Matematică — clasa VIII · 2021 · sesiunea iunie

Exercițiul 4 — Subiectul al III-lea, Matematică · Examen 2021 (Var. 3)

Enunțul integral, răspunsul corect și rezolvarea pe pașii din baremul oficial. Din Matematică · Examen 2021 (Var. 3), MEC oficial.

Geometrie analiticăSubiectul al III-lea — 6 probleme cu rezolvare a/b5 puncte

Enunț

În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral ABC, cu AB = 3 cm și înălțimea AD, unde D ∈ BC. Punctul M aparține laturii AB, astfel încât AM = 1 cm. Paralela prin M la dreapta AC intersectează AD în Q și BC în P.

Punctul a)

Arată că perimetrul triunghiului BMP este egal cu 6 cm.

Pașii din baremul oficial

  1. MP ∥ AC ⇒ △BMP ~ △BAC (corespondență B↔B, M↔A, P↔C). BM = AB − AM = 3 − 1 = 2. (1 pct)
  2. Raportul de asemănare = BM/BA = 2/3 ⇒ MP = 2/3·AC = 2 și BP = 2/3·BC = 2. Perimetru = 2 + 2 + 2 = 6 cm. (1 pct)

Punctul b)

Determină lungimea segmentului PQ.

Pașii din baremul oficial

  1. Coordonate: B(0,0), C(3,0), A(1,5; 3√3/2). AD înălțime ⇒ D mij BC ⇒ D(1,5; 0). (1 pct)
  2. M pe AB cu AM = 1, AB = 3 ⇒ M = (1; √3). MP ∥ AC, direcția AC = (1; −√3). Linia MP: (1+t; √3 − √3·t). (1 pct)
  3. Q = MP ∩ AD (linia x = 1,5): t = 0,5 ⇒ Q(1,5; √3/2). P = MP ∩ BC (y=0): t = 1 ⇒ P(2; 0). PQ = √((2−1,5)² + (√3/2)²) = √(0,25 + 0,75) = 1 cm. (1 pct)

Exersează exact acest tip de exercițiu

Rezolvă subiectul întreg cronometrat, în condiții de examen. AI-ul îți dă punctajul pe fiecare pas din barem și îți explică unde s-a rupt raționamentul — nu doar că ai greșit.

Rezolvă cronometrat →Vezi subiectul complet

5 credite bonus la înregistrare. Fără card.

Alte exerciții din capitolul Geometrie analitică

Toate exercițiile din Geometrie analitică →