Exercițiul 6 — Subiectul al III-lea, Matematică · Antrenament nr. 4

Enunț

Punctul a)

Pașii din baremul oficial

1. Fiecare dintre laturile AB', B'C, AC este diagonală de față a cubului ⇒ AB' = B'C = AC = a√2 = 4√2 cm ⇒ △AB'C echilateral. (1 pct)
2. Aria triunghiului echilateral cu latura 4√2: A = (4√2)²·√3/4 = 32·√3/4 = 8√3 cm². (1 pct)

Punctul b)

Pașii din baremul oficial

1. Calculez volumul tetraedrului BAB′C în 2 moduri. Folosesc baza △ABC dreptunghică în B (cu BA = BC = 4): A(△ABC) = 4·4/2 = 8 cm². Înălțimea din B′ pe planul (ABC) (planul bazei z=0) = BB′ = 4. V = 8·4/3 = 32/3 cm³. (1 pct)
2. Cu baza △AB'C (calculată la a) = 8√3): V = 8√3 · d / 3, unde d = distanța de la B la planul (AB'C). (1 pct)
3. $\frac{32}{3}=\frac{8\sqrt{3}\cdot d}{3}\Rightarrow d=\frac{32}{8\sqrt{3}}=\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$ cm. (1 pct)