Exercițiul 6 — Subiectul al III-lea, Matematică · Antrenament nr. 1

Enunț

Punctul a)

Pașii din baremul oficial

1. Diagonala cubului cu muchia a: $A{C}^{\prime }=a\sqrt{3}$ (din Pitagora aplicată de două ori: $AC=a\sqrt{2}$, apoi $A{C}^{\prime }=\sqrt{A{C}^2+C{C}^{\prime 2}}=\sqrt{2a^2+a^2}=a\sqrt{3}$). (1 pct)
2. Cu a = 6: $A{C}^{\prime }=6\sqrt{3}$ cm. (1 pct)

Punctul b)

Pașii din baremul oficial

1. Plasez un reper cu A(0,0,0), B(6,0,0), C(6,6,0), B'(6,0,6), C'(6,6,6). Vectorul AB' = (6, 0, 6) și BC' = (0, 6, 6). (1 pct)
2. Norme: $|A{B}^{\prime }|=\sqrt{36+36}=6\sqrt{2}$, $|B{C}^{\prime }|=\sqrt{36+36}=6\sqrt{2}$. Produsul scalar: $A{B}^{\prime }\cdot B{C}^{\prime }=0+0+36=36$. (1 pct)
3. $\cos (\widehat{A{B}^{\prime },B{C}^{\prime }})=\frac{36}{6\sqrt{2}\cdot 6\sqrt{2}}=\frac{36}{72}=\frac{1}{2}$ ⇒ unghiul = 60°. (1 pct)