Matematică — clasa VIII · 2026 · variantă de antrenament Era Lumis · nr. 16

Matematică · Variantă de antrenament Era Lumis nr. 16 (EN VIII, original)

Prima variantă scrisă pe blueprintul oficial al subiectului, poziție cu poziție: ordinea operațiilor cu adunare după scădere, procent aplicat pe complementară (se cer fetele, se dă procentul băieților), cel mai mare întreg dintr-un interval cu capete fracționare, putere de putere ($3^x = 5 \Rightarrow 9^x$), slotul fix „patru elevi au calculat" pe diferența de pătrate $(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)$, interpretare de tabel cu „cel puțin", mijloc de segment pe puncte coliniare, unghiuri adiacente suplementare în raport 4:1, aria triunghiului echilateral din perimetru, aria trapezului isoscel, lungimea cercului (nu aria discului), aria laterală a conului, problemă cu text rezolvată prin ecuație, expresie care nu depinde de x, funcție liniară și aria triunghiului format cu axele, triunghi înscris în semicerc (Pitagora + înălțimea din unghiul drept), paralelogram cu unghi de 30°, cub (arie totală, volum, diagonală).

Durată: 120 min
Exerciții: 18
Materie: Matematică
Sursă: Variantă originală Era Lumis

Rezolvă cronometrat cu AI →

Rezolvă în 2 ore, în condiții de examen. AI-ul îți corectează pe baremul oficial și îți explică, exercițiu cu exercițiu, unde te-ai încurcat — cu pași numerotați, ca un profesor de meditații.

Subiectul I — 6 exerciții grilă (algebră)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare răspuns corect = 5 puncte. Timp orientativ: 15 minute — Subiectele I și II, împreună, sub 30 de minute.

Ex. 1Rezultatul calculului $30 - 4 \cdot 5 + 2$ este:
1. A)2
2. B)8
3. C)12
4. D)132
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Ordinea operațiilor: mai întâi înmulțirea, apoi adunarea și scăderea **în ordinea scrierii**. $4 \cdot 5 = 20$ , deci $30 - 20 + 2 = 10 + 2 = 12$ . Capcana e ultimul „+ 2": el nu intră în scădere.
Rezolvare completă
Ex. 2Într-o clasă de 24 de elevi, 25% dintre elevi sunt băieți. Numărul fetelor din clasă este:
1. A)6
2. B)12
3. C)18
4. D)20
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: $25% din 24 = \frac{25}{100} \cdot 24 = 6$ băieți, deci $24 - 6 = 18$ fete. Verificare pe celălalt drum: fetele sunt $100% - 25% = 75%$ , iar $0, 75 \cdot 24 = 18$ ✓. Citește până la capăt ce se cere: procentul e dat pentru băieți, întrebarea e despre fete.
Rezolvare completă
Ex. 3Cel mai mare număr întreg din intervalul $[- \frac{7}{2}, \frac{5}{3}]$ este:
1. A)-3
2. B)0
3. C)1
4. D)2
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Transform capetele în zecimale ca să le pot compara: $- \frac{7}{2} = - 3, 5$ și $\frac{5}{3} = 1, (6)$ . Numerele întregi cuprinse între ele sunt $- 3, - 2, - 1, 0, 1$ . Cel mai mare este $1$ . Atenție: $2$ depășește capătul din dreapta.
Rezolvare completă
Ex. 4Se știe că $3^{x} = 5$ , unde x este număr real. Valoarea lui $9^{x}$ este:
1. A)10
2. B)15
3. C)25
4. D)45
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Scriu 9 ca putere a lui 3: $9 = 3^{2}$ . Atunci $9^{x} = (3^{2})^{x} = 3^{2 x} = (3^{x})^{2}$ . Înlocuiesc: $(3^{x})^{2} = 5^{2} = 25$ . Regula folosită: $(a^{m})^{n} = a^{mn}$ , deci ordinea exponenților se poate schimba.
Rezolvare completă
Ex. 5Patru elevi, Alin, Bianca, Cosmin și Dana, au calculat valoarea produsului $(5 - 2) (5 + 2)$ și au obținut rezultatele din tabelul de mai jos. Elevul care a calculat corect este:
1. A)Alin
2. B)Bianca
3. C)Cosmin
4. D)Dana
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: A
Rezolvare: Formula care scurtează tot calculul: $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$ . Aici $a = 5$ și $b = 2$ , deci produsul este $(5)^{2} - 2^{2} = 5 - 4 = 1$ . Radicalul dispare exact pentru că se ridică la pătrat — de asta forma $(a - b) (a + b)$ e atât de folositoare la radicali.
Rezolvare completă
Ex. 6Tabelul de mai jos arată câte cărți au citit, într-o lună, elevii unei clase. Numărul elevilor care au citit cel puțin 2 cărți este:
1. A)5
2. B)6
3. C)11
4. D)14
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: „Cel puțin 2" = 2 sau mai mult, deci se adună coloanele 2 și 3: $6 + 5 = 11$ . Verificare: clasa are $4 + 10 + 6 + 5 = 25$ de elevi, iar cei care au citit cel mult o carte sunt $4 + 10 = 14$ ; împreună $11 + 14 = 25$ ✓. Citește cu grijă formularea: „cel puțin", „cel mult" și „exact" dau trei răspunsuri diferite pe același tabel.
Rezolvare completă

Subiectul al II-lea — 6 exerciții grilă (geometrie)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare răspuns corect = 5 puncte. Figurile sunt orientative, nu la scară.

Ex. 1Punctele A, B și C sunt coliniare, în această ordine, iar AB = 12 cm și BC = 8 cm. Dacă M este mijlocul segmentului AC, atunci lungimea segmentului MB este:
1. A)2 cm
2. B)4 cm
3. C)6 cm
4. D)10 cm
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: A
Rezolvare: Întâi lungimea întreagă: $A C = A B + B C = 12 + 8 = 20$ cm. M este mijlocul lui AC, deci $A M = M C = 10$ cm. Cum $A M = 10 < A B = 12$ , punctul M cade între A și B, iar $M B = A B - A M = 12 - 10 = 2$ cm. Un desen la scară arată imediat de ce M e la stânga lui B.
Rezolvare completă
Ex. 2Unghiurile AOB și BOC sunt adiacente suplementare, iar $m (∠ A O B) = 4 \cdot m (∠ B O C)$ . Măsura unghiului BOC este:
1. A)30°
2. B)36°
3. C)45°
4. D)144°
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Suplementare înseamnă că suma măsurilor este $18 0^{\circ}$ . Notez $m (∠ B O C) = x$ , deci $m (∠ A O B) = 4 x$ și $4 x + x = 18 0^{\circ}$ , adică $5 x = 18 0^{\circ}$ și $x = 3 6^{\circ}$ . Verificare: $4 \cdot 3 6^{\circ} = 14 4^{\circ}$ , iar $14 4^{\circ} + 3 6^{\circ} = 18 0^{\circ}$ ✓.
Rezolvare completă
Ex. 3Triunghiul echilateral ABC are perimetrul de 18 cm. Aria triunghiului ABC este egală cu:
1. A) $93$ cm²
2. B) $183$ cm²
3. C) $363$ cm²
4. D)54 cm²
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: A
Rezolvare: Perimetrul unui triunghi echilateral este $3 l$ , deci $l = 18 : 3 = 6$ cm. Formula ariei: $A = \frac{l ^{2} 3}{4} = \frac{6 ^{2} 3}{4} = \frac{36 3}{4} = 93$ cm². Dacă nu ții minte formula, o reconstruiești: înălțimea este $h = \frac{l 3}{2} = 33$ , iar $A = \frac{l \cdot h}{2} = \frac{6 \cdot 3 3}{2} = 93$ ✓.
Rezolvare completă
Ex. 4Trapezul isoscel ABCD are bazele AB = 14 cm și CD = 6 cm, iar înălțimea de 5 cm. Aria trapezului ABCD este egală cu:
1. A)40 cm²
2. B)50 cm²
3. C)70 cm²
4. D)100 cm²
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Aria trapezului este media aritmetică a bazelor înmulțită cu înălțimea: $A = \frac{( B + b ) \cdot h}{2}$ . Aici $A = \frac{( 14 + 6 ) \cdot 5}{2} = 50$ cm². Faptul că trapezul e isoscel nu schimbă formula — e o informație de care ai nevoie doar dacă ți se cer laturile neparalele.
Rezolvare completă
Ex. 5Un cerc are raza de 6 cm. Lungimea cercului este egală cu:
1. A) $6 π$ cm
2. B) $12 π$ cm
3. C) $24 π$ cm
4. D) $36 π$ cm
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Lungimea cercului: $L = 2 π R = 2 π \cdot 6 = 12 π$ cm. Confuzia cea mai frecventă e cu aria discului, $A = π R^{2} = 36 π$ cm². Unitatea de măsură te salvează de fiecare dată: o lungime se măsoară în cm, o arie în cm².
Rezolvare completă
Ex. 6Un con circular drept are raza bazei de 3 cm și generatoarea de 5 cm. Aria laterală a conului este egală cu:
1. A) $9 π$ cm²
2. B) $15 π$ cm²
3. C) $24 π$ cm²
4. D) $45 π$ cm²
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Aria laterală a conului circular drept: $A_{lat} = π R G$ , unde G este generatoarea. Aici $A_{lat} = π \cdot 3 \cdot 5 = 15 π$ cm². De reținut deosebirea: în aria laterală raza apare la puterea 1 și e însoțită de generatoare; în aria bazei apare la pătrat ( $π R^{2} = 9 π$ cm²). Aria totală ar fi suma lor, $15 π + 9 π = 24 π$ cm².
Rezolvare completă

Subiectul al III-lea — 6 probleme cu rezolvare a/b

Scrie rezolvările complete. Fiecare problemă valorează 5 puncte, acordate pe pașii din barem — nu doar pe răspunsul final.

Ex. 1La o librărie, un caiet costă cu 4 lei mai puțin decât o carte. Ana a cumpărat 3 caiete și 2 cărți și a plătit 68 de lei.
1. a) Arată că o carte costă 16 lei.
  Vezi pașii din barem
  1. Notez cu x prețul unui caiet, în lei; atunci o carte costă x + 4 lei, iar din enunț 3x + 2(x + 4) = 68. (1 pct)
  2. 3x + 2x + 8 = 68 ⇒ 5x = 60 ⇒ x = 12, deci o carte costă 12 + 4 = 16 lei. ✓ (1 pct)
2. b) Calculează cât ar plăti Ana pentru 5 caiete și o carte.
  Vezi pașii din barem
  1. Prețurile găsite: caietul 12 lei, cartea 16 lei. (1 pct)
  2. 5 caiete costă 5 · 12 = 60 lei. (1 pct)
  3. Total: 60 + 16 = 76 lei. (1 pct)
Rezolvare completă
Ex. 2Se consideră expresia $E (x) = (x + 3)^{2} - (x - 1) (x + 7)$ , unde x este număr real.
1. a) Arată că $E (x) = 16$ pentru orice număr real x.
  Vezi pașii din barem
  1. Desfac pătratul și produsul: (x + 3)² = x² + 6x + 9, iar (x − 1)(x + 7) = x² + 7x − x − 7 = x² + 6x − 7. (1 pct)
  2. E(x) = (x² + 6x + 9) − (x² + 6x − 7) = 9 + 7 = 16, deci E(x) nu depinde de x. ✓ (1 pct)
2. b) Calculează valoarea sumei $E (2 - 3) + E (2025)$ .
  Vezi pașii din barem
  1. Din subpunctul a), E ia valoarea 16 pentru ORICE număr real, deci nu e nevoie de niciun calcul cu radicali. (1 pct)
  2. E(√2 − 3) = 16 și E(2025) = 16. (1 pct)
  3. Suma: 16 + 16 = 32. (1 pct)
Rezolvare completă
Ex. 3Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = - 2 x + 6$ .
1. a) Determină coordonatele punctelor în care graficul funcției f intersectează axele de coordonate.
  Vezi pașii din barem
  1. Intersecția cu Ox are y = 0: −2x + 6 = 0 ⇒ x = 3, deci A(3, 0). (1 pct)
  2. Intersecția cu Oy are x = 0: f(0) = 6, deci B(0, 6). (1 pct)
2. b) Calculează aria triunghiului AOB, unde O este originea sistemului de axe, iar A și B sunt punctele de la subpunctul a).
  Vezi pașii din barem
  1. Triunghiul AOB este dreptunghic în O, fiindcă laturile OA și OB stau pe axe, care sunt perpendiculare. (1 pct)
  2. Catetele: OA = 3 și OB = 6. (1 pct)
  3. Aria = OA · OB / 2 = 3 · 6 / 2 = 9. (1 pct)
Rezolvare completă
Ex. 4În figura alăturată, punctele A, B și C se află pe cercul de centru O, iar AB este diametru. Se știe că AB = 10 cm și BC = 6 cm. Triunghiul ABC este dreptunghic în C.
1. a) Arată că AC = 8 cm.
  Vezi pașii din barem
  1. În triunghiul ABC, dreptunghic în C, aplic teorema lui Pitagora: AC² = AB² − BC². (1 pct)
  2. AC² = 100 − 36 = 64 ⇒ AC = 8 cm. ✓ (1 pct)
2. b) Calculează aria triunghiului ABC și distanța de la punctul C la dreapta AB.
  Vezi pașii din barem
  1. Catetele sunt AC = 8 cm și BC = 6 cm, deci aria = 8 · 6 / 2 = 24 cm². (1 pct)
  2. Distanța de la C la AB este înălțimea din C, notată CD; aria se poate scrie și ca AB · CD / 2. (1 pct)
  3. 24 = 10 · CD / 2 ⇒ CD = 4,8 cm. (1 pct)
Rezolvare completă
Ex. 5Paralelogramul ABCD are AB = 12 cm, AD = 8 cm și $m (∠ B A D) = 3 0^{\circ}$ .
1. a) Calculează perimetrul paralelogramului ABCD.
  Vezi pașii din barem
  1. Într-un paralelogram laturile opuse sunt congruente: AB = CD = 12 cm și AD = BC = 8 cm. (1 pct)
  2. P = 2 · (12 + 8) = 40 cm. (1 pct)
2. b) Calculează aria paralelogramului ABCD.
  Vezi pașii din barem
  1. Construiesc înălțimea din D pe AB, notată DE. În triunghiul ADE, dreptunghic în E, unghiul din A are 30°. (1 pct)
  2. Cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză: DE = AD : 2 = 8 : 2 = 4 cm. (1 pct)
  3. Aria = AB · DE = 12 · 4 = 48 cm². (1 pct)
Rezolvare completă
Ex. 6Se consideră cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia de 6 cm.
1. a) Calculează aria totală a cubului.
  Vezi pașii din barem
  1. Cubul are 6 fețe pătrate, fiecare de arie l² = 36 cm². (1 pct)
  2. Aria totală: 6 · 36 = 216 cm². (1 pct)
2. b) Calculează volumul cubului și lungimea diagonalei AC′.
  Vezi pașii din barem
  1. Volumul: V = l³ = 6³ = 216 cm³. (1 pct)
  2. Diagonala cubului se calculează cu formula d = l√3. (1 pct)
  3. AC′ = 6√3 cm. (Numeric, aria totală și volumul au aceeași valoare, 216, dar unități diferite: cm² și cm³.) (1 pct)
Rezolvare completă

Ai citit baremul. Acum dă-l propriu-zis.

Rezolvă acest subiect cronometrat în cont. La final, AI-ul îți spune câte puncte ai luat pe fiecare item, pe baremul oficial, plus o explicație pas-cu-pas pentru fiecare greșeală.

Începe simularea cronometrată →

5 credite bonus la înregistrare. Fără card.