Exercițiul 5 — Subiectul al III-lea, Matematică · Simulare 2023

Enunț

Punctul a)

Pașii din baremul oficial

1. În rombul ABCD, ∢BAD = 45° ⇒ ∢DAB = 45°. (1 pct)
2. △ABE dreptunghic isoscel cu AB = BE și unghi drept în B (deoarece catetele AB, BE sunt egale) ⇒ ∢BAE = 45°. C și E pe părți opuse ale lui AB ⇒ ∢DAE = ∢DAB + ∢BAE = 45° + 45° = 90°. Deci DA ⊥ AE. (1 pct)

Punctul b)

Pașii din baremul oficial

1. AC diagonala rombului bisectează ∢BAD ⇒ ∢CAB = 22,5°. E pe partea opusă lui C față de AB ⇒ ∢CAE = ∢CAB + ∢BAE = 22,5° + 45° = 67,5°. (1 pct)
2. Folosim formula $\tan (45°+22,5°)=(1+\tan 22,5°)/(1-\tan 22,5°)$. Știm că $\tan 22,5°=\sqrt{2}-1$. (1 pct)
3. $\tan 67,5°=(1+\sqrt{2}-1)/(1-(\sqrt{2}-1))=\sqrt{2}/(2-\sqrt{2})=\sqrt{2}(2+\sqrt{2})/((2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2}))=(2\sqrt{2}+2)/2=\sqrt{2}+1$. (1 pct)