Matematică · 11 min de citit

Șiruri: progresia aritmetică și suma lui Gauss

Un șir în care fiecare termen crește cu aceeași cantitate e o progresie aritmetică — două formule (termenul general și suma) rezolvă aproape orice cerință despre el.

Exerciții de examen pe această temă:Șiruri și sume (5)

1. Progresia aritmetică: termenul general

O progresie aritmetică e un șir în care fiecare termen se obține din precedentul adunând aceeași valoare, numită rație (r). Termenul general:

$a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot r$

unde $a_{1}$ e primul termen, iar $n$ e poziția termenului căutat.

exemplu rezolvat

Șirul 2, 5, 8, 11, ... crește cu 3 la fiecare pas. Care e al zecelea termen?

$a_{1} = 2$ , $r = 3$ , $n = 10$

$a_{10} = 2 + 9 \cdot 3 = 2 + 27 = 29$

2. Aflarea rației și a primului termen din doi termeni dați

Când enunțul dă doi termeni ai progresiei (nu neapărat consecutivi), scazi cele două forme ale termenului general — rația $a_{1}$ dispare din diferență și rămâne doar $r$ :

$a_{m} - a_{k} = (m - k) \cdot r$

exemplu rezolvat

Într-o progresie aritmetică, $a_{3} = 8$ și $a_{7} = 20$ . Află rația r și primul termen $a_{1}$ .

$a_{7} - a_{3} = 4 r = 20 - 8 = 12 \Rightarrow r = 3$

Din $a_{3} = a_{1} + 2 r = 8$ și $r = 3$ : $a_{1} = 8 - 6 = 2$

3. Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice

Suma primilor $n$ termeni ai unei progresii aritmetice:

$S_{n} = \frac{( a _{1} + a _{n} ) \cdot n}{2}$

Ideea din spate: primul termen cu ultimul, al doilea cu penultimul etc. dau mereu aceeași sumă — de-aici „media" $(a_{1} + a_{n})$ înmulțită cu numărul de termeni.

exemplu rezolvat

Cu $a_{1} = 2$ și $r = 3$ (deci $a_{10} = 29$ ), calculează suma primilor 10 termeni.

$S_{10} = \frac{( a _{1} + a _{10} ) \cdot 10}{2} = \frac{( 2 + 29 ) \cdot 10}{2} = \frac{31 \cdot 10}{2} = 155$

4. Formula lui Gauss: suma primelor n numere naturale

Un caz particular, folosit atât de des încât merită reținut separat — șirul 1, 2, 3, ..., n e o progresie aritmetică cu $a_{1} = 1$ și $r = 1$ :

$1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$

Pentru șirul numerelor pare de la 2 la $2 k$ , scoți factorul 2 comun și aplici aceeași formulă pentru $1 + 2 + \dots + k$ :

$2 + 4 + \dots + 2 k = 2 \cdot (1 + 2 + \dots + k) = 2 \cdot \frac{k ( k + 1 )}{2} = k (k + 1)$

exemplu rezolvat

Suma tuturor numerelor naturale de la 1 la 20 este:

$\frac{20 \cdot 21}{2} = \frac{420}{2} = 210$

exemplu rezolvat

Suma tuturor numerelor naturale pare cuprinse între 1 și 31 este:

Numerele pare din interval: 2, 4, ..., 30 — 15 termeni ( $30 = 2 \cdot 15$ ).

$2 + 4 + \dots + 30 = 2 \cdot (1 + 2 + \dots + 15) = 2 \cdot \frac{15 \cdot 16}{2} = 240$

5. Numere naturale consecutive cu sumă dată

Când enunțul dă suma unui șir de numere naturale consecutive și cere cel mai mic (sau cel mai mare) dintre ele, notezi cel mai mic termen cu o literă și scrii restul în funcție de el — apoi rezolvi ecuația rezultată.

exemplu rezolvat

Suma a cinci numere naturale consecutive este 100. Care e cel mai mic dintre ele?

Notez cel mai mic număr cu $n$ : numerele sunt $n, n + 1, n + 2, n + 3, n + 4$ .

Suma: $5 n + 10 = 100 \Rightarrow 5 n = 90 \Rightarrow n = 18$

Verificare: $18 + 19 + 20 + 21 + 22 = 100$ ✓

6. Greșeli care costă puncte

Termenul general folosește (n − 1), nu n — $a_{n} = a_{1} + (n - 1) r$ , nu $a_{1} + n r$ .
Rația se scoate din diferența a doi termeni, împărțită la diferența pozițiilor lor: $r = (a_{m} - a_{k}) / (m - k)$ .
Formula sumei foloseste ultimul termen deja calculat — dacă nu-l ai, îl afli întâi cu formula termenului general.
La numere consecutive, fiecare termen următor crește cu exact 1 — nu confunda cu o progresie cu altă rație.
Verifică rezultatul final prin însumare directă, mai ales la șiruri scurte — e rapid și prinde greșeli de calcul.

Antrenament pe subiecte oficiale

4 exerciții date la Evaluarea Națională, la acest capitol. Fiecare cu explicație pe toate variantele și cu link către rezolvarea întreagă.

exercițiul 1 din 4 · 0 corecte

Se consideră șirul de numere $2, 5, 8, 11, \dots$ în care fiecare termen este cu 3 mai mare decât precedentul. Al zecelea termen al șirului este:

Ce trebuie să știi pe de rost

Cele 5 de idei din lecție, în formă scurtă. În cont le poți exersa ca flashcards, iar algoritmul ți le readuce exact înainte să le uiți.

Formula termenului general al unei progresii aritmetice?: aₙ = a₁ + (n−1)·r, unde a₁ e primul termen și r e rația.
Cum afli rația r din doi termeni dați, aₘ și aₖ?: r = (aₘ − aₖ) / (m − k).
Formula sumei primilor n termeni ai unei progresii aritmetice?: Sₙ = (a₁ + aₙ)·n / 2.
Formula lui Gauss pentru suma 1+2+...+n?: n(n+1)/2.
Cum rezolvi „suma a cinci numere naturale consecutive este 100"?: Notezi cel mai mic cu n: numerele sunt n, n+1, n+2, n+3, n+4. Suma = 5n+10 = 100.

Teoria se uită. Flashcardurile nu te lasă.

În cont, cele 5 de cards intră într-un program de repetiție: cele grele revin mâine, cele ușoare peste câteva zile. Plus simulări corectate pe baremul oficial.

Exersează cu flashcards →

5 credite bonus la înregistrare. Fără card.