Matematică — clasa VIII · 2024 · simulare oficială

Exercițiul 4 — Subiectul al III-lea, Matematică · Simulare 2024

Enunțul integral, răspunsul corect și rezolvarea pe pașii din baremul oficial. Din Matematică · Simulare 2024, MEC oficial.

PatrulatereSubiectul al III-lea — 6 probleme cu rezolvare completă (a/b)5 puncte

Enunț

În triunghiul dreptunghic ABC, ∢A = 90° și ∢B = 40°. BE este bisectoarea unghiului ∢ABC, E ∈ AC. Perpendiculara din A pe BC intersectează BC în D, iar perpendiculara din E pe BC intersectează BC în F. Dreptele BE și AD se intersectează în M.

Punctul a)

Arată că măsura unghiului ∢EMA este egală cu 70°.

Pașii din baremul oficial

  1. Bisectoare ⇒ ∢ABM = 20°. În △ABD dreptunghic în D, ∢BAD = 90° − 40° = 50°. Deci ∢BAM = 50°. (1 pct)
  2. ∢AMB = 180° − 50° − 20° = 110°. ∢EMA suplementar cu ∢AMB (B, M, E coliniare) ⇒ ∢EMA = 180° − 110° = 70°. (1 pct)

Punctul b)

Arată că patrulaterul AMFE este romb.

Pașii din baremul oficial

  1. E pe bisectoarea ∢ABC ⇒ distanța de la E la AB egală cu distanța de la E la BC ⇒ AE = EF. (1 pct)
  2. AM ⊥ BC și EF ⊥ BC ⇒ AM ∥ EF. În △ABM dreptunghic în M (∢AMB = 110°? — folosește teorema sinusurilor în △ABE cu ∢A=90°, ∢ABE=20°): AE = AB·tan(20°). În △ABM: ∢BAM = 50°, ∢ABM = 20° ⇒ AM = AB·sin(20°)/sin(110°) = AB·tan(20°). Deci AM = AE. (1 pct)
  3. AMFE are AM ∥ EF, AM = AE = EF ⇒ paralelogram cu două laturi consecutive egale ⇒ romb. (1 pct)

Exersează exact acest tip de exercițiu

Rezolvă subiectul întreg cronometrat, în condiții de examen. AI-ul îți dă punctajul pe fiecare pas din barem și îți explică unde s-a rupt raționamentul — nu doar că ai greșit.

Rezolvă cronometrat →Vezi subiectul complet

5 credite bonus la înregistrare. Fără card.

Alte exerciții din capitolul Patrulatere

Toate exercițiile din Patrulatere →