Matematică · 10 min de citit

Unghiuri: complementare, suplementare și opuse la vârf

Patru relații simple rezolvă aproape tot capitolul: complementare (suma 90°), suplementare (suma 180°), opuse la vârf (congruente) și unghiurile formate de două paralele tăiate de o secantă.

Exerciții de examen pe această temă:Unghiuri și drepte (11)

1. Unghiuri complementare: suma 90°

Două unghiuri sunt complementare dacă suma măsurilor lor este 90°. Cunoscând un unghi, celălalt se află direct prin scădere din 90°.

exemplu rezolvat

Unghiurile ∢AOB și ∢BOC sunt complementare. Dacă m(∢AOB) = 35°, cât este m(∢BOC)?

Suma = 90° ⇒ m(∢BOC) = 90° − 35° = 55°

2. Unghiuri suplementare: suma 180°

Două unghiuri sunt suplementare dacă suma măsurilor lor este 180°. Aceeași metodă ca la complementare, doar cu alt total.

Când unghiurile sunt și adiacente (au vârful și o latură comune) și suplementare, celelalte două laturi formează împreună o linie dreaptă — punctele extreme sunt coliniare.

exemplu rezolvat

Unghiurile suplementare ∢AOB și ∢BOC au m(∢AOB) = 70°. Cât este m(∢BOC)?

Suma = 180° ⇒ m(∢BOC) = 180° − 70° = 110°

exemplu rezolvat

Unghiurile adiacente ∢AOB și ∢BOC au măsurile 50° și 130°. Ce fel de unghiuri sunt?

50° + 130° = 180° ⇒ suplementare

Fiind și adiacente, OA și OC sunt semidrepte opuse — A, O, C sunt coliniare.

3. Unghiuri opuse la vârf: congruente

Când două drepte se intersectează, formează patru unghiuri, grupate în două perechi de unghiuri opuse la vârf (unul „în oglindă" față de celălalt, prin punctul de intersecție). Unghiurile opuse la vârf sunt întotdeauna congruente — au exact aceeași măsură.

exemplu rezolvat

Două unghiuri opuse la vârf; unul are 65°. Cât are celălalt?

Opuse la vârf ⇒ congruente ⇒ celălalt are tot 65°.

4. Unghiuri formate de două paralele tăiate de o secantă

Când o secantă taie două drepte paralele, se formează opt unghiuri, cu relații fixe între ele. Cea mai testată: unghiurile conjugate interne (situate de aceeași parte a secantei, între cele două paralele) sunt suplementare — suma lor e 180°, nu egale ca la unghiurile alterne.

exemplu rezolvat

Două paralele tăiate de o secantă formează un unghi conjugat intern de 110°. Cât are celălalt unghi conjugat intern?

Conjugate interne ⇒ suplementare ⇒ celălalt = 180° − 110° = 70°

5. Ecuații cu unghiuri: când e dat un raport

Când enunțul dă o relație de tip „un unghi e de N ori mai mare decât celălalt", combini relația de sumă (complementare/suplementare) cu raportul, exact ca la o problemă cu numere:

Notezi unghiul mai mic cu o literă (de exemplu B).
Scrii unghiul mai mare în funcție de B, conform raportului dat.
Aduni în ecuația de sumă (90° sau 180°) și rezolvi.

exemplu rezolvat

Unghiurile A și B sunt suplementare, iar m(A) = 3 · m(B). Cât este m(A)?

Notez m(B) = B, deci m(A) = 3B.

Suplementare: $3 B + B = 180° \Rightarrow 4 B = 180° \Rightarrow B = 45°$

m(A) = 3 · 45° = 135°

6. Greșeli care costă puncte

Complementare = suma 90°. Suplementare = suma 180°. Confuzia dintre cele două e cea mai frecventă greșeală a capitolului.
Opuse la vârf sunt congruente, NU suplementare — nu se scad din 180°.
Conjugatele interne la paralele sunt suplementare, nu congruente — spre deosebire de unghiurile alterne interne, care sunt congruente.
La o problemă cu raport dat, notează întâi unghiul cel mai mic cu litera necunoscută — evită confuzii la scrierea ecuației.
Verifică mereu suma finală cu totalul cerut (90° sau 180°) — o greșeală de calcul se vede imediat dacă suma nu iese.

Antrenament pe subiecte oficiale

8 exerciții date la Evaluarea Națională, la acest capitol. Fiecare cu explicație pe toate variantele și cu link către rezolvarea întreagă.

exercițiul 1 din 8 · 0 corecte

Două unghiuri ∢A și ∢B sunt suplementare, iar m(∢A) = 3·m(∢B). Atunci m(∢A) este egală cu:

Ce trebuie să știi pe de rost

Cele 5 de idei din lecție, în formă scurtă. În cont le poți exersa ca flashcards, iar algoritmul ți le readuce exact înainte să le uiți.

Ce sunt unghiurile complementare?: Două unghiuri a căror sumă este 90°.
Ce sunt unghiurile suplementare?: Două unghiuri a căror sumă este 180°.
Ce relație au unghiurile opuse la vârf?: Sunt congruente — au exact aceeași măsură.
Ce înseamnă că două unghiuri sunt adiacente?: Au vârful comun și o latură comună.
Ce relație au unghiurile conjugate interne, la două paralele tăiate de o secantă?: Sunt suplementare (suma 180°) — nu congruente, spre deosebire de unghiurile alterne interne.

Teoria se uită. Flashcardurile nu te lasă.

În cont, cele 5 de cards intră într-un program de repetiție: cele grele revin mâine, cele ușoare peste câteva zile. Plus simulări corectate pe baremul oficial.

Exersează cu flashcards →

5 credite bonus la înregistrare. Fără card.