Matematică — clasa VIII · 2021 · sesiunea iunie

Exercițiul 5 — Subiectul al III-lea, Matematică · Examen 2021 (Var. 3)

Enunțul integral, răspunsul corect și rezolvarea pe pașii din baremul oficial. Din Matematică · Examen 2021 (Var. 3), MEC oficial.

PatrulatereSubiectul al III-lea — 6 probleme cu rezolvare a/b5 puncte

Enunț

Se consideră trapezul isoscel ABCD, cu AB ∥ CD, măsura unghiului ∢ADC egală cu 120° și AD = DC = 6 cm. Dreapta MP este mediatoarea segmentului BC, unde M ∈ AB și P ∈ BC.

Punctul a)

Arată că AB = 12 cm.

Pașii din baremul oficial

  1. Trapez isoscel cu ∢ADC = 120° ⇒ ∢DAB = 180° − 120° = 60°. Coboară perpendiculara din D pe AB în D′. △ADD′ dreptunghic în D′ cu ∢DAD′ = 60° ⇒ AD′ = AD·cos 60° = 6·1/2 = 3. (1 pct)
  2. Prin simetrie, proiecția lui C pe AB satisface C′B = 3. Atunci AB = AD′ + D′C′ + C′B = 3 + DC + 3 = 3 + 6 + 3 = 12 cm. (1 pct)

Punctul b)

Demonstrează că dreptele DM și MP sunt perpendiculare.

Pașii din baremul oficial

  1. M aparține mediatoarei lui BC ⇒ MB = MC. △MBC cu ∢MBC = ∢ABC = 60° (în trapez isoscel) și MB = MC ⇒ △MBC este echilateral ⇒ MB = MC = BC. Cum BC se calculează la fel ca AD (laturile neparalele într-un trapez isoscel) ⇒ BC = 6 ⇒ MB = MC = 6 și AM = AB − MB = 12 − 6 = 6. (1 pct)
  2. △ADM are AM = AD = 6 și ∢DAM = ∢DAB = 60° ⇒ △ADM echilateral ⇒ DM = 6. Atunci în △DMC: DM = MC = DC = 6 ⇒ echilateral ⇒ ∢DMC = 60°. În △MBC echilateral, P fiind mij. BC, MP este și mediană și bisectoare ⇒ ∢CMP = 30°. (1 pct)
  3. ∢DMP = ∢DMC + ∢CMP = 60° + 30° = 90° ⇒ DM ⊥ MP. (1 pct)

Exersează exact acest tip de exercițiu

Rezolvă subiectul întreg cronometrat, în condiții de examen. AI-ul îți dă punctajul pe fiecare pas din barem și îți explică unde s-a rupt raționamentul — nu doar că ai greșit.

Rezolvă cronometrat →Vezi subiectul complet

5 credite bonus la înregistrare. Fără card.

Alte exerciții din capitolul Patrulatere

Toate exercițiile din Patrulatere →