Matematică — clasa VIII · 2026 · variantă de antrenament Era Lumis · nr. 18

Matematică · Variantă de antrenament Era Lumis nr. 18 (EN VIII, original)

Variantă scrisă pe blueprintul oficial, poziție cu poziție: ordinea operațiilor cu paranteză, împărțire și înmulțire deopotrivă înaintea scăderii, numărarea multiplilor dintr-un interval (capcana „+1"), adunarea fracțiilor cu numitor comun, împărțirea puterilor cu aceeași bază, slotul „patru elevi au calculat" pe $\sqrt{50} - \sqrt{18}$ (cu greșeala $\sqrt{a} - \sqrt{b} = \sqrt{a-b}$), procent citit din tabel de note, raport de segmente pe puncte coliniare (împărțire în 4 părți, nu 3), suplementar urmat de bisectoare, înălțimea triunghiului isoscel, latura paralelogramului din perimetru, lungimea arcului de 60°, muchia cubului din aria totală, problemă cu bilete rezolvată prin ecuație, $(x-4)^2 + 8x = x^2 + 16$ cu minim, funcție cu parametru determinat din grafic, sector de cerc de 90° și coarda lui, arie de triunghi cu înălțime interioară, con (generatoare, arie totală, volum).

Durată: 120 min
Exerciții: 18
Materie: Matematică
Sursă: Variantă originală Era Lumis

Rezolvă cronometrat cu AI →

Rezolvă în 2 ore, în condiții de examen. AI-ul îți corectează pe baremul oficial și îți explică, exercițiu cu exercițiu, unde te-ai încurcat — cu pași numerotați, ca un profesor de meditații.

Subiectul I — 6 exerciții grilă (algebră)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare răspuns corect = 5 puncte. Timp orientativ: 15 minute — Subiectele I și II, împreună, sub 30 de minute.

Ex. 1Rezultatul calculului $48 : (2 + 4) - 2 \cdot 3$ este:
1. A)2
2. B)18
3. C)22
4. D)36
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: A
Rezolvare: Ordinea: paranteze, apoi înmulțiri și împărțiri, apoi scăderi. $2 + 4 = 6$ ; $48 : 6 = 8$ ; $2 \cdot 3 = 6$ ; $8 - 6 = 2$ . Cele două operații de rang mijlociu (împărțirea și înmulțirea) se fac AMBELE înainte de scădere, chiar dacă scăderea e scrisă între ele.
Rezolvare completă
Ex. 2Numărul numerelor naturale divizibile cu 4 din intervalul $[10, 30]$ este:
1. A)4
2. B)5
3. C)6
4. D)7
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Primul multiplu al lui 4 mai mare sau egal cu 10 este 12, ultimul mai mic sau egal cu 30 este 28. Îi număr: $12, 16, 20, 24, 28$ — cinci. Formula rapidă: $(28 - 12) : 4 + 1 = 4 + 1 = 5$ . Acel „+1" este exact greșeala pe care o face jumătate din clasă.
Rezolvare completă
Ex. 3Rezultatul calculului $\frac{2}{3} + \frac{1}{6}$ este:
1. A) $\frac{1}{2}$
2. B) $\frac{5}{6}$
3. C) $\frac{3}{9}$
4. D) $\frac{5}{9}$
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Aduc fracțiile la același numitor. Cum $6 = 3 \cdot 2$ , amplific prima cu 2: $\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$ . Atunci $\frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ . Numitorii NU se adună niciodată: se caută un numitor comun.
Rezolvare completă
Ex. 4Rezultatul calculului $2^{5} : 2^{3}$ este:
1. A)2
2. B)4
3. C)8
4. D)16
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Regula împărțirii puterilor cu aceeași bază: $a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$ . Deci $2^{5} : 2^{3} = 2^{2} = 4$ . Verificare directă: $32 : 8 = 4$ ✓. Capcana e să te oprești la exponentul 2 și să răspunzi „2".
Rezolvare completă
Ex. 5Patru elevi, Alin, Bianca, Cosmin și Dana, au calculat valoarea diferenței $50 - 18$ și au obținut rezultatele din tabel. Elevul care a calculat corect este:
1. A)Alin
2. B)Bianca
3. C)Cosmin
4. D)Dana
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: A
Rezolvare: Scot factorii de sub radical: $50 = 25 \cdot 2 = 52$ și $18 = 9 \cdot 2 = 32$ . Acum radicalii sunt asemenea și se pot scădea: $52 - 32 = 22$ . Greșeala Biancăi merită ținută minte: $a - b \neq = a - b$ .
Rezolvare completă
Ex. 6Tabelul de mai jos arată notele obținute de elevii unei clase la un test. Procentul elevilor care au obținut cel puțin nota 9 este:
1. A)5%
2. B)20%
3. C)25%
4. D)30%
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: C
Rezolvare: Numărul total de elevi: $2 + 5 + 8 + 4 + 1 = 20$ . „Cel puțin nota 9" cuprinde notele 9 și 10, adică $4 + 1 = 5$ elevi. Procentul: $\frac{5}{20} = \frac{1}{4} = 25%$ . Fără totalul calculat întâi, procentul nu se poate afla — el e numitorul.
Rezolvare completă

Subiectul al II-lea — 6 exerciții grilă (geometrie)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare răspuns corect = 5 puncte. Figurile sunt orientative, nu la scară.

Ex. 1Punctele A, B și C sunt coliniare, B fiind între A și C. Se știe că AC = 24 cm și AB = 3 · BC. Lungimea segmentului AB este:
1. A)6 cm
2. B)8 cm
3. C)12 cm
4. D)18 cm
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: D
Rezolvare: Cum B este între A și C, avem $A B + B C = A C = 24$ cm. Notez $B C = x$ , deci $3 x + x = 24$ , adică $4 x = 24$ și $x = 6$ . Atunci $A B = 18$ cm. Verificare: $18 + 6 = 24$ ✓ și $18 = 3 \cdot 6$ ✓. Împărțirea se face la 4, nu la 3: întregul are patru părți egale, trei într-un segment și una în celălalt.
Rezolvare completă
Ex. 2Unghiurile MON și NOP sunt adiacente suplementare, iar $m (∠ M O N) = 11 0^{\circ}$ . Dacă OQ este bisectoarea unghiului NOP, atunci măsura unghiului QOP este:
1. A)20°
2. B)35°
3. C)55°
4. D)70°
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Doi pași, în ordinea asta. Suplementare ⇒ $m (∠ N O P) = 18 0^{\circ} - 11 0^{\circ} = 7 0^{\circ}$ . Bisectoarea împarte unghiul în două unghiuri congruente, deci $m (∠ QO P) = 7 0^{\circ} : 2 = 3 5^{\circ}$ . Greșeala frecventă e să înjumătățești unghiul dat în enunț, nu pe cel calculat.
Rezolvare completă
Ex. 3Triunghiul isoscel ABC are AB = AC = 10 cm și BC = 12 cm. Lungimea înălțimii duse din A este:
1. A)6 cm
2. B)8 cm
3. C)9 cm
4. D)16 cm
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Într-un triunghi isoscel, înălțimea din vârful opus bazei este și mediană, deci piciorul ei D este mijlocul lui BC: $B D = 6$ cm. În triunghiul ABD, dreptunghic în D, Pitagora dă $A D^{2} = A B^{2} - B D^{2} = 100 - 36 = 64$ , deci $A D = 8$ cm. Ultimul pas — extragerea radicalului — e cel mai des uitat.
Rezolvare completă
Ex. 4Paralelogramul ABCD are perimetrul de 36 cm și AB = 12 cm. Lungimea laturii BC este:
1. A)6 cm
2. B)12 cm
3. C)18 cm
4. D)24 cm
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: A
Rezolvare: Într-un paralelogram laturile opuse sunt congruente, deci perimetrul este $P = 2 (A B + B C)$ . Din $36 = 2 (12 + B C)$ rezultă $12 + B C = 18$ și $B C = 6$ cm. Verificare: $12 + 6 + 12 + 6 = 36$ ✓.
Rezolvare completă
Ex. 5Un arc de cerc corespunde unui unghi la centru de 60°, iar raza cercului este de 9 cm. Lungimea arcului este:
1. A) $1, 5 π$ cm
2. B) $3 π$ cm
3. C) $6 π$ cm
4. D) $18 π$ cm
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: B
Rezolvare: Lungimea cercului întreg: $L = 2 π R = 18 π$ cm. Un arc de $6 0^{\circ}$ reprezintă $\frac{60}{360} = \frac{1}{6}$ din cerc, deci $18 π : 6 = 3 π$ cm. Formula generală: $ℓ = \frac{2 π R \cdot n}{360}$ , unde n este măsura unghiului la centru.
Rezolvare completă
Ex. 6Aria totală a unui cub este de 96 cm². Lungimea muchiei cubului este:
1. A)4 cm
2. B)6 cm
3. C)8 cm
4. D)16 cm
Vezi baremul oficial
Răspuns corect: A
Rezolvare: Cubul are 6 fețe pătrate congruente, deci $A_{total \overset{a}{˘}} = 6 l^{2}$ . Din $6 l^{2} = 96$ rezultă $l^{2} = 16$ și $l = 4$ cm. Aici sunt două capcane într-un singur exercițiu: împărțirea la 6 (nu la 12) și extragerea radicalului la final.
Rezolvare completă

Subiectul al III-lea — 6 probleme cu rezolvare a/b

Scrie rezolvările complete. Fiecare problemă valorează 5 puncte, acordate pe pașii din barem — nu doar pe răspunsul final.

Ex. 1La un spectacol s-au vândut 60 de bilete, unele de adult, la 15 lei bucata, celelalte de copil, la 8 lei bucata. Încasările au fost de 690 de lei.
1. a) Arată că s-au vândut 30 de bilete de adult.
  Vezi pașii din barem
  1. Notez cu x numărul biletelor de adult; cele de copil sunt 60 − x, iar încasarea este 15x + 8(60 − x) = 690. (1 pct)
  2. 15x + 480 − 8x = 690 ⇒ 7x = 210 ⇒ x = 30 bilete de adult (și 30 de copil). ✓ (1 pct)
2. b) Cât s-ar fi încasat dacă toate cele 60 de bilete ar fi fost de copil?
  Vezi pașii din barem
  1. Toate biletele ar costa câte 8 lei. (1 pct)
  2. Încasarea: 60 · 8 = 480 de lei. (1 pct)
  3. Deci s-ar fi încasat cu 690 − 480 = 210 lei mai puțin decât în realitate. (1 pct)
Rezolvare completă
Ex. 2Se consideră expresia $E (x) = (x - 4)^{2} + 8 x$ , unde x este număr real.
1. a) Arată că $E (x) = x^{2} + 16$ .
  Vezi pașii din barem
  1. Desfac pătratul: (x − 4)² = x² − 8x + 16. (1 pct)
  2. E(x) = x² − 8x + 16 + 8x = x² + 16. ✓ (1 pct)
2. b) Arată că $E (x) \geq 16$ pentru orice număr real x și determină valoarea lui x pentru care $E (x) = 16$ .
  Vezi pașii din barem
  1. Pentru orice număr real x avem x² ≥ 0, fiindcă un pătrat nu poate fi negativ. (1 pct)
  2. Adun 16 în ambii membri: x² + 16 ≥ 16, adică E(x) ≥ 16. ✓ (1 pct)
  3. Egalitatea are loc doar când x² = 0, deci x = 0 (și atunci E(0) = 16). (1 pct)
Rezolvare completă
Ex. 3Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = a x + 3$ , unde a este număr real. Graficul funcției trece prin punctul $A (2, 9)$ .
1. a) Arată că $a = 3$ .
  Vezi pașii din barem
  1. Punctul A aparține graficului, deci f(2) = 9, adică 2a + 3 = 9. (1 pct)
  2. 2a = 6 ⇒ a = 3. ✓ (1 pct)
2. b) Pentru valoarea găsită a lui a, calculează $f (- 1) + f (0) + f (1)$ .
  Vezi pașii din barem
  1. Funcția devine f(x) = 3x + 3. (1 pct)
  2. f(−1) = 0, f(0) = 3, f(1) = 6. (1 pct)
  3. Suma: 0 + 3 + 6 = 9. (1 pct)
Rezolvare completă
Ex. 4În figura alăturată, punctele A și B se află pe cercul de centru O și rază 6 cm, iar unghiul AOB este drept.
1. a) Calculează lungimea coardei AB.
  Vezi pașii din barem
  1. Triunghiul AOB este dreptunghic în O, cu catetele OA = OB = 6 cm (raze). (1 pct)
  2. AB² = 36 + 36 = 72 ⇒ AB = 6√2 cm. (1 pct)
2. b) Calculează aria sectorului de cerc determinat de unghiul AOB și aria triunghiului AOB.
  Vezi pașii din barem
  1. Aria discului: π·36 = 36π cm². Unghiul de 90° este a patra parte din cerc. (1 pct)
  2. Aria sectorului: 36π : 4 = 9π cm². (1 pct)
  3. Aria triunghiului AOB (dreptunghic, cu catetele 6 și 6): 6 · 6 : 2 = 18 cm². (1 pct)
Rezolvare completă
Ex. 5În triunghiul ABC, punctul D aparține laturii BC, iar AD este înălțimea din A. Se știe că BC = 14 cm, AD = 6 cm și BD = 4 cm.
1. a) Calculează aria triunghiului ABC.
  Vezi pașii din barem
  1. AD este înălțimea corespunzătoare laturii BC, deci aria = BC · AD : 2. (1 pct)
  2. Aria = 14 · 6 : 2 = 42 cm². (1 pct)
2. b) Calculează lungimea laturii AB.
  Vezi pașii din barem
  1. Triunghiul ABD este dreptunghic în D, fiindcă AD este perpendiculară pe BC. (1 pct)
  2. Pitagora: AB² = BD² + AD² = 16 + 36 = 52. (1 pct)
  3. AB = √52 = 2√13 cm. (1 pct)
Rezolvare completă
Ex. 6Un con circular drept are raza bazei de 6 cm și înălțimea de 8 cm.
1. a) Arată că generatoarea conului este de 10 cm.
  Vezi pașii din barem
  1. Raza, înălțimea și generatoarea formează un triunghi dreptunghic, în care generatoarea este ipotenuza. (1 pct)
  2. Generatoarea la pătrat = 36 + 64 = 100, deci generatoarea este 10 cm. ✓ (1 pct)
2. b) Calculează aria totală și volumul conului.
  Vezi pașii din barem
  1. Aria laterală: π · 6 · 10 = 60π cm². Aria bazei: π · 36 = 36π cm². (1 pct)
  2. Aria totală: 60π + 36π = 96π cm². (1 pct)
  3. Volumul: π · 36 · 8 : 3 = 96π cm³. (Aceeași valoare numerică, 96π, dar unități diferite — cm² și cm³ — deci mărimi diferite.) (1 pct)
Rezolvare completă

Ai citit baremul. Acum dă-l propriu-zis.

Rezolvă acest subiect cronometrat în cont. La final, AI-ul îți spune câte puncte ai luat pe fiecare item, pe baremul oficial, plus o explicație pas-cu-pas pentru fiecare greșeală.

Începe simularea cronometrată →

5 credite bonus la înregistrare. Fără card.