Matematică — clasa VIII · 2025 · simulare oficială

Exercițiul 6 — Subiectul al III-lea, Matematică · Simulare 2025

Enunțul integral, răspunsul corect și rezolvarea pe pașii din baremul oficial. Din Matematică · Simulare 2025, MEC oficial.

PiramideSubiectul al III-lea — 6 probleme cu rezolvare completă (a/b)5 puncte

Enunț

Se consideră un tetraedru regulat ABCD, cu AB = 20 cm, iar punctele M și N sunt mijloacele muchiilor AB, respectiv CD.

Punctul a)

Arată că lungimea segmentului MN este egală cu 10√2 cm.

Pașii din baremul oficial

  1. Triunghiurile ACD și BCD sunt echilaterale cu latura 20 ⇒ AN și BN sunt înălțimi de lungime 20·√3/2 = 10√3. (1 pct)
  2. În △ABN isoscel (AN = BN = 10√3), MN este mediană din N în AB ⇒ MN ⊥ AB. MN² = AN² − AM² = 300 − 100 = 200 ⇒ MN = 10√2 cm. (1 pct)

Punctul b)

Determină măsura unghiului dreptelor MN și BD.

Pașii din baremul oficial

  1. În coordonate carteziene: A(0,0,0), B(20,0,0), C(10, 10√3, 0), D(10, 10√3/3, 20√6/3) (tetraedru regulat, muchia 20). M(10,0,0), N(10, 20√3/3, 10√6/3). (1 pct)
  2. Vectori: vec(MN) = (0, 20√3/3, 10√6/3), vec(BD) = (−10, 10√3/3, 20√6/3). |MN| = 10√2, |BD| = 20. MN·BD = 0 + 200·3/9 + 200·6/9 = 200. (1 pct)
  3. cos θ = 200/(10√2·20) = √2/2 ⇒ θ = 45°. (1 pct)

Exersează exact acest tip de exercițiu

Rezolvă subiectul întreg cronometrat, în condiții de examen. AI-ul îți dă punctajul pe fiecare pas din barem și îți explică unde s-a rupt raționamentul — nu doar că ai greșit.

Rezolvă cronometrat →Vezi subiectul complet

5 credite bonus la înregistrare. Fără card.

Alte exerciții din capitolul Piramide

Toate exercițiile din Piramide →