perfect?
Pentru că 64 nu îl divide pe 72. Pătratul perfect trebuie să fie divizor, nu doar apropiat ca valoare.
La √48 = √(16·3), cu cât se împarte 48 ca să afli ce rămâne sub radical?
Cu pătratul perfect, 16, nu cu rădăcina lui: 48 : 16 = 3, deci √48 = 4√3.
Se poate scrie √50 − √8 = √42?
Nu. Radicalii nu se adună și nu se scad sub semn. Se scot factorii întâi: 5√2 − 2√2 = 3√2.
Cum aduni radicali cu același număr sub radical?
Dai radicalul factor comun și aduni doar coeficienții: a√c + b√c = (a+b)√c.
Cât este √a · √b? Dar a√b · c√d?
√a · √b = √(ab). a√b · c√d = (a·c)√(b·d). În particular √c · √c = c.
Cât este (√3 + 1)²?
(√3)² + 2·√3·1 + 1² = 3 + 2√3 + 1 = 4 + 2√3. Termenul din mijloc se uită cel mai des.
Cum compari 4 cu 2√5?
Îi bagi pe amândoi sub radical: 4 = √16, 2√5 = √20. Cum 16 < 20, rezultă 4 < 2√5.
Cum scrii a√b ca un singur radical?
a√b = √(a²·b). Așa se compară radicalii între ei.
Cât este |2 − 4√3|?
4√3 = √48 > 2, deci expresia dinăuntru e negativă: |2 − 4√3| = 4√3 − 2. Semnul se stabilește înainte de a scoate modulul.
Cum scapi de radicalul de la numitor în 1/√2?
Amplifici cu √2: 1/√2 = √2/(√2·√2) = √2/2.
În cont, cele 12 de cards intră într-un program de repetiție: cele grele revin mâine, cele ușoare peste câteva zile. Plus simulări corectate pe baremul oficial.
Exersează cu flashcards →5 credite bonus la înregistrare. Fără card.