Matematică — clasa VIII · 2023 · simulare oficială

Exercițiul 6 — Subiectul al III-lea, Matematică · Simulare 2023

Enunțul integral, răspunsul corect și rezolvarea pe pașii din baremul oficial. Din Matematică · Simulare 2023, MEC oficial.

Prisme, cuburi, paralelipipedeSubiectul al III-lea — 6 probleme cu rezolvare a/b5 puncte

Enunț

În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDA'B'C'D' cu AB = 6 cm. Punctul M este mijlocul segmentului B'C' și dreptele BM și B'C se intersectează în punctul R. Punctul P aparține segmentului AC, astfel încât AP = 2√2 cm.

Punctul a)

Arată că CP = 2 · AP.

Pașii din baremul oficial

  1. Diagonala pătratului ABCD: AC = AB · = 6 cm. (1 pct)
  2. CP = AC − AP = 6 − 2 = 4 = 2 · (2) = 2 · AP. (1 pct)

Punctul b)

Determină măsura unghiului dreptelor PR și AD'.

Pașii din baremul oficial

  1. Coordonate: A(0,0,0), B(6,0,0), C(6,6,0), D(0,6,0), B'(6,0,6), C'(6,6,6), D'(0,6,6). M = mij. B'C' = (6, 3, 6). BM: x = 6, y = t, z = 2t. B'C: x = 6, y = s, z = 6 − s. Intersecție: 2t = 6 − t ⇒ t = 2 ⇒ R(6, 2, 4). (1 pct)
  2. P pe AC cu AP = 2: direcția AC = (1,1,0)/ ⇒ P = (2, 2, 0). Vector PR = R − P = (4, 0, 4) ∥ (1, 0, 1). Vector AD' = (0, 6, 6) ∥ (0, 1, 1). (1 pct)
  3. Unghiul dintre PR și AD': cos θ = (1·0 + 0·1 + 1·1)/(√2 · √2) = 1/2 ⇒ θ = 60°. (1 pct)

Exersează exact acest tip de exercițiu

Rezolvă subiectul întreg cronometrat, în condiții de examen. AI-ul îți dă punctajul pe fiecare pas din barem și îți explică unde s-a rupt raționamentul — nu doar că ai greșit.

Rezolvă cronometrat →Vezi subiectul complet

5 credite bonus la înregistrare. Fără card.

Alte exerciții din capitolul Prisme, cuburi, paralelipipede

Toate exercițiile din Prisme, cuburi, paralelipipede →