Matematică — clasa VIII · 2026 · sesiunea iunie 2026

Matematică · Evaluarea Națională 2026, sesiunea iunie — Varianta 1 (subiect oficial)

Subiectul oficial de matematică dat la Evaluarea Națională din iunie 2026, varianta 1, cu baremul oficial de evaluare și de notare transcris pas cu pas. Subiectul I: ordinea operațiilor, procente, opusul unui număr, fracție periodică 1,(2), proporție cu diferență de pătrate, citirea unei diagrame cu bare. Subiectul al II-lea: mijloc de segment pe puncte coliniare, unghiuri alterne interne la drepte paralele, centrul de greutate și raportul de arii, aria paralelogramului dintr-o diagonală perpendiculară, unghi înscris în semicerc, volumul piramidei patrulatere regulate. Subiectul al III-lea: problemă cu text rezolvată prin ecuație, expresie algebrică și divizibilitate cu 18, funcție liniară și mediana din unghiul drept, coardă și perpendicularitate în cerc, raport de segmente într-un paralelogram, distanța de la un punct la un plan într-o prismă dreaptă.

Durată: 120 min
Exerciții: 18
Materie: Matematică
Sursă: MEC oficial

Rezolvă cronometrat cu AI →Sursă oficială

Rezolvă în 2 ore, în condiții de examen. AI-ul îți corectează pe baremul oficial și îți explică, exercițiu cu exercițiu, unde te-ai încurcat — cu pași numerotați, ca un profesor de meditații.

Subiectul I — 6 exerciții grilă (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare răspuns corect = 5 puncte. Se punctează doar rezultatul: pentru fiecare răspuns se acordă fie cinci puncte, fie zero puncte.

Ex. 1Rezultatul calculului $12 - 2 \cdot 5$ este egal cu:
1. A)50
2. B)22
3. C)2
4. D)0
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Ordinea operațiilor: înmulțirea se face înaintea scăderii. $2 \cdot 5 = 10$ , apoi $12 - 10 = 2$ . Fără paranteze, scăderea nu are voie să treacă prima.
Rezolvare completă
Ex. 2Dintre cei 250 de elevi participanți la un concurs, 40% sunt băieți. Numărul băieților participanți la acest concurs este egal cu:
1. A)150
2. B)125
3. C)100
4. D)90
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Procentul se aplică pe întreg: $\frac{40}{100} \cdot 250 = 40 \cdot 2, 5 = 100$ de băieți. Verificare: fetele sunt 60% din 250, adică 150, iar $100 + 150 = 250$ ✓.
Rezolvare completă
Ex. 3Suma dintre numărul 10 și opusul numărului 10 este egală cu:
1. A) $\frac{101}{10}$
2. B) $\frac{11}{10}$
3. C)1
4. D)0
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: D
Rezolvare: Atenție la cuvinte: **opusul** unui număr se obține schimbându-i semnul (opusul lui 10 este $- 10$ ), iar **inversul** îl răstoarnă (inversul lui 10 este $\frac{1}{10}$ ). Suma unui număr cu opusul lui este întotdeauna $0$ ; produsul cu inversul este $1$ .
Rezolvare completă
Ex. 4Transformând fracția zecimală $1, (2)$ în fracție ordinară se obține:
1. A) $\frac{11}{10}$
2. B) $\frac{6}{5}$
3. C) $\frac{11}{9}$
4. D) $\frac{4}{3}$
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Regula pentru fracția periodică simplă: la numărător se scrie numărul format din toate cifrele, fără virgulă, minus partea dinaintea perioadei; la numitor, atâția de 9 câte cifre are perioada. Aici: $\frac{12 - 1}{9} = \frac{11}{9}$ . Capcana e varianta B: $1, 2$ și $1, (2)$ arată aproape la fel, dar nu sunt egale.
Rezolvare completă
Ex. 5Patru elevi, Ioana, Andreea, Luca și Radu, determină numărul real x din proporția $\frac{5 - 1}{2} = \frac{x}{5 + 1}$ . Răspunsurile date de cei patru elevi sunt prezentate în tabelul de mai jos. Răspunsul corect a fost obținut de către:
1. A)Ioana
2. B)Andreea
3. C)Luca
4. D)Radu
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Într-o proporție, produsul mezilor este egal cu produsul extremilor: $2 x = (5 - 1) (5 + 1)$ . În dreapta e o diferență de pătrate: $(5)^{2} - 1^{2} = 5 - 1 = 4$ . Deci $2 x = 4$ și $x = 2$ . Radicalul dispare tocmai fiindcă se ridică la pătrat.
Rezolvare completă
Ex. 6În diagrama alăturată sunt prezentate informații despre numărul de mașini vândute de un comerciant în primele patru luni ale anului 2026. Afirmația „Conform informațiilor din diagramă, cele mai puține mașini au fost vândute în luna martie." este:
1. A)adevărată
2. B)falsă
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: A
Rezolvare: Citirea unei diagrame cu bare începe cu scara de pe axa verticală: fiecare linie înseamnă 500 de mașini. Valorile sunt 1000, 2000, 500 și 2500. Cea mai mică este 500, în martie, deci afirmația este adevărată. Atenție să nu confunzi „cele mai puține" cu „cele mai multe" — bara cea mai înaltă e în aprilie.
Rezolvare completă

Subiectul al II-lea — 6 exerciții grilă (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare răspuns corect = 5 puncte. Se punctează doar rezultatul.

Ex. 1În figura alăturată, punctele A, B, C și D sunt coliniare, în această ordine, astfel încât AB = 1 cm și AD = 6 cm. Punctul C este mijlocul segmentului AD. Lungimea segmentului BC este egală cu:
1. A)5 cm
2. B)3 cm
3. C)2 cm
4. D)1 cm
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Doi pași. Mijlocul: $A C = \frac{A D}{2} = 3$ cm. Apoi, cum B este între A și C, $B C = A C - A B = 3 - 1 = 2$ cm. Ordinea punctelor din enunț e cea care îți spune că se scade, nu se adună.
Rezolvare completă
Ex. 2În figura alăturată sunt reprezentate dreptele paralele AB și CD. Punctele E, A și C sunt coliniare, în această ordine, iar punctele B și D sunt situate de o parte și de alta a dreptei AC. Măsura unghiului DCA este egală cu 80°. Măsura unghiului EAB este egală cu:
1. A)110°
2. B)100°
3. C)90°
4. D)80°
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Doi pași, amândoi de numit corect. Întâi paralelele: $A B ∥ C D$ tăiate de secanta EC dau unghiuri alterne interne congruente, deci $m (∠ B A C) = m (∠ D C A) = 8 0^{\circ}$ . Apoi coliniaritatea: E, A, C în această ordine înseamnă că ∢EAB și ∢BAC sunt adiacente suplementare, deci $m (∠ E A B) = 18 0^{\circ} - 8 0^{\circ} = 10 0^{\circ}$ . Capcana e varianta D: te oprești după primul pas.
Rezolvare completă
Ex. 3În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC. Punctul D este mijlocul segmentului BC și punctul G este centrul de greutate al triunghiului ABC. Aria triunghiului DGC este egală cu 15 cm². Aria triunghiului ABC este egală cu:
1. A)30 cm²
2. B)45 cm²
3. C)60 cm²
4. D)90 cm²
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: D
Rezolvare: Se merge de la triunghiul mic la cel mare, prin două rapoarte. Mediana AD împarte triunghiul în două părți de arie egală: $A_{A D C} = \frac{A _{A B C}}{2}$ . Centrul de greutate taie mediana în raportul $2 : 1$ dinspre vârf, deci $G D = \frac{A D}{3}$ ; triunghiurile GDC și ADC au aceeași bază DC, iar înălțimile lor sunt în raportul $\frac{1}{3}$ , deci $A_{G D C} = \frac{A _{A D C}}{3}$ . Împreună: $A_{G D C} = \frac{A _{A B C}}{6}$ , deci $A_{A B C} = 6 \cdot 15 = 90$ cm².
Rezolvare completă
Ex. 4În figura alăturată este reprezentat paralelogramul ABCD, cu diagonala BD perpendiculară pe latura BC și $B D \cdot B C = 12$ cm². Aria paralelogramului ABCD este egală cu:
1. A)6 cm²
2. B)12 cm²
3. C)18 cm²
4. D)24 cm²
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Unghiul drept din B face din BCD un triunghi dreptunghic cu catetele BD și BC, deci $A_{B C D} = \frac{B D \cdot B C}{2} = \frac{12}{2} = 6$ cm². O diagonală împarte orice paralelogram în două triunghiuri congruente, deci $A_{A B C D} = 2 \cdot 6 = 12$ cm². Pe scurt: aria paralelogramului este chiar produsul $B D \cdot B C$ — dar asta se vede abia după cele două împărțiri.
Rezolvare completă
Ex. 5În figura alăturată este reprezentat cercul de centru O. Punctele A, B, C și D sunt situate pe cerc, în această ordine, astfel încât AC este diametru și măsura unghiului BDC este egală cu 40°. Măsura unghiului BCA este egală cu:
1. A)40°
2. B)50°
3. C)60°
4. D)80°
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Două teoreme, una după alta. Unghiurile înscrise care cuprind același arc sunt congruente: $∠ B D C$ și $∠ B A C$ cuprind arcul BC, deci $m (∠ B A C) = 4 0^{\circ}$ . Unghiul înscris într-un semicerc este drept: cum AC este diametru, $m (∠ A B C) = 9 0^{\circ}$ . În triunghiul ABC suma unghiurilor este $18 0^{\circ}$ , deci $m (∠ B C A) = 18 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - 4 0^{\circ} = 5 0^{\circ}$ .
Rezolvare completă
Ex. 6În figura alăturată este reprezentată piramida patrulateră regulată VABCD, cu înălțimea VO = 6 cm și AB = 4 cm. Volumul piramidei VABCD este egal cu:
1. A)32 cm³
2. B)48 cm³
3. C)72 cm³
4. D)96 cm³
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: A
Rezolvare: Volumul oricărei piramide: $V = \frac{A _{baz \overset{a}{˘}} \cdot h}{3}$ . Baza e pătrat cu latura 4 cm, deci $A_{baz \overset{a}{˘}} = 16$ cm², iar $V = \frac{16 \cdot 6}{3} = 32$ cm³. Împărțirea la 3 e ce deosebește piramida de prismă — varianta D e tocmai prisma.
Rezolvare completă

Subiectul al III-lea — 6 probleme cu rezolvare completă (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.

Ex. 1Mai mulți copii doresc să cumpere împreună o minge. Dacă fiecare copil contribuie cu câte 18 lei, mai sunt necesari 30 de lei.
1. a) Este posibil ca mingea să coste 153 de lei? Justifică răspunsul dat.
  Vezi pașii din barem
  1. Prețul mingii este 18n + 30, unde n reprezintă numărul de copii. (1 pct)
  2. 18n + 30 = 153 ⇒ n = 123 : 18, care nu este număr natural, deci nu este posibil ca mingea să coste 153 de lei. (1 pct)
2. b) Dacă fiecare copil contribuie cu câte 24 de lei, atunci sunt în plus 12 lei. Determină cât costă mingea.
  Vezi pașii din barem
  1. 18n + 30 = 24n − 12 (1 pct)
  2. 6n = 42, de unde obținem n = 7 (1 pct)
  3. Mingea costă 18 · 7 + 30 = 156 de lei (1 pct)
Rezolvare completă
Ex. 2Se consideră expresia $E (x) = \frac{x}{x - 3} + \frac{1}{x - 2} + \frac{7 - 3 x}{( x - 2 ) ( x - 3 )}$ , unde x este număr real, $x \neq = 2$ și $x \neq = 3$ .
1. a) Arată că $E (x) = \frac{x - 2}{x - 3}$ , pentru orice număr real x, $x \neq = 2$ și $x \neq = 3$ .
  Vezi pașii din barem
  1. Aduc la același numitor: E(x) = (x² − 2x + x − 3 + 7 − 3x) : ((x − 2)(x − 3)). (1 pct)
  2. Numărătorul devine x² − 4x + 4 = (x − 2)², deci E(x) = (x − 2)² : ((x − 2)(x − 3)) = (x − 2) : (x − 3). (1 pct)
2. b) Arată că numărul $A = (E (4))^{n} + (E (4))^{n + 3}$ este divizibil cu 18, pentru orice număr natural nenul n.
  Vezi pașii din barem
  1. E(4) = (4 − 2) : (4 − 3) = 2 (1 pct)
  2. A = 2ⁿ + 2ⁿ⁺³ = 2ⁿ(1 + 2³) = 2ⁿ · 9 (1 pct)
  3. Cum n este număr natural nenul, 2ⁿ se divide cu 2, deci A = 2ⁿ · 9 se divide cu 2 · 9 = 18. (1 pct)
Rezolvare completă
Ex. 3Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 3 x - 6$ .
1. a) Arată că $f (1) + f (3) = 0$ .
  Vezi pașii din barem
  1. f(1) = 3 · 1 − 6 = −3 (1 pct)
  2. f(3) = 3 · 3 − 6 = 3, deci f(1) + f(3) = −3 + 3 = 0 (1 pct)
2. b) Reprezentarea geometrică a graficului funcției f intersectează axele Ox și Oy ale sistemului de axe ortogonale xOy în punctele A, respectiv B. Calculează lungimea segmentului OM, știind că punctul M este mijlocul segmentului AB.
  Vezi pașii din barem
  1. Intersecțiile cu axele: A(2, 0) și B(0, −6). (1 pct)
  2. Triunghiul AOB este dreptunghic în O, deci AB² = 2² + 6² = 40 și AB = 2√10. (1 pct)
  3. Cum M este mijlocul ipotenuzei AB, mediana din O are lungimea OM = AB : 2 = √10. (1 pct)
Rezolvare completă
Ex. 4În figura alăturată este reprezentat cercul de centru O și rază de 6 cm. Punctele A, B, C și D aparțin cercului, astfel încât dreptele AB și CD sunt perpendiculare. Punctul M este mijlocul coardei AB și OM = 3 cm.
1. a) Arată că $A M = 33$ cm.
  Vezi pașii din barem
  1. OM este mediană în triunghiul isoscel AOB (OA = OB = rază), deci OM este și înălțime, adică OM ⊥ AB. (1 pct)
  2. În triunghiul AOM, dreptunghic în M: AM² = OA² − OM² = 36 − 9 = 27, deci AM = 3√3 cm. (1 pct)
2. b) Demonstrează că $A C^{2} + B D^{2} = 144$ cm².
  Vezi pașii din barem
  1. Construiesc E astfel încât BE să fie diametru; atunci ∢BAE = ∢BDE = 90°, fiindcă sunt unghiuri înscrise în semicerc. (1 pct)
  2. AE ⊥ AB și, cum CD ⊥ AB, rezultă AE ∥ CD, deci arcele AC și DE sunt congruente, de unde AC = DE. (1 pct)
  3. În triunghiul BDE, dreptunghic în D: DE² + BD² = BE², deci AC² + BD² = 12² = 144 cm². (1 pct)
Rezolvare completă
Ex. 5În figura alăturată este reprezentat paralelogramul ABCD, cu AB = 10 cm și AD = 8 cm. Punctele M, N și T sunt mijloacele segmentelor BC, CD, respectiv AB, iar Q este punctul de intersecție a dreptelor BN și AM.
1. a) Calculează perimetrul patrulaterului ATND.
  Vezi pașii din barem
  1. DN ∥ AT și DN = AT = 5 cm (jumătăți din laturi opuse egale), deci ATND este paralelogram. (1 pct)
  2. Perimetrul ATND = 2 · AT + 2 · AD = 2 · 5 + 2 · 8 = 26 cm. (1 pct)
2. b) Calculează valoarea raportului $\frac{A Q}{QM}$ .
  Vezi pașii din barem
  1. Notez AM ∩ NT = {S}. ST este linie mijlocie în triunghiul ABM, deci ST = 2 cm, de unde SN = 6 cm. (1 pct)
  2. SN ∥ BM ⇒ △QNS ~ △QBM, deci QS : QM = SN : MB = 3 : 2, de unde SM : QM = 5 : 2. (1 pct)
  3. Cum AM = 2 · SM, rezultă AM : QM = 5, deci AQ : QM = 4. (1 pct)
Rezolvare completă
Ex. 6În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă ABCDA′B′C′D′, cu baza pătratul ABCD, AB = 4 cm și $A A^{'} = 42$ cm.
1. a) Calculează aria laterală a prismei ABCDA′B′C′D′.
  Vezi pașii din barem
  1. Aria laterală = 4 · AB · AA′ = 4 · 4 · 4√2 (1 pct)
  2. = 64√2 cm² (1 pct)
2. b) Arată că distanța de la punctul A′ la planul (C′BD) este egală cu $\frac{8 10}{5}$ cm.
  Vezi pașii din barem
  1. BD ⊥ AC și BD ⊥ A′A, iar AC ∩ A′A = {A}, deci BD ⊥ (A′AC). (1 pct)
  2. Notez AC ∩ BD = {O} și construiesc A′P ⊥ C′O, cu P ∈ C′O. Cum A′P ⊂ (A′AC), rezultă A′P ⊥ BD, iar din C′O ∩ BD = {O} obțin A′P ⊥ (C′BD). (1 pct)
  3. Aria triunghiului A′OC′ se scrie și ca A′P · C′O : 2. Cum aria este 16 cm² și C′O = 2√10 cm, rezultă A′P = 8√10 : 5 cm. (1 pct)
Rezolvare completă

Ai citit baremul. Acum dă-l propriu-zis.

Rezolvă acest subiect cronometrat în cont. La final, AI-ul îți spune câte puncte ai luat pe fiecare item, pe baremul oficial, plus o explicație pas-cu-pas pentru fiecare greșeală.

Începe simularea cronometrată →

5 credite bonus la înregistrare. Fără card.