Matematică — clasa VIII · 2021 · sesiunea iunie

Exercițiul 2 — Subiectul al III-lea, Matematică · Examen 2021 (Var. 3)

Enunțul integral, răspunsul corect și rezolvarea pe pașii din baremul oficial. Din Matematică · Examen 2021 (Var. 3), MEC oficial.

PatrulatereSubiectul al III-lea — 6 probleme cu rezolvare a/b5 puncte

Enunț

Se consideră expresia

E (x) = (2 x - 1)^{2} - (2 x - 4) (x + 2) + (x + 3)^{2}

, unde x este număr real.

Punctul a)

Arată că

E (x) = 3 x^{2} + 2 x + 18

, pentru orice număr real x.

Pașii din baremul oficial

Desfaci pătratele: $(2 x - 1)^{2} = 4 x^{2} - 4 x + 1$ , $(x + 3)^{2} = x^{2} + 6 x + 9$ . (1 pct)
Produs: $(2 x - 4) (x + 2) = 2 x^{2} + 4 x - 4 x - 8 = 2 x^{2} - 8$ . Atunci $E (x) = 4 x^{2} - 4 x + 1 - (2 x^{2} - 8) + x^{2} + 6 x + 9 = 3 x^{2} + 2 x + 18$ . (1 pct)

Punctul b)

Demonstrează că numărul natural

A = E (n) + n

este multiplu de 6, pentru orice număr natural n.

Pașii din baremul oficial

A = 3n² + 2n + 18 + n = 3n² + 3n + 18 = 3·n·(n+1) + 18. (1 pct)
n·(n+1) este produsul a două numere naturale consecutive ⇒ divizibil cu 2 ⇒ 3·n·(n+1) este divizibil cu 6. (1 pct)
18 este divizibil cu 6 (18 = 3·6). Suma a două multipli de 6 este tot multiplu de 6 ⇒ A divizibil cu 6. (1 pct)

Exersează exact acest tip de exercițiu

Rezolvă subiectul întreg cronometrat, în condiții de examen. AI-ul îți dă punctajul pe fiecare pas din barem și îți explică unde s-a rupt raționamentul — nu doar că ai greșit.

Rezolvă cronometrat →Vezi subiectul complet

5 credite bonus la înregistrare. Fără card.

Alte exerciții din capitolul Patrulatere

Toate exercițiile din Patrulatere →