Matematică — clasa VIII · 2024 · simulare oficială

Exercițiul 6 — Subiectul al III-lea, Matematică · Simulare 2024

Enunțul integral, răspunsul corect și rezolvarea pe pașii din baremul oficial. Din Matematică · Simulare 2024, MEC oficial.

Prisme, cuburi, paralelipipedeSubiectul al III-lea — 6 probleme cu rezolvare completă (a/b)5 puncte

Enunț

În cubul ABCDA′B′C′D′, punctele M, N, P și Q sunt mijloacele segmentelor AA′, A′D′, DD′, respectiv AD.

Punctul a)

Arată că MN = PQ.

Pașii din baremul oficial

  1. În △AA′D′, M și N sunt mijloacele laturilor AA′ și A′D′ ⇒ MN este linie mijlocie, MN = AD′/2 = a√2/2. (1 pct)
  2. În △ADD′, Q și P sunt mijloacele laturilor AD și DD′ ⇒ PQ = AD′/2 = a√2/2. Deci MN = PQ. (1 pct)

Punctul b)

Știind că T este mijlocul segmentului PQ, demonstrează că dreapta CT este paralelă cu planul (MNB).

Pașii din baremul oficial

  1. Coordonate: A(0,0,0), B(a,0,0), C(a,a,0), D(0,a,0), A′(0,0,a) etc. M(0,0,a/2), N(0,a/2,a), P(0,a,a/2), Q(0,a/2,0), T(0, 3a/4, a/4). (1 pct)
  2. Vectori în planul (MNB): vec(MN) = (0, a/2, a/2), vec(MB) = (a, 0, −a/2). Verificăm CT este combinație liniară. (1 pct)
  3. vec(CT) = T − C = (−a, −a/4, a/4) = (−1)·vec(MB) + (−1/2)·vec(MN). Cum C ∉ planul (MNB) și vec(CT) este în direcția planului ⇒ CT ∥ (MNB). (1 pct)

Exersează exact acest tip de exercițiu

Rezolvă subiectul întreg cronometrat, în condiții de examen. AI-ul îți dă punctajul pe fiecare pas din barem și îți explică unde s-a rupt raționamentul — nu doar că ai greșit.

Rezolvă cronometrat →Vezi subiectul complet

5 credite bonus la înregistrare. Fără card.

Alte exerciții din capitolul Prisme, cuburi, paralelipipede

Toate exercițiile din Prisme, cuburi, paralelipipede →